数学冲刺直线和圆

直线和圆的方程知识点总结精华考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式直线方程的一般式两条直线平行与垂直的条件两条直线的交角点到直线的距离用二元一次不等式表示平面区域简单的线性规划问题曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程圆的标准方程和一般方程圆的参数方程考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系（3）了解二元一次不等式表示平面区域（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线. 在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离： 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角（0180）、斜率:过两点. 当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm).2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR)3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注：该直线系不含l2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与轴轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参数方程：（为参数）.方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆外5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为.时，与相离. 附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程 又以ABCD为圆为方程为 ，所以BC的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.试题精粹江苏省2011年高考数学联考试题4（江苏省2010届苏北四市第一次联考）直线l过点（-1，2）且与直线垂直，则直线l的方程是 6. （常州市2011届高三数学调研）已知：圆M： ，直线的倾斜角为，与圆M交于P、Q两点，若(O为原点)，则在轴上的截距为 . 13（姜堰二中学情调查（三）在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，若函数 的零点，则k= 011. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）过直线上一点作圆的线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 。11（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，4）两点，若点C在的平分线上，且，则点C的坐标是 13、（南通市六所省重点高中联考试卷）设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作M1；以M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3)，记作M2；以Mn为圆心，| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1)，记作Mn；当nN*时，过原点作倾斜角为30的直线与Mn交于An，Bn考察下列论断：当n1时，| A1B1 |2；当n2时，| A2B2 |；当n3时，| A3B3 |；当n4时，| A4B4 |；由以上论断推测一个一般的结论：对于nN*，| AnBn | 11、（宿迁市高三12月联考）若三条直线共有三个不同的交点，则实数满足的条件是_ _；12（徐州市12月高三调研）已知直线与圆：相交于两点，若点M在圆上，且有（为坐标原点），则实数= .09（盐城市第一次调研）已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为 . 10.（苏州市2011届高三调研测试）已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 . 【解析】由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以14. （苏州市2011届高三调研测试）在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 . 【解析】设切点为，则切线的斜率，切线方程为，所以17、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.（）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；（）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值，并求此时直线的方程.解：（）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，4分解得且圆的方程为7分（）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即，化简得 10分从而，等号成立，时，即、被圆所截得弦长之和的最大值为 13分此时，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，则，直线的方程为：或 15分试题精粹江苏省2010年高考数学联考试题一、填空题:9（江苏省南通市2010年高三二模）设圆的一条切线与轴、轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 解析：设切点为D,则连接OD知 ,从而得到,所以线段AB,则线段AB长度的最小值为2.高&考%资(源#网 wxc8(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知两圆(x1)2+(y1)2r2和(x+2)2+(y+2)2R2相交于P,Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 （2，1） （2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，设直线：与圆：相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆上，则实数k= 08（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）设圆的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 。27（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知圆的弦的中点为，则弦的长为 . 47、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知两圆(x1)2+(y1)2r2和(x+2)2+(y+2)2R2相交于P,Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 8、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）过点（1，2）的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当D的面积最小时，直线的方程是 11（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知三点， ， ，矩形的顶点、分别在的边、上，、都在边上，不管矩形如何变化，它的对角线、的交点恒在一条定直线上，那么直线的方程是 。二、解答题18(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）lABQFPOxy（第18题）如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F若点P(1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线PQ与圆O相切18（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）已知半椭圆和半圆组成曲线，其中；如图，半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大。（1）求曲线的方程；（2）连、交分别于点，求证：为定值。18（本小题满分16分）18. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。18.（1）设抛物线的方程为，因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为 4分（2）由题意可知，,则直线方程为：，即，8分设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，则圆心到直线的距离， 10分即或由可得对任意恒成立，则有，解得（舍去）14分由可得对任意恒成立，则有，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为. Z16分配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A)(B)(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得： 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ,应选C.例2设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是( ). (A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90,得(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,故 , 选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为,a=2b,因此所求双曲线方程可写成： (1),故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),点Q(x,y)在双曲线上,(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(ya或y-a).二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域ya或y-a,因此,需对a4与a4分类讨论.(1)当a4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,令,得a2=4所求双曲线方程为.(2)当a4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,令,得a2=49,所求双曲线方程为.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y=f(x)=ax+b (a0),可知 ,.比较系数可知： 解此方程组,得 ,b=2,所求f(x)=.例5如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x0,y0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y) (1)此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数,0x3,0y3,3t,当t=4时,SABCD的最小值为.此时注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若3,求k的取值范围.解：3,以,代入整理得(k2-2)25,又=4k2-160,解得k(-),+.例7点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.解：点P(x,y)在椭圆上移动, 可设 于是 = = 令, ,|t|. 于是u=,(|t|). 当t=,即时,u有最大值. =2k+(kZ)时,.例8过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.解：设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方程整理得 (*)由韦达定理,(1),(2) 又F(1,0)且AFBF, 即 , 将,代入上式整理得 , 将(1)式,(2)式代入,解得 . 故直线l的倾斜角为或.注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.例9设集合A=(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；(2)当aB时,不等式x2-5x-60且方程化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,则=0 或即a=1或a0,从而B=(-,01.(2)当a=1时,x0恒成立,故 4.综上讨论,x的取值范围是(,4).直线与圆过关测试直线(a+1)x(2a+5)y6=0必过一定点，定点的坐标为 若点A（3，4）和B（3，4）在直线的同侧，则a的取值范围是 直线y=xcos+1(R)的倾斜角的取值范围是 已知一直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0, 5)的距离相等，则此直线的方程为 已知三条直线3xy+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0不能围成三角形，则m的值为 圆C:x2+y22x6y15=0与直线l：(1+3m)x+(32m)y+4m170的交点个数是 过点，且与轴、轴的截距相等的直线方程是 直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为 设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 10、圆上任意一点的坐标都使不等式成立，则的取值范围是 11、如图，是直线上的两点，且两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 12、已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B.(1)求AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)当|PA|PB|取最小值时，求直线l的方程13、已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:(x-3)2+(y+6)2=25.(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆C总相交;(2)求直线l被圆C截得的线段最短时的直线l方程.14、自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程参考答案1、（-2，-4） 2、 3、 4、4xy2=0或x15、3或1或2 6、2 7、 8、60 9、110、 11、 12、(1)设l的方程为=1，则A(a,0)，B(0,b)且a0，b0，又l过P(3,