难点视角复数教案示例人教

用心 爱心 专心 125 号编辑 1 难点视角难点视角 复数教案示例复数教案示例 重点重点 ：复数的概念，复数的运算，复数的一些应用三部分。 复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘， 除运算，利用复数的相等和平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几 何的联系。 难点难点 ：一元二次方程根的讨论 例题讲解例题讲解 ： 例例 1 1m 为何实数时，复数 Z=(z+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4)零 解：解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i =(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i (1)当 m=1 或 m=2 时，Z 是实数。 (2)当 m1 且 m2 时，Z 是虚数。 (3) 当 )2.(0)2)(12( ) 1 (.0)2)(1( mm mm 即当时，Z 是纯虚数。 2 1 m (4) 当 0)2)(12( 0)2)(1( mm mm 即 m=2 时，Z 是零。 例例 2 2已知 Z 是复数，|Z|=5，求：Z。 4 )arg( iz 解：解：设 Z=x+yi(x,yR). 由已知： )2.(1 4 1 ) 1.(5 22 tg x y yx (1)：x2+y2=25. (2)： y=x+1 (2)代入(1) 解得：. 3 4 ; 4 3 2 2 2 1 y x y x , Z 对应的点在复平面的第一象限，Z=3+4i. 4 )arg( iZ 例例 3 3已知：。求实数 x。5|4log| 5 . 0 ix 解：解：54)x(log| i 4xlog| 22 5 . 05 . 0 2516xlog25 . 0 33 5 . 05 . 0 2 5 . 0 5 . 05 . 00 3log3log 9log xx xx x 或 或 即 或 x8。 8 1 0 x 例例 4 4计算： 8 ) 31 22 ( i i 用心 爱心 专心 125 号编辑 2 解：解：原式= 8 ) 2 3 2 1 1 ( i i i i ii i i i ii i 388 4 3 4 1 388 ) 2 3 2 1 )( 2 3 2 1 ( ) 2 3 2 1 (16 2 3 2 1 )2( ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 ( )1( 4 223 42 例例 5 5求的平方根i 621 解：解：设的平方根为 x+yi(x,yR).i 621 则 iyix621)( 2 ixyiyx6212 22 由复数相等的定义得 )2.(622 ) 1.(1 22 xy yx (1)2+(2)2得 (x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值).(3) (1)+(3) x2=3, x=,3 (3)-(1), y2=2, .2y . 或 06 xy 2 3 y x 2 3 y x 的平方根为。i 621iZiZ23,23 21 例例 6 6已知：|Z+2-2i|=1.求：|Z|的最值。 解：解：|Z-(-2+2i)|=1.几何意义：Z 在复平面上对应的点集是以 O(-2,2)为圆心，r=1 的圆。 |Z|的几何意义是O上的点与原点的距离； .2222| | 22 OO , .122| max Z122|Z| min 例例 7 7说明|Z+1|+|Z-2|=2a(aR+)表示的曲线。 解：解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a. 几何意义是 Z 在复平面上对应的点 Z 与 F1(-1,0),F2(2,0)距离之和等于 2a 的轨迹， |F1F2|=3。 (1)当 2a3 即时，Z 的轨迹是以 F1，F2为焦点，2a 为长轴的椭圆。 2 3 a (2)当 2a=3 即时，Z 的轨迹是线段 F1，F2。 2 3 a (3)当 2a3 即时，Z 的轨迹不存在。 2 3 a 例例 8 8已知 aR，方程 x2+2x+a=0 的两根为、，求|+|。 解：解： aR， 方程的实系数一元二次方程可以用 来判定方程有无实根。 (1)当 =4-4a0，即 a1 时，方程的根、为实数根。 用心 爱心 专心 125 号编辑 3 由韦达定理 . 2 a ， 又|+|0， |2|)|(| 222 *).(|224 |22)( 2 aa 当 0a1 时，|+|=2, 当 a0 时，|+|=.a12 (2)当 =4-4a1 时，方程的根、为虚根。ia11 .2 ) 1(1) 1(1 |11|11| a aa iaia 例例 9 9已知是实系数一元二次方程 ax2+bx+1=0 的根，求 a,b 的值。 2 31 )1 (2 i i x 解：解：。ix 2 1 2 3 方法(1) 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数， 也是该方程的根。ix 2 1 2 3 由韦达定理： 1) 2 1 2 3 )( 2 1 2 3 ( 1 3) 2 1 2 3 () 2 1 2 3 ( ii a ii a b 解得：a=1,.3b 方法(2)，是方根的根，代入原方程整理得：ix 2 1 2 3 。0) 2 1 2 3 () 1 2 3 2 1 (ibaba 由复数相等的定义得 0 2 1 2 3 01 2 3 2 1 ba ba 解得 a=1,.3b 本周参考练习本周参考练习 一、选择题： 1下面四个命题，正确的是（ ） 。 A、|Z|2=Z2(ZC) B、(ZC)| 2 ZZ C、|Z|1-1P2P1 B、P3P2=P1 C、P3=P2P1 D、P3=P2=P1 应选 D。 3 （2000 年全国）如图，E、F 分别为正方体面 ADD1A1、面 BCC1B1的中点，则四边形 BFD1E 在 该正方体的面上的射影可能是_。 （要求：把可能的图的序号都填上） 。 解：解：在面 A1ADD1和面 B1BCC1上的射影是，在其余面上的射影均为，应选。 4 （2002 年北京）关于直角 AOB 在定平面内的射影有如下判断：可能是 0的角；可能是 锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是 180的角。其中正确判断的序号是 _。 （注：把你认为正确判断的序号都填上） 。 解：解：应填。 评注：评注：本题考查空间想象能力。 这里画一图形供参考：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AOB=90。 直角 AOB 在面 AA1C1C 内的射影是 0 直角 AOB 在面 A1BC1内的射影是锐角 直角 AOB 在面 A1C1内的射影是直角 直角 AOB 在面 ABC1D1内的射影是钝角 直角 AOB 在面 DCC1D1内的射影是 180角 5 （2002 年上海）已知直线l, m,平面、，且l, m，给出下列四个命题： （1）若/，则lm （2）若lm, 则/ （3）若， 则l/m （4）若l/m, 则。 其中正确命题的个数是（ ） 。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解：解：(1) l, m, /l, lm (2)l, m, lm/或 (3)l, m, l/m 或lm 或l与 m 异面 (4)l, m, l/mm, 应选 B。 6 （1999 年全国）、是两个不同的平面，m, n 是平面及之外的两条不同直线。给出四个 论断： mn n m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _。 解：解：mn， ，n m(1) (m/或 m 与相交） m, n，mn (2) 用心 爱心 专心 125 号编辑 15 mn, m, n (3) mn, , m n (4) (n/或 n 与相交) 综上答案是（2） （3）任选一个填在横线上。 7 （2002 年上海）若正四棱锥的底面边长为 2cm,体积为 4cm3, 则它的侧面与底面所成的3 二面角的大小是_。 解：解：在四棱锥 S-ABCD 中，SO面 ABCD，取 BC 边中点 E， 则 SEBC， OEBC，所以SEO 为所求二面角的平面角， 又依题意，V=Sh 3 1 4=(2)2h 3 1 3 h=1,即 SO=1，OE=，3 tgSEO=, SEO=30. 3 3 应填 30。 课题：空间中的角课题：空间中的角 典型例题：典型例题： 例例 1 1在正四面体 ABCD 中，E、F 分别为 AD、BC 的中点，求异面直线 AF、CE 所成角的大小。 分析：分析：求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交直线所成的 角。这里因为 E 为 AD 的中点，故可取 FD 的中点 G，由三角形的中位线定理知 EG/AF，从而求 AF、CE 所成的角。 解：解：如图 1，连 DF，取 DF 的中点 G，连 GE、GC，E 为 AD 的中点， EG/AF， GEC 即为 AF、CE 所成的角。 设正四面体的棱长为 a, 则 CE=AF=DF=a, 2 3 EG=FG=a,在 RtGFC 中,CG=a. 4 3 22 FCFG 4 7 在 ECG 中，由余弦定理可得：cosGEC=, ECGE GCECGE 2 222 3 2 GEC=arccos，即异面直线 AF、CE 所成的角为 arccos。 3 2 3 2 例例 2 2已知平面 平面 。且 =AB，直线 AC、AD 分别在平面 和 内， BAC=45，BAD=60，且 CDAB。求：直线 AB 与平面 ACD 所成的角。 解：解：如图 2，过 C 作 CEAB 于 E，连接 DE。 平面 平面 ，CDAB，由三垂线定理的逆定理可知：DEAB，AB平面 CDE。 过 E 作 EFCD 于 F，连接 AF，ABCD，CD平面 AEF 又 CD平面 ACD，平面 ACD平面 AEF， 过 E 作 EHAF 于 H，则 EH平面 ACD，设 AE=1， CAE=45， CE=1， ADE=60，DE=，CD=2，3 EF=， 在 RtAEF 中，tgEAF=, CD DECE 2 3 AE EF 2 3 EAF=arctg. 2 3 用心 爱心 专心 125 号编辑 16 即直线 AB 与平面 ACD 所成的角为 arctg. 2 3 例例 3 3如图 3，在三棱锥 S-ABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC，SC 于 D、E，又 SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二面角的大小。 解：解：SB=BC， SE=EC， SCBE，又 SCDE， SC平面 BDE， SCBD， BD平面 SAC， 又 DE平面 SAC， DC平面 SAC，BDDE，BDDC， EDC 即为二面角 E-BD-C 的平面角。 设 SA=AB=a, 则 BC=SB=a, AC=a,23 在 RtASC 中，可得EDC=60，即所求二面角为 60。 例例 4 4已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 是 AC 中点， （1）求证：AB1/平面 BDC1； （2）若 AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角 的度数。 解：解：（1）证法一：证法一：如图 4，ABC-A1B1C1是正三棱柱， 四边形 B1BCC1是矩形， 连接 B1C 交 BC1于 O，则 B1O=CO，连接 OD， 在 AB1C 中，AD=DC，OD/AB1， 又 AB1平面 DBC1，OD平面 DBC1，AB1/平面 DBC1。 证法二：证法二：过 D 作 AB1的平行线交 B1C 于 O， D 是 AC 中点，则 O 为 B1C 中点，又 B1BCC1为矩形， O 在 BC1上，OD平面 DBC1，AB1平面 DBC1， AB1/平面 DBC1。 （2）解法一：解法一：作 DEBC 于 E，则 DE平面 BCC1B，连接 OE，则 OE 是 OD 在平面 BCC1B1上 的射影。 AB1BC1， ODBC1， OEBC1， DOE 即为所求二面角的平面角。 设 AC=1，则 DC=，ABC 是正三角形， 2 1 在 RtDCE 中，DE=DCsinACB=sin60=, 2 1 4 3 CE=DCcosACB=， 2 1 2 1 4 1 取 BC 中点 F，连接 OF，OB=OC，OFBC， 在 RtBOE 中，OE2=EFBE=(BC-CE)EF=， 16 3 OE=，tgDOE=1, 4 3 OE DE DOE=45, 即二面角 =45。 解法二：解法二：AB1BC1，AB1/DO，ODBC1， 在平面 B1BCC1上作 DEBC 于 E，DOE 为所求二面角的平面角， BC1面 ODE，BC1DE， 又 BB1DE， DE面 BCC1B1， 设 AC=1，则 DC=，在正 ABC 中，DEBC， 2 1 DE=DCsin60=, BD=，O 是 BC1中点，DOBC1， 4 3 2 3 DBC1是等腰三角形，DC1=BD=， 2 3 在 RtC1CD 中，CC1=， 22 1 DCDC 2 2 用心 爱心 专心 125 号编辑 17 RtABB1中，AB1=， 2 1 2 BBAB 2 6 DO=AB1=，sinDOE=, 2 1 4 6 2 2 OD DE DOE=45,即所求二面角 =45。 例例 5 5已知 D、E 分别是正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1和 BB1上的点，且 A1D=2B1E=B1C1，求过 D、E、C1的平面与棱柱的下底面 A1B1C1所成的二面角的大小。 解：解：如图 5，在平面 AA1B1B 内延长 DE 和 A1B1交于点 F，则 F 是由 DEC1与面 A1B1C1的 公共点，C1F 为这两个平面的交线，故所求二面角就是 D-C1F-A1的平面角。 A1D/B1E，且 A1D=2B1E， E、B1分别为 DF 和 A1F 的中点， A1B1=B1C1=A1C1， FC1A1C1， 又面 AA1C1C面 A1B1C1，FC1面 A1B1C1， FC1面 AA1C1C，而 DC1面 AA1C1C， FC1DC1， DC1A1是二面角 D-FC1-A1的平面角， 由已知 A1D=B1C=A1C1， DC1A1=， 4 所求二面角的大小为。 4 评述：评述：当所求二面角没有给出它的棱时，可通过公理 1 和公理 2，找出二面角的两个面的两个 公共点，从而找出它的棱，进而求出其平面角的大小即可。 例例 6 6在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，A=90，AD=AB=1，BC=2，将 ABD 沿 BD 折叠，与平面 BCD 成 120的二面角，试求折叠后：（1）A 和 C 的距离；（2）求 AC 与 BD 所 成角的正切值 解：解：（1）如图 6，作 AEBD 于 E，在平面 BCD 内作 EGBD，CG/BD，EG、CG 交于 G，则AEG 为二面角 A-BD-C 的平面角， AEG=120，而 AE=，EG=， 2 2 2 在 AEG 中，由余弦定理，得：AG2=()2+()2-2cos120=. 2 2 2 2 2 2 2 7 又 BDAE，BDEG，BD平面 AEG，CG/BD， CG平面 AEG， CGAG，在 RtACG 中， AC=2，故 A 和 C 的距离为 2。 22 CGAG 2 1 2 7 （2）由 CG/BD 得ACG 为 AC 与 BD 所成的角，在 RtACG 中，tgACG=. CG AG 2 1 2 7 7 故 AC 与 BD 所成角的正切值为。7 用心 爱心 专心 125 号编辑 18 练习题：练习题： 1已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正 弦值等于（ ） A、 B、 C、 D、 2 3 2 5 5 10 10 10 2在二面角的一个面内有一条直线与另一个面成 30的角，这条直线与棱成 45角，则此 二面角的度数为（ ） A、45或 135 B、45 C、135 D、60 3已知 ABC 中，AB=2，BC=4，ABC=45，BC 在平面 内，ABC 所在平面与平面 成 30角，则 ABC 在平面 内的射影面积是（ ） A、 B、3 C、2 D、 2 6 666 4已知：四面体 S-ABC 中，SC平面 ABC，AB=BC=CA=SC，求二面角 B-AS-C 的大小。 练习题答案：练习题答案： 1.C 2.A 3.D 4. 解：解：如图 7，过点 B 作 BDAC 于 D， 过 D 作 DESA 于 E，连接 BE， SC平面 ABC，SC平面 SAC， 平面 SAC平面 ABC BD平面 SAC，由三垂线定理，有 BESA， BED 是二面角 B-SA-C 的平面角， 设 SC=1，在 ABC 中，AB=BC，BDAC， D 是 AC 中点，有 BD=AC=，DE=ACsin45=, 2 3 2 3 2 1 4 2 tgBED=, BED=arctg, DE BD 66 即二面角 B-SA-C 的平面角为 arctg。6 1若直线 与平面成角为，直线在平面内，且与直线 异面，则直线 与直线所成l 3 alla 的角的取值范围是（ ） A B C D 3 2 , 0 3 2 , 3 3 2 , 2 2 , 3 2所在平面，在直线上的射影为，若点在线段的延长线上，则ABCPAPBCMMBC 满足（ ）ABC A 为钝角或为直角 B 为直角 BCA C 为钝角 D 为钝角或为钝角ABC 3边长为的正四面体，是棱的中点，则与底面所成角的正弦值aBCDAMABCMBCD 为（ ） A B C D 2 1 2 3 3 22 3 2 用心 爱心 专心 125 号编辑 19 4为平行四边形，以为边将翻折；若翻折前、翻ABCDBCAC 0 45BACABC 折后与平面分别夹、角，则、间的距离之比是（ ）ACD 0 90 0 60BD A B C D 2:3:53:2:52:3:53:2:5 5正三角形，点在上的射影为，已知，则平面与ABC平面BCA A 0 90CBA 平面所成二面角的正弦值等于（ ）ABC A B C D 3 6 4 13 3 19 6 30 6为正方体，边长为 1，为的中点，为的中点，过、DCBAABCD MDCNBC A 、三点的正方体的截面与底面所成的二面角等于，则的值等于（ ）MNDCBAsin A B C D 3 3 3 6 17 342 17 17 7已知、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PAPBPCP 0 60 与平面所成角的余弦值是（ ）PCPAB A B C D 2 1 2 2 2 3 3 3 8已知、分别是平面的垂线和斜线，在平面内过引一条直线，若与平AOABPPBBCAB 面成角，与成角，与成角，且知，则角应为PBCOBBCAB 0 30 4 3 cos （ ） A B C D 以上均不对 0 30 0 45 0 60 9为正方体，边长为 1，是的中点，过、三点的正方体DCBAABCD MAACMB 的面与底面所成的二面角为，则的值等于（ ）DCBAtan A B C D 5 2 5 10 2 10 10设，直角在平面内，将平面绕直线旋转，在旋转过程中如平面平面/MPNMP 果与不垂直，则在平面内的射影为（ ）MPN A 锐角与直角 B 钝角与直角 C 锐角、钝角、直角都可能 D 恒为直角 答案答案: : D D D C A C D A B D 空间角的计算空间角的计算 空间的角是反映空间几何元素方向差异的一个几何量。空间的角主要有：异面直线所成的 角、直线与平面所成的角以及二面角。 1 1要明确理解各种角的概念、定义和它的取值范围：要明确理解各种角的概念、定义和它的取值范围： 用心 爱心 专心 125 号编辑 20 异面直线所成角的取值范围是 090; 直线与平面所成角的取值范围是 090; 二面角的大小，可以由它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是 0180。 2 2空间各种角都是转化为平面的角来计算。空间各种角都是转化为平面的角来计算。 两条异面直线所成的角，一般依据定义，选择恰当的位置将其中一条（或两条）直线进 行平移至相交（要特别注意交点位置的选择） ，转化为平面的角来计算。其中涉及到两条异面 直线垂直的问题常常利用三垂线定理或逆定理。 直线与平面所成角的计算的关键在于找到直线在该平面上的射影。一般先找斜足，再找 斜线上非斜足的一点 P 在该平面上的射影 P，连 OP，从而转化为平面的角来计算。 二面角的平面角的找法可以根据定义，在棱上找点（关键） ，然后再过该点分别在二面 角的两面内作棱的垂线，也经常利用三垂线定理及逆定理或作棱的垂面去寻找平面角。 例例 1.1.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知 AB=4，CD=20，EF=7，。求异面直线 AB 与 CD 所成