人教高二数学用空间向量求空间的角和距离复习

高二数学下学期用空间向量求空间的角和距离复习空间向量立体几何里的应用非常广泛。空间向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，也为我们解决数学问题带来了一个全新的思想方法向量法。近两年高考的立体几何题都是兼顾A,B两种教材方案的。而相比较而言，用空间向量的方法解决空间几何图形中的距离和角的问题简便得多。一、用向量法求异面直线间的距离如图1，若是异面直线、的公垂线段，、分别为、上的任意两点.令向量，则.ABCD图1，.两异面直线、间的距离为：.其中与、均垂直，、分别为两异面直线上的任意两点.例1 如图2，正四棱锥的高，底边长，求异面直线和之间的距离.ABCDOS图2分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，.，.令向量，且，则，.异面直线和之间的距离为：.二、用向量法求点到平面的距离ABC图3如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量，求证：到平面的距离=.事实上 ，=.图4 例2 （2005湖北）如图4的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （）求BF的长； （）求点C到平面AEC1F的距离.（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为平面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为 例3 （2003年，全国高考题）如图5，已知正四棱柱，点E为中点，点F为中点。求点到平面BDE的距离。图5解：以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，则 ， ，设 平面BDE的法向量为 ，则， ， ， 即 ， ，则点到平面BDE的距离为 ， 三、用空间向量求直线到平面的距离例4、如图6,已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行，求与平面间的距离.ACBPEF图6解：设、的单位向量分别为、，选取，作为空间向量的一组基底，易知，=，设是平面的一个法向量，则，即，直线与平面间的距离=四、用空间向量求两平行平面间的距离例题5如图7，在棱长为的正方体中.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面间的距离.AA1DCBB1C1D1图7证明：（1）略。（2）建立如图所示的直角坐标系，设平面的一个法向量，则，即，平面与平面间的距离五用空间向量求异面直线所成的角例6已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成的角.解：在正方体AC1中，要求向量与所成的角，则可利用向量的数量积，只要求出及|和|即可求得向量与所成的角.解：设正方体的棱长为1, =a, =b, =c,则|a|=|b|=|c|=1，ab=bc=ca=0.又=+=+=a+b，=+=+=c+a，=(a+b)(c+a)=ac+bc+a2+ab=a2=.又|=,| |=，cos,=.,=arccos,即与所成的角为arccos.ABSCFE图8例7在正四面体中，棱长为，、分别为和的中点，求异面直线和所成角.解：如图8,a2 a2cos120 a2cos60 a2cos60a2而|a，|a cos又异面直线BE和SF所成的角范围为（0，,故异面直线BE和SF所成的角为arccos。 六、利用空间向量求直线和平面所成的角设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图11）或（图12）特别地 时，；时，或例8（2003年江苏 、辽宁卷高考题）如图11，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的大小。（结果用反三角函数表示）图11解：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则 ， ， ， ， 点E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 。 ， ， 平面ABD， 为平面ABD的一个法向量。由 得 ， 与平面ABD所成的角为 ，即 。七、用空间向量求平面和平面所成的二面角例9 （2005全国四川、陕西、云南等地区）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小图12证明：（）作AD的中点O，则VO底面ABCD 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1， 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，）， 由 又ABAV=A AB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量设是面VDB的法向量，则， 图13又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为例10 （2005江西）如图14，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）图14（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，