上海高考数学模拟分类汇编第4部分三角函数

用心 爱心 专心 上海市期末模拟试题分类汇编第上海市期末模拟试题分类汇编第 4 部分部分三角函数三角函数 一.选择题 1.（上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 15）下面有五个命题： 函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是2； 终边在y轴上的角的集合是, 2 k kz ； 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点； 把函数.2sin3 6 ) 3 2sin(3到到到到到到到到到到到到xyxy ； 在ABC中，若coscosaBbA，则ABC是等腰三角形； 其中真命题的序号是-（ ） A （1） （2） （3） B （2） （3） （4） C （3） （4） （5） D （1） （4） （5） 答案：C 1（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 14 题）题） 把函数把函数的图像上所有的点向的图像上所有的点向sin ()yx xR 左平行移动左平行移动个单位长度，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的个单位长度，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍倍(纵坐标不变纵坐标不变)， 3 1 2 得到的图像所表示的函数是得到的图像所表示的函数是 （ ） A. B. sin(2), 3 yxxR sin(), 26 x yxR C. D. sin(2), 3 yxxR 2 sin(2), 3 yxxR 答案：答案：C 2 （上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 16 题）题）对于任意实数对于任意实数，要使函数，要使函数a 在区间在区间上的值上的值出现的次数不小于出现的次数不小于次，又次，又 * 21 5cos()() 36 k yxkN ,3a a 5 4 4 不多于不多于次，则次，则可以取可以取 （ ）8k A. B. C. D. 12和和23和和34和和2 答案：答案：B 3 ( (上海市卢湾区上海市卢湾区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1212 题题) )函数函数是一个是一个( ) 2 sin 2yx A.A.周期为周期为的奇函数的奇函数 B.B.周期为周期为的偶函数的偶函数 C.C.周期为周期为的奇函数的奇函数 D.D.周期为周期为的偶的偶 2 2 用心 爱心 专心 函数函数 答案：答案：D 4 ( (上海市卢湾区上海市卢湾区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1313 题题) )若若为第二象限角，则为第二象限角，则 = ( ( ) ) 222 cotsec1cos1sinsin1cos A A B B C C D D 2 2sin 2 2cos 02 答案：答案：B 5(2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 12 题) 若角和角的终边关于轴y 对称，则下列等式恒成立的是 （ ） A. ； B. ； C. ； D. .sinsincoscostantancotcot 答案：A 6（2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 12 题）对任意的实数、，下列 等式恒成立的是 （ ） A ； 2sincossinsin B ；2cossinsincos C ；coscos2sinsin 22 D .coscos2coscos 22 答案：A 7 （上海市静安区（上海市静安区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1414 题）题）下列以行列式表达的结果 中，与相等的是 ( )sin() A B C D sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos 答案：答案：C C 8 ( (上海市青浦区上海市青浦区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1616 题题) )定义函数 ，给出下列四个命题：(1)该函数的值域为； sin , sincos ( ) cos , sincos xxx f x xxx 1,1 (2)当且仅当时，该函数取得最大值；(3)该函数是以为最小正周期的周2() 2 xkkZ 期函数；(4)当且仅当时，.上述命题中正确的个数 3 22() 2 kxkkZ ( )0f x 用心 爱心 专心 是 ( ) A 个 B.个 C.个 D.个1234 答案：答案：A 二.填空题 1 （ 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 3）函数的最小正周期 . 2 cos x y T 答案：. 4 2.（0808 年上海市部分重点中学高三联考年上海市部分重点中学高三联考 4 4）若，则 1 sin() 2 )0, 2 ( _tan 答案： 3 3 3. （上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 6） 中，ABC 则_.5,6,7,abc coscoscosabCbcACAB 答案：55 4 （上 海 市 高 考 模 拟 试 题4 ）化简： . x xxxx 2sin sincsccossec 答案： 2 1 5 （上 海 市 高 考 模 拟 试 题1 0 ）一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午 7 时和 9 时该动点的坐标依次为和，则下午 5 时该点的坐标是 . 2 , 12, 3 答案： 18,11 6.（上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 5）设cosx 2 , 63 则arcsin x的取值范围 答案：, 6 2 7.（上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 4）已知 1 sin() 3 ,0 2 则tan 答案： 2 4 2 B C A y x 1O3456 1 2 3 4 用心 爱心 专心 8 （上海市宝山区 2008 学年高三年级第一次质量调研 3）方程 在上的解集是_cos()cos()sin()sin()1 6363 xxxx (0, ) 答案： 3 4 9.（0808 年上海市部分重点中学高三联考年上海市部分重点中学高三联考 7 7）已知是锐角中的对cba,ABCCBA, 边，若的面积为，, 4, 3baABC33 则 c 答案： 13 10.（上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 3）函数sin2cos2yxx的 递增区间 答案： 3 ,() 88 kkk 11 （上海市长宁区 2008 学年高三年级第一次质量调研 3）函数 的单调递增区间为_( )sin3cosf xxx 答案： 5 2,2, 66 kkkZ 12 （上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 5）三角方程的解集2sin10 x 是_ 答案： (只要正确，允许没有化简) |( 1), 6 k x xkkZ 13. （上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 13） ，且，则( ) 2 sin,cos,1,sin,sincos,0AB AB 20092009 sincos A. B. C. D.011 1 答案：答案：C 14 （ 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 8）在中，若ABC ，则等于 . 60,75, 3ACBABCABBC 答案：. 6 15 （上海市奉贤区 2008 年高三数学联考 7）已知，且是第四象限的角，则 3 cos 5 用心 爱心 专心 _. 2 sin 3 答案： 43 3 10 16 （上海市奉贤区 2008 年高三数学联考 10）对于函数 f(x)xsinx，给出下列三个命题： f(x)是偶函数；f(x)是周期函数；f(x) 在区间0，上的最大值为.正确的是 2 _（写出所有真命题的序号）. 答案： 1嘉定区嘉定区 20082009 第一次质量调研第第一次质量调研第 2 题）题）若，则行列式的值是 5 3 sin cossin sincos _ 答案： 25 7 2 （嘉定区嘉定区 20082009 第一次质量调研第第一次质量调研第 5 题）题）函数（）的xxxxfcos)cos(sin)(Rx 最小正周期为_答案： 3（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 5 题）题） 在在中，角中，角所对的边分别为所对的边分别为ABCABC、 ，若，若则则_.答案：答案： abc、( 3)coscos,bcAaC cos A 3 3 4（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 11 题）题）若函数若函数存在反函数存在反函数，且，且( )yf x 1( ) yfx 函数函数的图像过点的图像过点，则函数，则函数tan( ) 6 x yf x (2,33) 的图像一定过点的图像一定过点 _. 1( ) (arcsinarccos )yfxxx 答案：答案：(3,2) 2 5 (2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 6 题) 已知，则sin 2 m . 答案：cosm 6（闸北区 09 届高三数学（理）第 7 题）若动直线与函数和xaxxfsin)( 的图像分别交于两点，则的最大值为 xxgcos)(NM,MN 答案：答案：；2 7 （南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 4 题）已知，则= 3 sin() 45 x sin2x 答案：答案： 7 25 用心 爱心 专心 8 （浦东新区（浦东新区 20082008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 6 6 题）题）函数 的最小正周期为 答案： )(cos22sin3 2 Rxxxxf 9. ( (上海市青浦区上海市青浦区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 3 3 题题) )若则 4 sin, 5 _cos2 答案：答案： 7 25 10( (上海市青浦区上海市青浦区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1010 题题) )设函数 为实常数)在区间上的最小值为，那么的值 2 ( )2cos3sin2(f xxxa a 0, 2 4 a 为_答案：答案：4 三.解答题 1（嘉定区嘉定区 20082009 第一次质量调研第第一次质量调研第 19 题）题）（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小小 题满分题满分 8 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进AM 后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现4kmB5 . 3km 该船继续东行 （1）若，问该船有无触礁危险？ 0 602 如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向B 东航行多少距离会有触礁危险？ （2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 答案：解：（1）作，垂足为，ABMC C 由已知，所以， 0 60 0 30 0 120ABM 0 30AMB 所以，（2 分）4 ABBM 0 60MBC 所以，5 . 33260sin 0 BMMC 所以该船有触礁的危险（4 分） 设该船自向东航行至点有触礁危险，BD 则，（5 分）5 . 3MD 在中，MBC4BM2BC ，32MC5 . 0)32(5 . 3 22 CD 所以，（） （7 分）5 . 1BDkm 所以，该船自向东航行会有触礁危险（8 分）B5 . 1km 北 M AB C 北 M AB C D 用心 爱心 专心 （2）设，在中，由正弦定理得，xCM MAB MAB BM AMB AB sinsin 即，（10 分） cos)sin( 4BM )sin( cos4 BM 而，（12 分） )sin( coscos4 cossin BMMBCBMx 所以，当，即，5 . 3x 2 7 )sin( coscos4 即时，该船没有触礁危险（14 分） 8 7 )sin( coscos 2(2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 19 题)（本题满分 16 分，第 1 小题 10 分，第 2 小题 6 分） 在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变 化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数( )f n 来刻画. 其中：正整数表示月份且，例如 ( )100cos2f nAnkn1,12n 时表示 1 月份；和是正整数；.1n Ak0 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； 该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 400 人； 2 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 100 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；( )f n （2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过 400 人时，该地区也进入了一年中 的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 答案： 解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为 12. 由此可得，； 2 12 6 T 由规律可知， max ( )(8)100100f nfAk min ( )(2)100100f nfAk ；(8)(2)2004002ffAA 又当时，2n (2)200 cos(22) 100100 6 fk 所以，由条件是正整数，故取.2.99k k3k 综上可得，符合条件.( )200cos2300 6 f nn 3 6 9 10 用心 爱心 专心 （2） 解法一：由条件，可得200cos2300400 6 n ， 1 cos2 62 n 222 363 knk kZ ， 66 2222 33 knk kZ ，. 1212 122122knk kZ 因为，所以当时，1,12n * Nn1k 6.1810.18n 故，即一年中的 7，8，9，10 四个月是该地区的旅游“旺季”.7,8,9,10n 解法二：列表，用计算器可算得 月份n 67891011 人数 ( )f n 383463499482416319 故一年中的 7，8，9，10 四个月是该地区的旅游“旺季”. 12 14 16 15 16 3 （闸北区 09 届高三数学（理）第 14 题） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 在中，内角所对的边长分别是.ABC, ,A B C, ,a b c （）若，且的面积，求的值；2c 3 CABC3S, a b （）若，试判断的形状.AABC2sin)sin(sinABC 答案：答案：解：（）由余弦定理及已知条件得， ，.3 分 22 4abab 又因为的面积等于，所以，得2 分ABC3 1 sin3 2 abC 4ab 联立方程组解得，2 分 22 4 4 abab ab ， ， 2a 2b （）由题意得，3 分AAABcossincossin 当时，为直角三角形2 分cos0A 2 A ABC 当时，得，由正弦定理得，cos0A ABsinsinba 所以，为等腰三角形2 分ABC 4 （上海市静安区（上海市静安区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1717 题）题） （本题满分（本题满分 1212 分）第分）第 1 1 小小 用心 爱心 专心 题满分题满分 5 5 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分. . (理)设是平面上(cos,(1)sin),(cos,sin),(0,0) 2 ab 的两个向量，若向量与相互垂直，ab ab (1)求实数的值； (2)若，且，求的值(结果用反三角函数值表示) 4 5 a b A A 4 tan 3 答案：解：答案：解：(1)(1)由题设，得由题设，得，即，即 ()()0ab ab 22 |0,ab 所以，所以，即，即 222 (1) sinsin0 2 (2)sin0 因为因为， 2 0,sin0,0 2 到 到 所以所以20,2. 到 到 (2)(2)由由(1)(1)知，知，(cos,sin),(cos,sin)ab ，又，又，coscossinsincos()a b A A 4 5 a b A A ， 4 cos() 5 ( (解法解法 1)1)，0 2 则则，0 2 33 sin(),tan() 54 ，又，又 7 tantan() 24 0, 2 7 arctan 24 ( (解法解法 2)2)，又，又 334 47 sinsin()() 555 525 A AA A0, 2 7 arcsin 25 5 (文)已知是平面上的(cos,3sin),(3cos,sin),(0) 2 ab 两个向量. (1)试用表示； 、a b A A (2)若，且，求的值(结果用反三角函数值表示) 36 13 a b A A 4 cos 5 用心 爱心 专心 答案：解：答案：解：(1)(1) ；3coscos3sinsin3cos()a b A A (2)(2)， 3612 ,cos() 1313 a b A A 又又， 4 cos,0 52 35 sin,sin(), 513 ( (解法解法 1)1) ， 33 coscos() 65 33 arccos 65 ( (解法解法 2)2) ， 56 sinsin() 65 56 arcsin 65 6已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点x( 3, 3)P （1）解关于的方程：；x cossin 10 sincos xx （2）若函数()的图像关于直线对称,求( )sin()cos()f xxxxR 0 xx 的值 0 tan x 答案：答案：（1）角终边经过点， （2 分）( 3, 3)P 11 5 2() 6 kk Z 由可得： （4 分） cossin 10 sincos xx cos()1x ， （6 分） 22 2()xkkZ2 6 xk ()kZ （2） () （2 分）( )sin()cos()2sin() 4 f xxxx xR 且函数的图像关于直线对称，( )f x 0 xx ，即， 0 ()2f x 0 sin()1 4 x ，即 （4 分） 0 42 xk 0 () 4 xkk Z (6 分） 0 1tan tantan()tan() 441tan xk 用心 爱心 专心 (8 分） 3 1 () 3 23 3 1 () 3 7 （闵行区（闵行区 2008 学年第一学期高三质量监控数学文卷第学年第一学期高三质量监控数学文卷第 1919 题）题） （本题满分（本题满分 14 分）本题共分）本题共 有有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点x( 3, 3)P （1）求行列式的值； sintan 1cos （2）若函数()，( )cos()cossin()sinf xxxxR 求函数的最大值，并指出取到最大值时的值 2 3 (2 )2( ) 2 yfxfx x 答案：答案：（1）角终边经过点，( 3, 3)P ， （3 分） 1 sin 2 3 cos 2 3 tan 3 （6 分） sintan 333 sincostan 1cos4312 （2）()， （2 分）( )cos()cossin()sincosf xxxxxR 函数 2 3cos(2 )2cos ( ) 2 yxx ()， （4 分）3sin21 cos2xx 2sin(2) 1 6 x xR ， （6 分） 此时 （8 分） max 3y() 6 xkk Z 8 8 （南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 17 题） （本题满分（本题满分 1414 分）分） 某轮船以 30 海里/时的速度航行，在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60，向北航行 40 分 钟后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30，轮船改为北偏东 60的航向再行驶 80 分钟到达 C 点，求 P、C 间的距离。 答案：解：答案：解：如图，在ABP 中，APB=30,BAP=120 40 3020 60 AB 用心 爱心 专心 由正弦定理知得 6 分 ABBP sin BPAsin BAP 20 1 3 2 2 BP 20 3BP 在BPC 中，又PBC=90 80 3040 60 BC 2 222 20 34020 7PCPBBC 可得 P、C 间距离为(海里) 14 分20 7 9. （浦东新区（浦东新区 20082008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 1919 题）题）（满分（满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 小题，第小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 中，三个内角 A、B、C 所对的边分别为、，若， ABCabc 60B ca) 13( （1）求角的大小；A （2）已知当时，函数的最大值为 3，求的面积. 2 , 6 xxaxxfsin2cos)(ABC 答案：解（1）因为，所以， 1 60B 120CAAC 120 分 因为，由正弦定理可得： 3 分ca) 13(CAsin) 13(sin )sin 3 2 coscos 3 2 )(sin13() 3 2 sin() 13(sinAAAA ，整理可得： 5)sin 2 1 cos 2 3 )(13(AA1tanA 分 所以，（或） 6 45A 4 分 （2），令，因为，所以 7 分xaxxfsinsin21)( 2 xtsin 2 , 6 x 1 , 2 1 t ， 9 分1 8 ) 4 (212)()( 2 22 aa tatttgxf 1 , 2 1 t 若，即，则（舍去） 10 2 1 4 a 2a 2 1 2 1 ) 2 1 ( max agf3 2 1 2 1 a5a 分 若，即，得 11 2 1 1 4 a 42 a1 8 ) 4 ( 2 max aa gf31 8 2 a 4a 分 若，即， ，得（舍去）121 4 a 4aagf21) 1 ( max 1 a31a4a 分 故， 14 分4a326 ABC S 10. ( (上海市青浦区上海市青浦区 20082008 学年高三年级第一次质量调研第学年高三年级第一次质量调研第 1818 题题) )（本题满分（本题满分 14 分）第分）第 1 小小 题满分题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 用心 爱心 专心 已知为的三个内角，且其对边分别为.ABC、ABCabc、 若且.(2cos,sin),(cos, 2sin), 2222 AAAA mn 1m n A A (1)求；(2)若，三角形面积，求的值.A2 3a 3S bcbc 、 答案：解：答案：解：(1) (2cos,sin),(cos, 2sin), 2222 AAAA mn ，又 22 2cos2sin2cos 22 AA m nA A A1m n A A ，又 1 cos 2 A (0,)A . 2 3 A (2), 13 sin3 24 ABC SbcAbc A A 4,bc 由余弦定理，得由余弦定理，得 22222 2cosabcbcAbcbc 又，2 3a 4,bc ，故故. . 2 16()bc 4bc 1 （上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 18） （本题满分（本题满分 14 分）第分）第 1 小题满小题满 分分 8 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分. 中，已知，边，设，的周长为.ABC 3 A 2 3BC Bx ABCy (1)求函数的解析式，并写出函数的定义域；(2)求函数的值域.( )yf x ( )yf x 1.解：解：(1)ABC 的内角和的内角和 A+B+C=，且，且 ， ,0 3 ABx C 22 0,0. 33 Cxx 由正弦定理，知由正弦定理，知即即 2 3 , 2 sin sinsin() 33 bc x x 4sin 2 4sin() 3 bx cx 所以所以 22 4sin4sin()2 3 (0) 33 yxxx (2)由由(1)知，知， 22 4sin4sin()2 3 (0) 33 yxxx 用心 爱心 专心 6sin2 3cos2 3xx 5 4 3sin()2 3() 6666 xx 由正弦函数的图像知，当由正弦函数的图像知，当时，有时，有. 5 666 x 1 sin()1 26 x 于是，于是，4 34 3sin()2 36 3 6 x 所以，函数所以，函数的值域是的值域是 22 4sin4sin()2 3 (0) 33 yxxx (4 3,6 3 2 （上海市奉贤区 2008 年高三数学联考 18） （本题满分 15 分） 如图所示，南山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC.小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角ABC1200；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC， 发现张角ADC1600；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处.问索道 AC 长多少（精确到米） ？ 2.解：在ABC 中，BD400，ABD1200 ADB200 DAB400 (2 分) BD sinDAB AD sinABD ，得 AD538.9 (7 分) 0 400 sin40 0 AD sin120 在ADC 中，DC800，ADC1600 AC2AD2DC22 ADDCcosADC (9 分) 538.9280022538.9800cos1600 1740653.8 得 AC1319（米） (14 分) 则索道 AC 长约为 1319 米. (15 分) 3 （上海市长宁区 2008 学年高三年级第一次质量调研 17） （本题满分 12 分）第 1、2 小题 满分各 6 分. 已知向量.(cos ,sin ),( cos ,cos ),( 1,0)axx bxx c (1)若求向量的夹角；, 6 x ac 与 (2)当时，求函数的最大值. 9 , 28 x ( )21f xa b A A 3.()； 5 6 (). max ( )1f x A C B D 用心 爱心 专心 4 （上海市宝山区 2008 学年高三年级第一次质量调研 18） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知函数 44 sin2 3sincoscos.yxxxx (1)将函数化成的形式，并写出最小正周期；sin()(0,) 22 yAxA (2)用“五点法”作函数的图像，并写出该函数在上的单调递增区间.0, 4. (1); (2)图略 单调递增区间是 5 0, 36 和和 5.5. （上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 21） （本小题满分（本小题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分, , 第第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 一个函数 f x，如果对任意一个三角形，只要它的三边长, ,a b c都在 f x的定义域 内，就有 ,f af bf c也是某个三角形的三边长，则称 f x为“三角形函数” （1）判断 1 fxx， 2 fxx ， 2 3 fxx 中，哪些是“三角形函数” ，哪 些不是，并说明理由； （2）如果 g x是定义在R上的周期函数，且值域为0,，证明 g x不是“三角形 函数” ； （3） （文）若函数 sinF xx，x0, A 当 5 6 A 时，( )F x不是“三角形函数” （3） （理）若函数 sinF xx，x0, A 是“三角形函数” ， 求A的最大值 （可以利用公式sinsin2sincos 22 xyxy xy ） 5.解：（1） 12 ,fxfx是“三角形函数” 3 fx不是“三角形函数” -1 分 任给三角形，设它的三边长分别为, ,a b c，则abc，不妨假设,ac bc，由于 0ababc，所以 12 ,fxfx是“三角形函数”. -3 分 对于 3 fx，3，3，5 可作为一个三角形的三边长，但 222 335，所以不存在三 用心 爱心 专心 角形以 222 3 ,3 ,5为三边长，故 3 fx不是“三角形函数” - - 4 分 （2）设0T 为 g x的一个周期，由于其值域为0,，所以，存在0nm，使得 1,2g mg n， 取正整数 nm T ，可知,TmTm n这三个数可作为一个三角形的三边长， 但1gTm， 1,2gTmg n不能作为任何一个三角形的三边长故 g x不是“三角形函数” - -10 分 （3） （文）当 5 6 A ，下证 F x不是“三角形函数”. 取 55 ,0, 266 A ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 5151 sin1,sin,sin 26262 不能作为任何一个三角形的三边长， 故 F x不是“三角形函数” -18 分 （3） （理）A 的最大值为 5 6 -11 分 一方面，若 5 6 A ，下证 F x不是“三角形函数”. 取 55 ,0, 266 A ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 5151 sin1,sin,sin 26262 不能作为任何一个三角形的三边长，故 F x不是 “三角形函数”. -13 分 另一方面，以下证明 5 6 A 时， F x是“三角形函数” 对任意三角形的三边, ,a b c，若 5 , ,(0,) 6 a b c ，则分类讨论如下： （1）2abc ， 此时 55 22 663 abc ，同理，, 3 b c ， 5 , ,(,) 36 a b c 故 1 sin ,sin ,sin( ,1 2 abc， 11 sinsin1sin 22 abc 同理可证其余两式. 用心 爱心 专心 sin ,sin ,sinabc可作为某个三角形的三边长 -15 分 （2）2abc 此时， 22 abc ，可得如下两种情况： 22 ab 时，由于abc，所以，0 222 cab . 由sin x在(0, 2 上的单调性可得0sinsin1 22 cab ； 22 ab 时，0 222 cab ， 同样，由sin x在0, 2 上的单调性可得0sinsin1 22 cab ； 总之，0sinsin1 22 cab . 又由 5 6 abc 及余弦函数在0,上单调递减，得 5 coscoscoscos0 22212 ababc ， sinsin2sincos2sincossin 2222 ababcc abc -17 分 同理可证其余两式，所以sin ,sin ,sinabc也是某个三角形的三边长故 5 6 A 时， F x是“三角形函数” 综上，A的最大值为 5 6 -18 分 6 （上海市 2009 届高三年级十四校联考数学文科卷 17） （本题满分 12 分） 设ABC 的内角A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 Cabcba2cos2 222 ，求角 C 的取值范围。 6解：由余弦定理，Cabcbacos2 222 ，2 分 代入上式，得 . 0 cos2cos,2cos2cos2CCCabCab即4 分 因为 . 0 1coscos2, 1cos22cos 22 CCCC