数学《排列组合二项式》两个计数原理学案

第一会话的两个计数原理基本合格1 .分类计数原理(也称为加法原理):作为一种方法，完成它有n种方法，第一种方法有m1种不同的方法，第二种方法有m2种不同的方法，第n种方法有mn种不同的方法，完成它有N=种不同的方法。2 .逐步计数原理(也称为乘法原理):要完成一个步骤，必须分成n个步骤，第一步骤有m-1种不同的方法，第二步骤有m-2种不同的方法，n个步骤有mn种不同的方法，并完成它3 .解题方法：列举法、插入法、隔板法典型例题例1 .高三(1)、(2)、(3)班分别有48、50、52名学生(1)从中选择一个为学生代表的方法有多少种？(2)每个班选一个人组成演讲团队的方法有多少种？(3)从这150名学生中选出4人参加学代会有哪些方法？(4)从这150名学生中选出4人参加数学理化的4个课外活动组，有多少种方法？解： (1)48 50 52=150种(2)485052=124800种(3) (4)在变体训练1 :直角坐标x-o-y平面上，由平行线x=n、(n=0，1，2，3，4，5 )、y=n、(n=0，1，2，3，4，5 )构成的图形共享矩形()a、25个b、36个c、100个d、225个解：垂直于x轴的6条直线中，任意取2条，垂直于y轴的6条直线中，任意取2条，这样的4条直线相交就能得到矩形，因此从步进计数的原理出发因为得到的矩形是全部，所以选择了d。例2.(把一封信投入六个职位，有多少种不同的投票方法？(2) I= 1，2，3，4，5，6 ，a和b都是I的子集，假设ab= 1，3，5 ，(a，b )被称为理想配比，所有的理想配比都有几种？(3)随着通信事业的发展，很多地方的电话号码上升，在某处从原来的7个电话号码上升到8个电话号码的情况下，上升后询问能增设多少台电话号码(电话号码的首位不是0 )解： (1)65 (2)27 (3)电话号码不是0:9107-9106=8.1107变式训练2 :圆分为6个大小扇形，取红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。六个小扇形分别着色成六种颜色的方法有哪些？从这6种颜色中选择5种颜色的着色，相邻的2个扇形不会变成相同颜色的情况下有几种不同的着色方法？解： 6个小扇形各有6种不同的颜色，共有着色方法6个扇形从6色中选择5色着色共有不同的方法，其中相邻的2个扇形共有相同颜色的着色方法，因此，满足条件的着色方法有各种各样的着色方法图a、b、c、d是海上的四个小岛，现在建造三座桥，连接四个小岛，建造桥的方案不同()d.da.aa、8种b、12种c、16种d、20种英国广播公司解：第一类：从一个岛到另一个三岛建桥，共有四种方法第二类：在一个岛上建造最多两座桥。 例如，a-b-c-d、d-c-b-a这两个排列对应于建设一座桥方法，因此有方法根据分类计数的原理可知，有4 12=16种方法变式训练3 :一家公司招聘8名员工，平均分为部下甲、乙两个部门，其中两名翻译不能同时分为一个部门，另外三名电脑程序员也不能同时分为一个部门，要求有多少不同的分配方案。解：运用逐步计数原理，首先翻译成英语，然后分为电脑程序员，最后分为各人，因此有2(3 3)3=36种如图4所示，小圆圈表示网络中的节点，节点之间的连接表示网络电缆已经连接，附加给连接的数字表示网络电缆在单位时间内可以接受的最大信息量，从当前节点a至节点b发送信息，并且沿着不同的路径a、26 B、24 C、20 D、193 5 12b4a6 76128解：完成是“从a向b传达信息”，完成有四种方法第1253类第12六四类第12六七类第四类： 12 8 6在第一类中，发现每单位时间传输的最大信息量是3，第二类的每单位时间传输的最大信息量是4第三类的每单位时间传输的最大信息量为6，第四类的每单位时间传输的最大信息量为6。 根据分类计数的原理可知，3 4 6 6=19，因此选择了d变形训练4 :任意把7个同样的球放进4个不同的箱子里，每个箱子有多少种不空的放置方法解：首先，必须明确“每个箱子不能空”的意思是“每个箱子至少有一个球”。因此，我们采用“隔板法”解决了问题。 七个球中两个之间各有六个空，我们从六个空中任意选择三个分别插入三个隔板，这三个隔板将七个球分成四个部分，而且一个部分至少有一个球。 也就是说，有=20种方法，另外，各个分割方法对应于放球的方法。 因此，有20种放球放球法。注(1)本问题如果用“分类讨论”的方法解决的话，会变得麻烦的大家请尝试一下。(2)隔离法只能在“不区别