数学二轮空间距离

高考数学二轮复习 空间距离知识梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.高考考纲透析：1了解两异面直线间距离的概念，能在给出公垂线的条件下求出两异面直线的距离；2理解和掌握点到平面的距离、直线和平面的距离、两平行平面间的距离的概念并能根据条件求解相关距离。高考热点： 空间距离主要是求点到面的距离学法点拨求距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明，最后别忘了下结论。知识整合:1. 点到平面的距离求法: 1）直接求解法：找垂面，作垂线 （设法找到过该点且与已知平面垂直的一个平面，再过该点作两平面交线的垂线，所得垂线段即为点到平面的距离）2）间接求解法：等体积法对称点转化法：将点到平面的距离转化为该点关于平面上某点的对称点到该平面的距离。 平行线转化法：将点到平面的距离转化为经过该点与该平面平行的直线的直线上的其他点到平面的距离【典型例题】选择题：1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为 （ ）A. B. C. D.1答案：D2.在ABC中，AB=15，BCA=120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 （ ） A.13B.11C.9D.7答案：B3把边长为a的正ABC沿高线AD折成600的二面角，则点A到BC的距离是（）答案：；思维点拔在翻折中注意什么变了，而什么没有变4在矩形中，平面，且，则到对角线的距离为（ ） (A) (B) (C) (D) 答案：B5.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )A. aB. aC. aD. a（提示：由对称点转化法得点A1到平面MBD的距离等于点A到面MBD的距离，再由等积法得.VAMBD=VMADB.易求d=a）答案：D 6在中，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是 （ ） 答案：B7、如图，P是正方形外一点，且面，点到平面的距离为，点到平面的距离为，DC到平面PAB的距离为则（） 答案：D8在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是 （ ） 答案：A9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （ ）A B CD答案：B；10。在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1则点A到平面A1BC的距离为 （ ）（A） （B） （C） （D）答案：BBCA1B1C1MNA提示：如图，作AM，连接A1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易证平面AMA1垂直于平面A1BC,再作AN,即AN为点A到平面A1BC的距离.在直角三角形AA1M中,易求得:AN=.或利用等积代换法:由,可求点A到平面A1BC的距离.故选B.填空题：1已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为 2已知二面角为，角，则到平面的距离为 3已知长方体中，那么直线到平面的距离是 4如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距离为_5.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为 （提示：是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，平面，到平面的距离等于）6如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1， 则点C到平面AEC1F的距离为 （提示：延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离解答题例1在梯形ABCD中，ADBC，ABC/2，ABa，AD=3a且ADC =，又PA平面ABCD，PA=a求：（）二面角PCDA的大小；（）点到平面PBC的距离PCABDFH解：（）作于，连结，因为平面，就是二面角的平面角，在中，在中， ,.（）因为平面ABCD,PABC，又BCAB，BC平面PAB，作AHPB，则BCAH，AH平面，。故，点到平面的距离为思维点拔利用定义法求点到平面的距离常需要借助三垂线定理或其逆定理。例2如图，已知为边长是的正方形，分别是，的中点，垂直于所在的平面，且，求点到平面的距离解法一：连结，又，分别是，的中点，解法二，分别是，的中点，EFBD，到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离，BDAC于，EFBD，EFAC又GC平面ABCD，EF平面ABCD，EFGC，EF平面GEF，平面GEF平面GCH，过点作，则平面，为到平面GCH的距离，即到平面GEF的距离由解法一知，由得 思维点拔注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法例3如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=，沿对角线AC折成直二面角，（1）求证：AB平面BCD。（2）求平面ABD与平面ACD所成的角。（3）求点C到平面ABD的距离。（1）证明：因为AB=BC=CD=a，ABC=900，ACB=450，ACD=900，CDAC，又平面ABC平面ACD，CD平面ABC，CDAB又ABBC，所以，AB平面BCD。ABCDACBDOE（2）作BOAC于O，作OEAD于E，连结BE，则即为所求二面角的平面角，易知： ，即平面ABD与平面ACD所成的角为。（3）连结OD，在直角三角形BOD中，是直角三角形，由，得，即为点C到平面ABD的距离。思维点拔体积法求点面距离是最常用的方法。BACD例4已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，对角线B1C=10，D是AC的中点。（1）求点B1到直线AC的距离。（2）求直线AB1到平面C1BD的距离解：（1）连结BD，B1D，由三垂线定理可得：B1D AC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。在RtB1BD中（2）因为AC与平面BDC1交于的中点，设B1CBC1=E，则AB1/DE，所以AB1/平面C1BD，所以AB1到平面BDC1的距离等于点到平面BDC1的距离，等于点到平面BDC1的距离，也就等于三棱锥CBDC1的高，所以，直线到平面BD的距离是思维点拔求空