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文档简介

1,空间向量应用2在立体几何证明中的应用,2,一、用空间向量处理“平行”问题,3,一、用空间向量处理“平行”问题,4,M,N,例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分别是AC、BF的中点，且AH=GF.求证：HG平面CBE.,5,P,6,y,z,x,证明：分别以BE、BA、BC为x、y、z轴建立空间直角坐标系o-xyz.,设正方形边长为2,7,变式：将题中的“H、G分别为GA、BF的中点”改为“AH=GF”求证：HG平面CBE,8,o,z,y,证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1,AH=FG=a,则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量为(0,1,0),故,而平面CBE故HG平面CBE,9,R,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN平面AC.,10,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1),11,例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CB1D1,于是平面A1BD平面CB1D1,12,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,13,例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH平面BDGF,故得平面AEH平面BDGF,14,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF的法向量为,求得平面BDGH的法向量为,显然有,故平面AEH平面BDGF,15,二、用空间向量处理“垂直”问题,16,二、用空间向量处理“垂直”问题,17,F,E,X,Y,Z,18,19,证明:,分别以为坐标向量建立空间直角坐标系,20,例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,x,z,y,21,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设a=2，则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则,x,nAE=3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y=-2z,令z=1得,n=（0，-2，1）,显然有mn=0，即，mn,面AEF面ACF,证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，,2
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