小议向量背景下的轨迹问题辅导不分本_第1页
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小议向量背景下的轨迹问题http:/www.DearEDU.com杨浦斌 向量是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着丰富的实际背景。本文就轨迹问题谈之。 一、中点问题 例1 已知A（2，0）、B（2，0），点C、点D满足，。 （I）求点D的轨迹方程； （II）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。 解：（I）设点C（），D（x，y），则， 又 故 解得 将其代入得，即为所求点D的轨迹方程。 （II）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 椭圆方程为 因为直线l与圆相切，故，解得。将代入，整理得，而，即 设M（），N（） 则 由题意有，解得。 经检验，此时0。 故所求的椭圆方程为。 二、角问题 例2 如图1，已知两定点A（c，0），B（2c，0）（c0），在AMB中，设向量的单位向量分别为1。 （I）求顶点M的轨迹方程，并画出方程的曲线； （II）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功。直到十九世纪，其不可能性才被Galois的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的ADB，并证明。图1 解：（I）设MBA=，MAB=，由题设，当时，有 设点M（x，y），当点M在x轴上方时，将，代入，整理得；当点M在x轴下方时，仍有。 注意到当x=2c时，亦满足方程。 故所求的轨迹方程是双曲线的右支，但不包括x轴上的点，图形如图1。 （II）如图1，作ADB的外接圆与双曲线交于点C（C是不在圆弧ADB上的点）。连AC，CB，CD，则有ADC=，BDC=，由，得BDC=ADB。 三、垂直问题 例3 如图2，P（3，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，且，在的延长线上取一点M，使。 （I）当A点在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程； （II）已知经过（1，0）以为方向向量的直线与轨迹C交于E、F两点，又点D（1，0），若EDF为钝角时，求k的取值范围。图2 解：（I）设A（0，）、Q（）、M（x，y），则），。 又 所以 所以 又 所以，所以 将代入，得 （II） 又0 将代入，整理得 所以 由题知k0，故 四、平行四边形问题 例4 一椭圆中心在原点，右焦点为F（2，0），离心率为。 （I）过F作弦AB，使，求点P的轨迹方程； （II）OAPB是不是矩形，如果是，写出相应的直线AB的方程，如果不是，说明理由。 解：（I） 设P（x,y）为轨迹上一点，由题设得平行四边形OAPB，其对称中心为（） 设，则，两式相减，得，即 而，将其代入上式，整理得，即为所求点P的轨迹方程。 （II）若ABx轴，得，相应的OAPB不是矩形 设AB
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