2020届安徽省马鞍山市高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题

页 1 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题文科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合1,2,3A， | 1,Bx xxZ，则AB U（） A 1 B1,2,3 C1,0,1 D1,0,1,2,3 2已知复数 z 满足i2iz ，则| | z （） A3 B3 C5 D5 3已知非零向量a b，满足|2 | |2|abab，且| |ab，则a与b的夹角为（） A 6 B 4 C 3 D 2 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减 一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 378 里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走 的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（） 里 A198 B191 C63 D48 5现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活 动的概率为（） A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 12 6已知函数( )sin(0)f xx ，满足 3 ()() 44 ff ，且在 3 44 ，内恰有一个最大值点和一个最小值点， 则的值为（） A1 B2 C3 D4 7已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，M为双曲线上一点，若 12 1 cos 4 FMF， 12 2MFMF，则此双曲线渐近线方程为（） A3yx B 3 3 yx Cyx D2yx 8某几何体三视图如图所示，其体积为 4 3 ，则该几何体的 侧视图 俯视图 正视图 m 2 2 页 2 第 外接球体积为（） A 9 4 B 9 2 C9 D12 9 已知等差数列 n a， nm aman(, ,)nm n m N， 数列 n b满足 2121nnn baa ， 则 2 0 2 02 0 1 9 bb （） A1 B2 C4 D8 10已知( )f x是偶函数，当0 x 时， 202 ( ) 822 x x f x xx ， ， ，若(1)( 1)f af，则a的取值范围是（） A1 1 ， B 2 02 4 ，U C 31 13 ，UU D(2)0 2(4) ，UU 11已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左顶点和左焦点分别为A和F，| 3AF ，直线ykx交椭圆于,P Q两 点（P在第一象限） ，若线段AQ的中点在直线PF上，则该椭圆的方程为（） A 22 1 95 xy B 22 1 1615 xy C 22 4 1 8118 xy D 22 1 8145 xy 12已知 2 1 ( )+ cos 2 f xxax，当1a 时，( )f x在0，上（） A有最大值没有最小值 B有最小值没有最大值 C既有最大值也有最小值 D既无最大值也无最小值 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若变量x y，满足 2 233 0 xy xy x ,且2zxy,则z的最大值是 14某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单 位：万元）进行了初步统计，如下表所示 年广告支出x/万元 2 3 5 7 8 年销售额y/万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程 6.418yx，则a的值为 15已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 1 ( 1) (2) n nn aa ，则 4 +1=n S 16如图，M点在正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 CC上（不含端点） ， 给出下列五个命题： 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都是异面直线； 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都相交； D1 C1 B1 A1 M D C B A 页 3 第 过M点有且只有一条直线与直线AB， 1 AD都垂直； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都相交； 过M点有无数个平面与直线AB， 1 AD都平行； 其中真命题是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分。 17 (12 分) 某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生的数学成绩，按 成绩分组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率 分布直方图如图所示 （1）由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到 0.01） ； （2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀”等次，则根据 频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 18(12 分) 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c已知sincoscossinsinaBCbACcA （1）求B的取值范围； （2）当B取最大值时，若6ac，求ABC的面积 19(12 分) 在直角坐标系xOy中，抛物线 2 2xy的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点 （1）求OMON uuuruuu r 的值； （2）若点P在线段MN（不含端点）上运动，2OQOP uuu ruu u r ，求四边形OMQN面积的最小值 20 （12 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD， 3 ABC ，M是PC上一动点 （1）求证：平面PAC 平面MBD； （2）若PBPD，三棱锥PABD的体积为 6 24 ，求四棱锥PABCD的侧面积 75 80 0.01 85 100 0 90 95 分数 0.02 0.04 0.03 0.06 0.07 0.05 频率 组距 页 4 第 21 （12 分） 已知函数( )(1)1 x f xxeax，其中aR （1）当1a 时，求( )f x的最小值； （2）若( )( ) x g xf xe在R上单调递增，则当0 x 时，求证： 9 ( ) 8 x f xex （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） ，在以坐标原点O为极点， x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P到极点O的距离为4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数 2 ( )431f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm， 求 22 pq的最小值 A B C O M P 页 5 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题文科数学试题 一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A B D A B C D C B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 19 5 14. 55 15. 43n 6. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。 17 (12 分) 【解】 （1）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,m n 因为前 2 组的频率之和为0.40.5，因为前 3 组的频率之和为0.70.5，所以8590m， 由0.40.06 (85)0.5m，得86.67m 77.5 5 0.01 82.5 5 0.0787.5 5 0.0692.5 5 0.0497.5 5 0.0287.25n ， 所以，这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67，87.25.6 分 （2）因为样本中 90 分及以上的频率为0.04+0.025=0.3（）， 所以该校高一年级 1000 名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 “优秀”等次的人数为0.3 1000=300人 .12 分 18(12 分) 【解】 （1）由已知可得(sincoscossin)sinbACACcA sinsinbBcA 2 bac 22222 1 cos 222 acbacac B acac 又0,B，故0, 3 B .6 分 (2) 由（1）知 3 B ，易得ac； 又6ac，所以3abc； 所以ABC的面积 1139 3 sin3 3 2224 SacB .12 分 19(12 分) 【解】 （1）由题知 1 0 2 F( , )，设 1 2 lykx:，代入到 2 2xy中， 得 2 210 xkx设 1122 M xyN xy( ,), (,)，则 1212 21xxk x x ,， 所以 22 12 12 1 44 x x y y所以 1212 3 4 OMONx xy y uuuruuu r .6 分 页 6 第 （2）因为2OQOP uuu ruu u r ，所以P是线段OQ的中点，从而点O与点Q到直线MN的距离相等， 所以四边形OMQN的面积等于2 MON S 而 12 1 22- 2 MON SOFxx 22 1212 1 () -41 2 xxx xk 所以0k 时，四边形OMQN的面积最小，最小值为1 .12 分 20 （12 分） 【证明】 （1）QPA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD Q底面ABCD是菱形，BDAC 又PAACAQI，PA平面PAC，AC 平面PAC， BD平面PAC 又QBD平面MBD， 平面PAC 平面MBD .5 分 （2）设菱形ABCD的边长为x， 3 ABC Q， 2 3 BAD 在ABD中， 222222 1 2cos22()3 2 BDADABAD ABBADxxx 3BDx又 QPA平面ABCD，ABAD，PBPD， 6 2 PBPDx， 2 2 PAx 又 22 1123 sinsin 2234 ABD SAB ADBADxx ， 2 - 11326 = 334224 ABDP ABD VSPAxx 三棱锥 ，1x， 26 , 22 PAPBPD， ,1 3 ABCACAB Q 又QPA平面ABCD， 6 2 PCPB， 四棱锥PABCD的侧面积为 2 1216152 222(1()1) 222242 PABPBC SS .12 分 21 （12 分） 【解】 （1）当1a 时，( )(1) x f xxe( )(2) x fxxe 当2x 时( )0fx，( )f x在(, 2) 上单调递减； 当2x 时( )0fx，( )f x在( 2,) 上单调递增 min 2 1 ( )( 2)f xf e .5 分 （2）( )( )(1) xx g xf xexeaxQ A B C O M P 页 7 第 ( )(1)10 x g xxea 恒成立 1 (1) x axe 恒成立 .8 分 则由（1）可得： 2 1 1a e 又0 x Q 2 ( )(1)1 8 9 8 x xx x x f xxeax x xee e x xe ex .12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 【解】 （1）曲线C的普通方程为 2 2 314xy， 点P的极坐标为4, 3 ，直角坐标为 2,2 3 .5 分 （2）