江苏省扬州市蒋王中学2020届高三上学期12月月考数学试题 含解析

蒋王中学2020届高三数学月考试题(满分160分，考试时间120分钟）2019.12.13一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1. 已知集合，0，1，则元素的个数为_.答案：1解：集合，0，1，则2复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为答案：4解：复数是纯虚数，解得：故答案为：43. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为答案：解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以故答案为：4 不等式的解集为答案：解：不等式，即 ，即，即，故不等式的解集为，故答案为5. 设曲线在点处的切线方程为，则答案：3解：的导数，由在点处的切线方程为，得，则故答案为：36.已知点，则与向量同方向的单位向量的坐标是答案：解：点，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：，故答案为：7.已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则的值为答案：2解：抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，故答案为：28. 已知，则答案：解：由，得，解得，故答案为：9. 已知四边形为梯形，为空间一直线，则“垂直于两腰，”是“垂直于两底，”的 条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）答案：充分不必要解：先看充分性四边形为梯形，两腰、所在直线是相交直线垂直于两腰，平面又，是平面内的直线，垂直于两底，因此充分性成立；再看必要性作出梯形的高，则垂直于两底，设所在直线为，垂直于两底，且是平面内的直线，与梯形的两腰不垂直，因此必要性不成立故答案为：充分不必要10. 已知函数，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若，则答案：解：函数，是奇函数，则，由于的最小正周期为，所以，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若，所以，解得所以故答案为：11. 记等比数列的前项积为，已知，且，则的值为答案：4解：，由等比数列的性质可得，故答案为：412命题：已知椭圆，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题：已知双曲线，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一个动点，过作的的垂线，垂足为，则的长为定值答案：内角平分线【解答】解：点关于的外角平分线的对称点在的延长线上，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为（椭圆长轴长），又是的中位线，故；不妨设点在双曲线右支上，点关于的内角平分线的对称点在的延长线上，当过作的内角平分线的垂线，垂足为时，又是的中位线，故；故答案为：内角平分线13. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为答案：解：在中，所以因为，所以，中，边上的高与边的长相等，所以，即，的最大值为：故答案为：14. 设，若对任意的正实数，都存在以，为三边长的三角形，则实数的取值范围是答案：解：，三角形任意两边之和大于第三边，且，解得，故实数的取值范围是，故答案为： 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分为14分）中，角，所对应的边分别为，若（1）求角的大小；（2）若，求的最小正周期与单调递增区间解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，又角是的一个内角，（2），故函数的最小正周期为由，可得，故单调增区间为，16（本小题满分为14分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，为的中点（1）求证：面；（2）求证：平面平面解：（1）证明：设，连接，因为，分别是，的中点，所以（4分）而面，面，所以面（7分）（2）连接，因为，所以，又四边形是菱形，所以（10分）而面，面，所以面（13分）又面，所以面面（14分）17.（本小题满分14分）如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设米，米，则（1），的面积，当且仅当时取等号；（2）由题意得，即，要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以所以时，有最小值，此时18.（本小题满分16分）已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若点，为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：为坐标原点）（1）解：由题意，设椭圆方程为，椭圆过点，椭圆的方程为；（2）证明：由题意可求得切线方程为若，则切线为（或，则，（当时同理可得）；当时，切线方程为，与椭圆联立并化简得，设，则19.(本小题满分16分)已知函数且（1）求函数在点，处的切线方程；（2）求函数单调区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围解：（1）因为函数，所以，又因为，所以函数在点，处的切线方程为；（2）由（1），当时，在上递增；当时，在上递增；故当，时，总有在上是增函数，又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为，递减区间为；（3）因为存在，使得成立，而当，时，所以只要即可又因为，的变化情况如下表所示： 00减函数极小值增函数可得在，上是减函数，在，上是增函数，所以当，时，的最小值，的最大值为和（1）中的最大值因为，令，因为，所以在、上是增函数而（1），故当时，（a），即（1）；当时，（a），即（1）所以，当时，（1），即，函数在上是增函数，解得；当时，即，函数在上是减函数，解得综上可知，所求的取值范围为20.(本小题满分16分)已知数列满足，是数列的前项和（1）若数列为等差数列（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围解：（1）（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（）因为，所以，其前项和，又因为，所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，（2）由，知，两式作差，得，所以，作差得，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为蒋王中学2020届高三周测数学试题(理科附加)(满分40分，考试时间30分钟）2019.12.1321. 已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及解：由条件可知，解得（5分）因此，所以 （10分）22. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数），求直线被截得的弦的长度解：的方程化为，两边同乘以，得由，得（5分）其圆心坐标为，半径，又直线的普通方程为，圆心到直线的距离，弦长（10分）23如图，设动点P在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上，若APPC，求P点的位置解：以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)所以(1,1，1)(3分)设(，)(01)(4分)所以(1，1)，(5分)(，1，1)(6