平面向量与解析几何交汇的综合问题李丕贵

平面向量与解析几何相交的综合问题平面向量与解析几何相交的综合问题苍南县龙港二高李丕贵设计的构想与思考因为向量具有代数和几何形式的双重身份，它是结合一些知识的媒介，成为中学数学知识的一个切入点，数学高考重视能力构想，在知识网络切入点设计问题，分析几何与平面向量的融合是新课程高考命题改革发展方向和创新的必然趋势。 学生感到普遍不习惯，分析几何复习时要适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。 本题目就以下两个方面复习平面向量与圆锥曲线相交的综合问题1 .以向量为载体，以轨迹方程为命题的切入点，综合考察学生平面向量的加法和减法及其几何意义、平面向量的数积及其几何意义、圆锥曲线的定义。 2、以矢量为工具分析圆锥曲线的标准方程和几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程的关系等几何学的基本思路和综合解题能力。回顾考试分数近3年来，平面矢量与圆锥曲线交叉的命题是，2002年天津卷21道是数学符号上的混合，2003年江苏卷的20道是用平面矢量的语言记述几何要素的关系，可以说是在知识点水平上统一的2004年是6卷(分别是全国卷理科(必修I ) 有21条的全国卷理科(选择)21条道辽宁省19条道湖南文21条道江苏卷21条道天津卷22条道)是平面矢量和圆锥曲线交叉合并的，可以说是在应用水平上合并的。 应用水平还有两个水平。 第一层：考察学生平面向量的概念、加减法、坐标表示、数量乘积等基本概念、运算把握情况。 第二层：学生平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、得分点、加减法几何意义(这三点已经涉及)、数积几何意义、射影定理(这两点发掘不充分，本专题重点论述例1的变化)。 调查学生把矢量作为工具使用的能力。 这个水平的问题在某种程度上很难，也是今后几年平面向量考试问题的一个方向整理基础知识1 .向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法2 .实数与矢量的乘积、两个矢量共线的充分条件、矢量的坐标运算3 .平面向量的数积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段得分点的人坐标公式和向量的平衡移位公式4 .椭圆、双曲线、抛物线的定义和简单几何性质的运用5 .曲线方程(包括指定圆锥曲线方程和轨迹方程)6 .直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦和倾斜度、对称问题)决定参数的取值范围7 .平面向量作为刀具综合处理长度、角度、垂直、投影等问题和圆锥曲线的典型问题。例题解说另一方面，“减少运算量，提高思维量”是今后几年的大学入学考试方向，在大学入学考试中求轨迹的方程式有利用适当的转换再利用定义法的倾向，有助于减少运算量，提高思维量。 圆锥曲线的两个定义可以用向量的类型和数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线的交叉命题开辟了广阔的空间。 以矢量为载体，以轨迹方程为命题的切入点，可综合研究学生平面矢量的加法和减法及其几何意义、平面矢量的数积及其几何意义、圆锥曲线的定义。例1 .已知x、y轴正方向的单位向量满足=、=，且| |=4.(1)求点P(x，y )的轨迹c的方程式。(2)若经过点Q(0，m )，方向向量=(1，1 )的直线l与点p的轨迹相交于a、b这两点，则在AOB的面积取最大值时，求出m的值。解： (1)=，然后|=。从点P(x，y )到点(，0 )、(-，0 )的距离之和为4，因此点p的轨迹方程式为(2)把a () b ()代入问题直线AB的方程式中，y=XM.=-m，=因此此时，即m=时问题设定变量I.1，y轴的正方向的单位向量已知有求=、=，且|=2.点P(x，y )的轨迹c的方程式.问题设定变量I.2，已知y轴正方向的单位向量满足=、=| .提示： K(-，0 )，f (，)表示从投影在x轴上的点p到x=-的距离，因此从点p到定点f的距离和定直线x=-的距离比为1，点p的轨迹以(0)为焦点，x=-为基准抛物线)。问题设定变量I.3，已知y轴正方向的单位向量满足=、=| .如果设提示： K(-，0 )，f (，)，则表示从投影在x轴上的点p到x=-的距离，因此从点p到定点f的距离与定直线x=-的距离比，此时，点p的轨迹以(0)为焦点，以x=-为对应基准线的椭圆； 当时，点p的轨迹为了得到以(0)为焦点、以x=-为基准线的双曲线的右分支双重支持，需要满足什么条件？ 问题设定变形式I.4已知满足以平面上的2个定点k、f、p为动点，求出.点P(x，y )的轨迹c的方程式(超过f焦点、k，以垂直于KF的直线为基准线的抛物线)。问题设定变形式I.5已知满足以平面上的2个定点k、f、p为一点，求出.点P(x，y )的轨迹c的方程式.以超过f焦点、k且垂直于KF的直线为基准线的圆锥曲线. 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析考试问题满足已知点a (，0 )，b (，0 )动点p。(1)将动点p的轨迹设为曲线C1，求出曲线C1的方程式。(2)曲线C1以y轴的正半轴为点q，超过点D(0)而成为倾斜度k的直线交叉曲线.C1为m、n点，无论k如何变化，请证明以MN为直径的圆超过q (解答请参照附件)问题设定变量II.1，已知y轴正方向的单位向量，且求出=、| |=4.点P(x，y )的轨迹c的方程式(点p的轨迹为圆，在此为a (，(0)，B(-，0 ) )问题设定变量II.2，在y轴正方向的单位矢量中，满足求出=、=、且=6.点P(x，y )的轨迹c的方程式.例2、已知两点m (-2，0 )、n (2，0 )、可动点p向y轴的投影为h，分别是公比q=2的等比数列的第3、第4项.(1)求动点p轨迹c的方程式(2)将通过点n的直线l的交线c位于x轴以下的两个不同点、a、b、r设为AB的中点，若点r与通过定点Q(0，-2)的直线和x轴与点d (x0，0 )相交，则求出x 0能够取得的范围.设导轨(1)为P(x，y )，则H(0，y )为又有了因此，点p轨迹方程式成为y2-x2=4(x0 ) .(AB:y=k(x-2 )，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3)。简化(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0所以呢DQ的方程式为y=0又由得到k2，从问题意义出发k1所以1 ，所以-()2 1，所以2x02求出的x0的值的范围是(2，2 )问题后反省改变q的值可以椭圆吗？在0q1情况下，点p的轨迹成为椭圆例3、如图所示，点F (a，0)(a0)、点p在y轴上移动，m是x轴上，n是动点(1)求点n轨迹c的方程式(2)通过点F(a，0 )直线l (不垂直于x轴)与曲线c与a、b两点相交，点K(-a，0 )所成的角度为求证：0解答提示 (1)点n轨迹c的方程式变化点F (a，0)(a0)，点p在y轴上移动，m在x轴上，n在动点另外，求点n的轨迹是抛物线吗？ 灬二、以向量为工具，推导出分析圆锥曲线标准方程和几何性质、曲线与方程关系等几何的基本思路和综合解题能力。已知例4、f椭圆的两个焦点通过点f的直线BC与b、c这两点相交(1)求点m的轨迹方程式答案(2)如果与焦点f对应基准线和x轴与点a相交，则|OF|=2|FA|、通过点a的直线和椭圆与p、q这2点相交，则通过()点p并与基准线平行的直线和椭圆与其他点m相交，则证明为：解： (1)略(2)证明：从已知方程式小心点所以呢.然后呢.结论发散假设p ()为椭圆上的点(1)求出的Min(2)求出的Max(3)0时的值范围。(4)如果与焦点f对应的十字准线在x轴和点a相交，则求出。(5)已知点m的坐标为(2，3 )，是求出的最大值。(6)已知点q的坐标为(1，1 )，是求出的最小值。(7)已知点q的坐标为(1，1 )，是求出的最大值。提示-提示=2a 2a=2a例5 .可知a、b是抛物线(p0)上两点，直线AB越过焦点f，a、b向十字准线的投影分别为c、d(1)喂，求抛物线方程式。(2) CD是否始终存在kya.a联赛乙组联赛xo.odcdc解： (1)提示： a ()、b ()是将直线AB方程式代入抛物线方程式(2)设线段AB的中点p在十字准线上的投影为t则噗噗、噗噗、噗噗、噗噗地由于存在点k即点t实质：以AB为直径的圆与瞄准线相切结论发散1 根据y轴上是否存在一定的k实质：以AF为直径的圆与y轴相切结论发散2寻求证据：结论发散3寻求实证：实数存在实质：证明a、o、d三点共通线(2001年大学入学考试问题) 结论发散4线段AB的中点p向瞄准线的投影为t，证明：问题设定变更1a、b为抛物线(p0 )上的2点，点c坐标为(一)寻求证据： _(2)若=()且求出点m轨迹方程式。问题设定变更2(2004全国湖南文21 )如图所示，通过抛物线x2=4y对称轴的任意点P(0，m)(m0)是直线和抛物线与a、b两点相交，点q是点p相对于原点的对称点.解：根据问题意义，可以将直线AB的方程式代入抛物线方程式中得到、将a、b两点的坐标分别设为、x2设为方程式的两条所以呢以点P(0，m )划分有向线段的比得到另外，点q是关于点p原点的对称点由于故障点q坐标为(0，-m )所以呢思维能力训练一、选择问题1，(2002年新课卷)在平面直角坐标系中，作为坐标原点，如果满足点，则可知点的轨迹方程式为()A. B .C. D2、如果已知x、y轴的正方向的单位向量，且满足=、=|=4.则点P(x，y )的轨迹为.()a、椭圆b .双曲线c .线段d .线3、已知的四边形ABCD是菱形，点p位于对角线AC上(不包括端点a、c )，AP=(A)(AB AD )、(0，1 ) (b ) (abbc )、(0，)(C) (AB-AD )、(0，1 ) (d ) (a B- BC )、(0)，4、已知是平面上的一点，是平面上的非共用线的三点，如果满足移动点，点的轨迹必定通过()(a )外心(b )心(c )重心(d )下垂5、已知两点a (-1，0，0 )、b (1，0 )、可动点p在y轴上的投影为q，可动点p的轨迹为():a、抛物线b .双曲线c .椭圆d .直线6 .已知a、b是抛物线(p0)上的两个点，直线ab超过焦点f，a、b分别投影到基准线上的是c、d，则(2)、(3)存在实数，如果(4)线段ab的中点p投影到基准线上的是t则为正确中说的正确个数是()A. 1 B.2 C. 3 D.4二、填空问题7、如果已知x、y轴正方向的单位向量，且满足=、=且=2|，则点P(x，y )的轨迹方程式为_ .8、众所周知，椭圆的两个焦点是p ()在椭圆上的点如果为0，则值的范围为_。三、解答问题9.(2004年全国高考辽宁19 )椭圆方程式是通过点m (0，1 )的直线l与点a、b、o相交的椭圆为坐标原点，满足点p，点n的坐标是在l以点m为中心旋转时求出的(1)动点p轨迹方程式(2)的最小值和最大值10 .众所周知，双曲线C: B位于右项点、f右焦点、点a位于x轴的正半轴上，满足、等比数列，超过f设双曲线c的第一、第三象限的渐近线为垂线l，满足p。(一)寻求证据：(2)l和双曲线c的左、右分别与点d、e相交时，求出双曲线c的离心率e的可取范围。11 .已知点H(0，3 )，点p在x轴上，点q在y轴的正半轴上，点m在直线PQ上且满足(1)点p在x轴上移动时，求出点m轨迹曲线c的方程式(2)通过定点A(a，b )直线和曲线c在两点s，r相交，抛物线s，r的两点的切线的交点b在一条直线上是一定的附件：例1问题设定变形式I.5问题：满足已知点a (，0 )，b