数学一轮资料第6讲三角函数篇之三角函数知识点概述

第一部分：基本知识点回顾任意角三角函数定义单位圆定义：坐标点定义：象限角的三角函数值的符号轴线角的三角函数值三角函数线同角三角函数的基本关系式诱导公式三角函数的图像与性质定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性（最值）、对称性三角函数的图像三角函数的性质函数的图像五点作图法三角函数的图像变换相关概念的物理意义先相位后周期：先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）.解三角形正弦定理余弦定理及推论解三角形的四种类型三角形的面积公式角的有关概念任意角定义分类终边相同角的概念按旋转方向分：按终边位置分：弧度制定义及规定弧度与角度的换算特殊角的度数与弧度数的对应表扇形公式第一节：三角函数概念1. 角的概念2. 象限角第I象限角的集合：第II角限角的集合：第III象限角的集合： 第IV象限角的集合：3. 轴线角4. 终边相同的角与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）: ;终边在x轴上的角的集合:;终边在y轴上的角的集合：;终边在坐标轴上的角的集合：.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化： 1弧度6.弧度制下的公式扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。7. 任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，则，注: 三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基础知识 （一） 同角三角函数的基本关系式： 平方关系； 商式关系； 倒数关系。注：关于公式的深化；如：；（二） 正弦余弦的诱导公式：与的三角函数关系 是“奇变偶不变，符号看象限”。注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为00 900 角的三角函数。 2、主要用途： a)已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值 b) 化简同角三角函数式； c)证明同角的三角恒等式。第三节:三角函数的图象一、主要知识：1三角函数线；注：23用五点法作图00A0-A0图象变换：平移、伸缩两个程序A-振幅 -周期 -频率 4图象的对称性的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。二、主要方法：1“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定第四节:三角函数的性质一、知识梳理：1、三角函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR值域和最值-1,1当时，当时，-1,1当时，当时，R无最值周期22奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调区间增区间：减区间：增区间：减区间：增区间：每一个减区间：无对称轴无对称中心2、函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是； 对称轴的位置：图象的最高点处；对称中心的位置：函数的零点处。而函数对称轴的位置：函数的零点处；对称中心的位置：图象的最高点处。3、思想方法:（1）总是用图象得函数的各性质,（2）选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。（3）在研究函数的各项性质的时候总是设，从而只需讨论的各项性质就可得到的各项性质和由的范围得到的范围.（4）合一：y=asinx+bcosx= sin（x+）= cos（x+）这里，第二部分：三角函数的概念、性质和图象 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义会求yAsin(xj)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAsin(xj)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。5形如 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。6同一问题中出现，求它们的范围。如求的值域。7已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。如已知的值。8正弦定理： 余弦定理：，可归纳为表91. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。 1. 三角函数的图象与性质和性质2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的个性特点例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性，具有分段单调的特征通过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题根据考纲的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及yAsin(xj)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数的周期 看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题（例1），你应该对复习的要求有个基本的了解例 求下列三角函数的周期（根据历年全国高考有关考题(填空、选择题)改编注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期 3. 弦函数的有界性：|sinx|1,|cosx|1在解题中有着广泛的应用，忽视这一性质，常会出现错误。 例3 求下列函数的值域： 解法2 令tsinx，则f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。5. “去负脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0o,360o)或0o,180o)内的三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐. 同角三角函数之间的三种关系： (1)倒数关系：(2)商数关系： (3)平方关系：是进行三角式化简的最基本的公式，必须熟练掌握 其中九组三角诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限此外在应用时，不论a取什么值，我们始终视a为锐角否则，将导致错误。 6. 三角函数的图象、单位图以及三角函数线，为我们提供了数形结合的解题方法，在解题中有着广泛的应用，应引起足够的重视 7. 在函数yAsin(xj)k (A0, 0)中，A和确定函数图象的形状，j和k确定图象的位置 作函数yAsin(xj)k的图象，既可用“五点法”，也可用图象变换的方法图象的基本变换有振幅变换、周期变换，以及相位变换（左、右平移）和上下平移，前两种变换是伸缩变换，后两种变换是平移变换 对函数yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短 (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长 (3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的j0,左移；j0，右移 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移 于是，本题的答案为、 评析 本例所用的方法带有普遍性，用来解有关函数yAsin（xj）的图象是十分奏效的。第三部分：书本知识点1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合： .1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .3、弧长公式：.4、扇形面积公式：.1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：.2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，.3、 ，在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、 诱导公式一：（其中：）5、 特殊角0，30，45，60，90，180，270的三角函数值.1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.2、 商数关系：.1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二： 2、诱导公式三： 3、诱导公式四： 4、诱导公式五： 5、诱导公式六： 1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、 会用五点法作图.1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定