数学一轮单元能力测9

第九章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若曲线1的一条准线方程为x10，则m的值为()A8或86B6或56C5或56 D6或86答案D解析由准线是x10及方程形式知曲线是焦点在x轴上的椭圆，所以a2m4，b29，则c，于是10，解得m6或86.m49，m5，均符合题意2已知椭圆1(ab0)的面积为Sab，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为()A15 B.C3 D.答案D解析由题意得则得到所以Sab.3过抛物线yx2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M，N，则直线MN过定点()A(0,1) B(1,0)C(0，1) D(1,0)答案A解析特殊值法，取准线上一点(0，1)设M(x1，x12)，N(x2，x22)，则过M、N的切线方程分别为yx12x1(xx1)，yx22x2(xx2)将(0，1)代入得x12x224，MN的方程为y1，恒过(0,1)点4设双曲线16x29y2144的右焦点为F2，M是双曲线上任意一点，点A的坐标为(9,2)，则|MA|MF2|的最小值为()A9 B.C. D.答案B解析双曲线标准方程为1，离心率为，运用第二定义，将|MF2|转化为M到右准线的距离5抛物线yax2(a0)的焦点坐标是()A(0，) B(0，)C(0，) D(0，)答案C解析因为a0，所以方程可化为x2y，所以焦点坐标为(0，)故选C.6设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且0，则|等于()A. B2C. D2答案B解析F1(，0)，F2(，0)，2c2，2a2.0，|2|2|F1F2|24c240()2|2|2240，|2.7已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.答案B解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，则e.8设双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为()A2 BC D答案C解析椭圆1中，a5，c4.设双曲线方程为1(a0，b0)所以c5，4.所以a220，b2c2a25.所以双曲线方程为1.所以其渐近线方程为yxx，所以其斜率为.解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a，b，c关系，这也是极易混淆之处9已知椭圆1的两个焦点为F1、F2，M是椭圆上一点，且|MF1|MF2|1，则MF1F2是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等边三角形答案C解析由1知a2，b，c1，e.则|MF1|MF2|4，又|MF1|MF2|1.|MF1|，|MF2|，又|F1F2|2.|MF1|F1F2|MF2|，cosMF2F10，MF2F190.即MF1F2是直角三角形10已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为()A30 B45C60 D90答案D解析由yx和x得A(，)，Scab，又Sa2，ab，其夹角为90.11. 已知两点M(3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|0，则动点P(x，y)到点A(3,0)的距离的最小值为()A2 B3C4 D6答案B解析因为M(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0得66(x3)0，化简整理得y212x，所以点A是抛物线y212x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(3,0)的距离，所以d3.12如图，过抛物线x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点A、B、C、D，则的值是()A8p2B4p2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA，|DF|pyD，|yAyDp2.因为，的方向相同，所以|yAyDp2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_答案1解析令AB2，则AC2，椭圆中c1,2a22a1，可得e1.命题思路本题考查椭圆概念和基本量的关系14若焦点在x轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是_答案b且b0解析设椭圆的两焦点为F1(c,0)，F2(c,0)以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b0.15设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为E，P(x，y)为该区域的一个动点，则目标函数zx2y的最小值为_答案16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若|k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析错误，当k0且k0且k|AB|时表示一条射线；当k0且k|AB|时，不表示任何图形；当k1时，设Q(x，y)，因为抛物线的准线为x1.所以由题意得2(x1)(x11)(x21)即x，所以y2x41.即Q点坐标为(，1)当xb0，且得a24，b21，曲线C的方程为x21(x0，y0)y2(0x1)，y.设P(x0，y0)，因P在C上，有0x01，y2)(2)|2x2y2，y24，|2x215459，且当x21，即x1时，上式取等号故|的最小值为3.19(本小题满分12分)已知点A(3,0)，点B在x轴上，点M在直线x1上移动，且0，动点C满足3.(1)求C点的轨迹D的方程；(2)设直线l：yk(x1)与曲线D有两个不同的交点E，F，点P(0,1)，当EPF为锐角时，求k的取值范围解析(1)设M(1，y0)，C(x，y)，B(b,0)3，b，0.又0，(2，y0)，(b1，y0)，2(b1)y020.由得y2(1x)，这就是C点的轨迹D的方程(2)l：yk(x1)代入y2(1x)得3k2x2(16k2)x3k210，解得x11，x2，则y10，y2.设E(1,0)，则F(，)，(1，1)，(，1)当EPF为锐角时，(1)0，解得k.当时，有k1，应舍去故k的取值范围为(，1)(1，)(，)20(本小题满分12分)如右图所示，等腰三角形ABC的底边BC的两端点是椭圆E：1(ab0)的两焦点，且AB的中点D在椭圆E上(1)若ABC60，|AB|4，试求椭圆E的方程；(2)设椭圆离心率为e，求cosABC.解析(1)因为ABC60，且ABC为等腰三角形，所以ABC是正三角形又因为点B，C是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c，则2c|BC|AB|4，如右图所示，连结CD，由AB中点D在椭圆上，得2a|BD|CD|AB|AB|22，所以a1，从而a242，b2a2c22，故所求椭圆E的方程为1.(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，且|AD|DB|m，连结CD，则|BO|OC|c，|DC|2am，在RtAOB中，cosABC.在BCD中，由余弦定理，得cosABC.由式得2m，代入式得cosABC.21(本小题满分12分)如右图所示，F1(3,0)，F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直线x是双曲线C的右准线，A1，A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一个动点，直线A1P，A2P交双曲线C的右准线分别于M，N两点(1)求双曲线C的方程；(2)求证：是定值解析(1)由已知，c3，所以a2，b2c2a25.所以所求双曲线C的方程为1.(2)设P的坐标为(x0，y0)，M，N的纵坐标分别为y1，y2，因为A1(2,0)，A2(2,0)，所以(x02，y0)，(x02，y0)，A1M(，y1)，(，y2)因为与A1M共线，所以(x02)y1y0，所以y1.同理，y2.因为(，y1)，(，y2)所以y1y210.22(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)(c0)，过点E(，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.()求椭圆的离心率；()求直线AB的斜率；()设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m0)在AF1C的外接圆上，求的值解析()由F1AF2B且|F1A|2|F2B|，得，从而.整理，得a23c2.故离心率e.()由()，得b2a2c22c2.所以椭圆的方程可写为2x23y26c2.设直线AB的方程为yk(x)，即yk(x3c)由已知设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则它们的坐标满足方程组消去y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20.依题意，48c2(13k2)0，得k.而x1x2，x1x2.由题设知，点B为线段AE的中点，所以x13c2x2.联立解得x1，x2.将x1，x2代入中，解得k.()解法一由()可知x10，x2.当k时，得A(0，c)，由已知得C(0，c)线段AF1的垂直平分线l的方程为yc(x)，直线l与x轴的交点(，0)是AF1C的外接圆的圆心因此外接圆的方程为(x)2y2(c)2.直线F2B的方程为y(xc)，于是点H(m，n)的坐标满足方程组由m