第三课时等差数列一

第三课时 等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子.讲授新课1，2，3，4，5，6；10，8，6，4，2，；21，21，22，22，23，23，24，24，252，2，2，2，2，首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）数列是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：ann(1n6).数列是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an122n(n1).数列是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an20n（1n9)数列的通项公式为：an2(n1)是一常数数列.综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，2，0.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：(n1)个等式若将这n1个等式左右两边分别相加，则可得：ana1(n1)d 即：ana1(n1)d当n1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切nN*时上述公式都成立，所以它可作为数列an的通项公式.或者由定义可得：a2a1d即：a2a1d；a3a2d即：a3a2da12d；a4a3d即：a4a3da13d；anan1d，即：anan1da1(n1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.如数列：an1(n1)1n(1n6),数列：an10(n1)(2)122n(n1),数列：an22(n1) 21n (n1),数列：an2(n1)02(n1)由通项公式可类推得：ama1(m1)d，即：a1am(m1)d，则：ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.如：a5a4da32da23da14d3.例题讲解例1(1)求等差数列8，5，2的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.解：由题意可知：a18，d58253该数列通项公式为：an8(n1)(3)，即：an113n(n1)，当n20时，则a201132049.答案：这个数列的第20项为49.(2)401是不是等差数列5，9，13的项?如果是，是第几项?分析：要想判断401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an401.解：由题意可知：a15，d9(5)4,数列通项公式为：an54(n1)4n1.令4014n1，解之得n100.401是这个数列的第100项.例2在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d.解：由题意可知，这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a12，d3.即这个等差数列的首项是2，公差是3.例3在等差数列an中，已知a510，a1525，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.解法一：设数列an的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a14，d.这个数列的通项公式为：an4(n1)，即：ann.a252540.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式anam(nm)d.这样可简化运算.解法二：由题意可知：a15a510d，即251010d,10d15.又a25a1510d，a25251540.思路三：若注意到在等差数列an中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.解法三：在等差数列an中，a5，a15，a25成等差数列2a15a5a25，即a252a15a5,a252251040.例4已知等差数列an中，a1533，a45153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知 得：由217234(n1)，得n61.解法二：由等差数列性质，得a45a1530d15333，即d4又ana15(n15)d，217334(n15)，解得n61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.故有，解得n61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.例5已知数列an为等差数列，a3，a7，求a15的值.解法一：利用通项公式，设数列an的首项为a1,公差为d则 解之得a15a114d14()解法二：利用等差数列的性质a7a34d把已知条件代入,得：da15a7(157)d.解法三：an为等差数列，a3,a7,a11,a15也成等差数列由a3，a7知上述数列首项为，公差为2a15(31)（2）例6两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列an，这样问题就转化为一个研究数列an的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为cn，c1=11,又数列5，8，11，的通项公式为an3n2，数列3，7，11，的通项公式为bn4n1.数列cn为等差数列，且12n1又a100302，b100399，cn12n1302得n25，可见已知两数列共有25个相同的项.解法二：an3n2，bn4n1，设anbm则有3n24m1(n，mN*)，即nm1(n，mN*)要使n为正整数，m必须是3的倍数.设m3k(kN*)，代入前式得n4k1又13k100，且14k1100，解得1k25共有25个相同的项.例7一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由 得4.6d 答案：4.课堂练习课本P34练习1，2，31.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a13，d734.该数列的通项公式为：an3(n1)4，即an4n1(n1，nN*)a444115，a10410139.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知：a110，d8102.该数列的通项公式为：an10(n1)(2)，即：an2n12，a202201228.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a12，d927.此数列通项公式为：an2(n1)77n5.令7n5100，解得：n15,100是这个数列的第15项.（4）20是不是等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：a10，d3此数列的通项公式为：ann令n20，解得n因为n20没有正整数解，所以20不是这个数列的项.2.在等差数列an中，（1）已知a410，a719，求a1与d；(2)已知a39，a93，求a12.解：（1）由题意得： 解之得：(2)解法一：由题意可得： 解之得：该数列的通项公式为：an11(n1)(1)