三垂线定理高考数学第一轮复习教案人教

三垂线定理2007届高考数学第一轮复习教案http:/www.DearEDU.com【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。CaDABO【知识梳理】1斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短2重要公式如图，已知OB平面a于B，OA是平面a的斜线，A为斜足，直线AC平面a，设OAB=q1，又CAB=q2，OAC=q那么cosq=cosq1cosq23直线和平面所成的角平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角4三垂线定理和三垂线定理的逆定理名称语言表述图 示字母表示应 用三垂线定 理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.O aa AP证两直线垂直作点线距作二面角 的平面角三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.O aa AP同 上重要提示三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”【点击双基】1下列命题中，正确的是( )(A)垂直于同一条直线的两条直线平行(B)平行于同一平面的两条直线平行(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线2直线a、b在平面a内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是( )(A)若a1b1，则ab(B)若ab，则a1b1(C)若a1/b1，则a与b不垂直(D)若a/b，则a1与b1不垂直3直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b是( )(A)异面直线 (B)相交直线(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线4P是ABC所在平面外一点，若P点到ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是ABC的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心5P是ABC所在平面外一点，若P点到ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在ABC的内部，则射影是ABC的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心6P是ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是ABC的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心7从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为q这两条斜线段在平面内的射影成的角为a(90a180)，那么q与a的关系是( )(A)qa (C)qa (D)qa 8已知直线l1与平面a成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面a所成角的取值范围是( )(A)0,60 (B)60,90 (C)30,90 (D)0,90【典例剖析】DCOBAabc例1如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC；求证：ACBD；证法一：作AO平面BCD于O，连OB、OC、OD，ABCD，OBCD，同理，由ADBC得ODBC， O是BCD的垂心，OCBD，从而ACBD证法二：设=a，=b，=c，则=b-a，=c-a，=c-b，ABCD，ADBC，a(c-b)=0，c(b-a)=0，则ac=ab，ac=cbab=cb，即ab-cb=0，从而有b(c-a)=0，故例2如图，在三棱锥P-ABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设MNC所在平面与ABC所在平面交于直线lCAPBDMNQl(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；(2)求点M到直线l的距离解：(1)l/MN，证明如下：M、N分别是PA、PB的中点，MN/AB，MN平面ABC，AB平面ABC，MN/平面ABC又MN平面MNC，平面MNCI平面ABC=l，MN/l(2)取AC的中点Q，连MQ，则MQ/PC，而PC平面ABC，MQ平面ABC作QD直线l于D，连MD，则MD直线l线段MD的长即为M到直线l的距离在RtABC中，可求得AC=4，QC=2又MQ=PC=3，QCD=30，QD=QC=于是 MD=2例3.如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。证明： O是ABC的垂心，BCAE。 PA平面ABC，根据三垂线定理得BCPE。BC平面PAE。Q是PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，OQBC。PA平面ABC，BF平面ABC，BFPA，又O是ABC的垂心，BFAC，故BF平面PAC。因而FM是BM在平面PAC内的射影。因为BMPC，据三垂线定理的逆定理，FMPC，从而PC平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQPC。 综上知 OQBC，OQPC，所以OQ平面PBC。 说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。（1）A1B1平面BB1C1C；（2）求证：A1CBC1；（3）求证：DE平面BB1C1C。证明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1从而A1B1平面BB1C1C。 （2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1CBC1 （3）直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为A1C的中点，E为B1C的中点，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C。例5如图P是DABC所在平面外一点，PAPB，CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。（1）证明：取的中点，连结，是的中点， ， 平面 ， 平面 是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，又，由三垂线定理得（2），平面，且，【知识方法总结】运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。【作业】1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E在上底面A1B1C1D1内，A1B1E=60，A1B1=2B1E，求证：AEB1E2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为是底面AC的中心，P为棱A1B1上任意的一点，则直线OP与AM所在的角等于。A 90度 B 60度 C 45 度 D 30度3. 如图：在平面内有ABC，在平面外有点S，斜线SAAC，SBBC，且斜线SA、SB分别与平面所成的角相等，(1) 求证：ACBC；(2) 又设点S与平面的距离是4cm，ACBC，且AB=6cm，求点S与直线AB的距离。4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD将