一类参数取值范围问题的统一解法新课标人教

一类参数取值范围问题的统一解法在高考题中对导数有关知识的考查中总是伴随着一类求参数取值范围的问题，对此学生刚刚接触时往往不知所措.本文在此给出这类问题的一个统一解法.一个重要结论结论1设函数在内可导.若函数在内单调递增（减），则有.两个重要方法 将上述问题转化为恒成立问题，进而方法 1 运用分离参数法 方法 2 运用方程根的分布.方法 3 运用分类讨论 运用以上结论及方法，我们便可以快速地解决这类问题了，下面以高考题为例加以说明.例1、（2005.湖北.理17）已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.解：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立. 评注：以上方法在解决恒成立问题中用到了以下两个结论.；这两个结论在解决恒成立问题中较为常见，其同学们悉心体会.例2、（2004.河南.文19）已知在R上是减函数，求的取值范围.解：由为R上是减函数，则要求在上恒成立从而须且只需，即，解之得，故的取值范围是例3、（2005.湖南.文19）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解：. 则由题意，函数在（1，3）上单调递减，则由结论1可得在区间（1，3）上恒成立.令，则问题转化为函数在区间上图像部分恒在轴下方.从而须且只需，即，解之得.所以的取值范围为.例4、（2004.浙江.文21）已知a为实数，若在和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。 解：的图象为开口向上且过点的抛物线, 由在和2，+）上都是递增的，则问题转化为函数在区间和2，+）上图像部分恒在轴上方.故须且只需 即 所以a的取值范围为.例5、（2004.福建.理 21）已知f(x)=(xR)在区间1，1上是增函数.求实数a的值组成的集合A；解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 方法一：分离参数法当时，显然成立； 当时，x2ax20等价转化为在上恒成立，易知函数为上的增函数，从而须且只需；当时，x2ax20等价转化为在上恒成立，易知函数为上的增函数，从而须且只需.综上，则有，即A=a|.方法二：方程根的分布 设(x)=x2ax2，则x2ax20对x1，1恒成立转化为在1，1上函数的图像恒在轴的下方，须且只需 ，即，解之得. 即A=a|.例6、（2005.重庆.文19）设函数R. （1）若处取得极值，求常数a的值； （2）若上为增函数，求a的取值范围.解：（）因取得极值， 所以 解得经检验知当为极值点.（）由于上为增函数，则在上恒成立，须且只需，即.故当上为增函数.例7（2006湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3. 因为当,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+ 当为定值时, 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.例8.（2006江苏卷）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)（）试求满足的所有实数a解析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。（）令要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1,t0 t的取值范围是由得m(t)=a()+t=（）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有 (III)解法一：情形1：当时，此时，由，与a0时，此时g(a)=a+2, 由，由a0得a=1.综上知，满足的所有实数a为或a=1例9.(2006重庆卷)已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二：由（）知又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式例10（2006福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象