数学一轮第三篇导数及其应用第1讲　变化率与导数、导数的运算教案理新人教

第一次变化率和导数、导数的运算【2013年大学入学考试会这样考试】1 .利用微分系数的几何意义求曲线某点的切线方程2 .考察导数的计算，特别是简单函数的推导【复习指导】在本课上复习时，应该利用具体实施方式，了解导数的含义和几何意义，并利用导数表达式和导数算法求得一些函数基础整理1 .函数y=f(x )从x1到x2的平均变化率函数y=f(x )从x1到x2的平均变化率x=x2-x1、y=f(x2)-f(x1 )，平均变化率可以表示如下.2 .函数y=f(x )在x=x0处的导数(1)定义函数y=f(x )在x=x0时的瞬时变化率li=li是函数y=f(x )在x=x0下的导数，表示为f(x0)或y|x=x0、即f(x0)=li .(2)几何意义函数f(x )在点x0处导数f(x0 )的几何意义是曲线y=f(x )上的点(x0，f(x0 ) )处的切线的斜率.3 .函数f(x )的导数将函数f(x)=li称为f(x )导数，有时将导数记为y .4 .基本初等函数的导数公式如果f(x)=c，则f(x)=0；如果f(x)=x(R )，则f(x)=x-1；如果f(x)=sin x，则f(x)=cosx；如果f(x)=cos x，则f(x)=-sinx；f(x)=ax(a0，且a1 )，f(x)=axln_a；如果f(x)=ex，则f(x)=ex；在f(x)=logax(a0且a1 )情况下，f(x)=；如果f(x)=ln x，则为f(x)=5 .导数四则算法(1)f(x)g(x)=f(x)g(x )(2)f(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g(x )；(3)=(g (x )0 )6 .复合函数的求法复合函数y=f(g(x ) )导数与函数y=f(u )、u=g(x )的导数的关系为yx=yuux .一个区别曲线y=f(x )点P(x0，y0)处的切线与点P(x0，y0)处的切线的差异：曲线y=f(x )的点P(x0，y0)处的切线，p为接点，在存在切线的倾斜的情况下，切线的倾斜度为k=f(x0)中唯一的切线即曲线y=f(x )的通过点P(x0，y0)的切线，意味着切线通过p点，点p既不是接点也不是接点，另外，这样的直线可能有多条.两条法则(1)导数的四则算法(2)复合函数的求导规律三项防范1 .利用公式求导时，要特别注意除法中的分子符号，不要与乘法混淆。2 .必须正确理解直线和曲线的切线和直线和曲线的交点的不同3 .正确分解复合函数的结构，从外向内逐层求导，以免泄漏双基自测1 .在下一个诱导过程中：=-； ()=； (logax )=为(ax )=(elnax )=(exl na )=exlnalna=axl na其中正确个数为().A.1 B.2 C.3 D.4答案d2.(人教a版教材练习题的改编)函数f(x)=(x 2a)(x-a)2的导数为().A.2(x2-a2) B.2(x2 a2 )C.3(x2-a2) D.3(x2 a2 )分析f (x )=(x-a )2(x2a ) 2(x-a ) =3(x2- a2) .答案c3.(2011湖南)曲线y=-点m处的切线斜率为().A.- B. C.- D .本小题分析导数运算、导数几何意义，考察运算求解能力当代入y=、x=时，导数值如下所示.答案b4 .如果(2011江西) f(x)=x2-2x-4ln x，则f(x)0的解集为().A.(0，) b.(-1，0 ) (2，)C.(2，) d.(-1，0 )分析命令f(x)=2x-2-=0，在数学轴定标法中为-1x2，且x0，因此x2.答案c5 .如图所示，函数f(x )的图像为折线ABC，a、b、c的坐标分别为(0，4 )、(2，0 )、(6，4 )、f (f (0) )=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (用数字回答)答案2 -2考虑一个导数的定义利用导数的定义求出函数f(x)=x3在x=x0时的导数，求出曲线f(x)=x3在x=x0时的切线与曲线f(x)=x3的交点。审查问题的视点正确理解导数的定义是解决的关键解f(x0)=(x2 xx0 x)=3x。曲线f(x)=x3在x=x0的切线方程式y-x=3x(x-x0)即y=3xx-2x得到(x-x0)2(x 2x0)=0、x=x0、x=-2x0.如果x00，则交点坐标为(x0，x )、(-2x0，-8x )；x0=0，交点坐标为(0，0 ) .利用定义求导数一般过程是，(1)求函数的增量y，(2)求平均变化率，(3)求极限li .图1利用导数的定义来证明奇函数的导数为偶函数，而偶函数的导数为奇函数当y=f(x )为奇函数时，证明方法在定义域中的任意x处具有f(-x)=-f(x )f(x)=lif(-x)=li=li=f(x )因此，f(x )是偶函数，并且同样可以证明偶函数的导数是奇函数方法2以y=f(x )为奇函数，并且在定义域中可以有任何xf(-x)=-f(x )，即f(x)=-f(-x )因此，f(x)=-f(-x)=-f(-x)=f(-x )f(x )是偶函数同样可以证明偶然函数的导数是奇函数考虑二导数的运算图2表示求出以下各函数的导数(1)y=；(2)y=(x 1)(x 2)(x 3)(3)y=sin(4)y=；审查问题的观点首先把公式变成最简单的公式，然后寻求指导解(1)y=x- x3y =y (x3) (x-2 sinx ) =-x- 3x2-2x-3sin x x-2cos x。(2)法一y=(x2 3x 2)(x 3)=x3 6x2 11x 6y=3x2 12x 11。方法二y= (x1) (x2) (x3) (x1) (x2) (x3)= (x1) (x2) (x1) (x2) (x3) (x1) (x2)=(x 2 x 1)(x 3) (x 1)(x 2)=(2x 3)(x 3) (x 1)(x 2)=3x2 12x 11。(3)y=sin=-sin x22222222222222卡卡卡卡卡卡卡653(4)y=22222222卡卡卡卡卡卡卡卡653(1)记住基本初等函数的导数公式和四则算法，是求得正确导出的基础(2)如有必要，可先导出一些求导问题的简单函数解析式【训练2】求出下一个函数的导数(1)y=xnex；(2)y=；(3)y=exln x；(4)y=(x 1)2(x-1 )解(1)y=nxn-1ex xnex=xn-1ex(n x )(2)y=-.(3) y=ex lnx ex=ex。(4)y=(x1)2(x-1 )=(x1) (x2-1)=x3x2- x-1y=3x2 2x-1 .考虑三个复合函数的导数图3表示求出以下的复合函数的导数(1)y=(2x-3)5； (2)y=；(3)y=sin2； (4)y=ln(2x 5)审查问题的视点正确分解函数的复合层次，请求各层次的指导设定解(u=2x-3 )，则y=(2x-3)5y=u5和u=2x-3的组合y =f (u ) u (x )=(u5 ) (2x-3 ) =5u42=10u4=10(2x-3)4。(设u=3-x，则为y=y=u和u=3-x复合而成。y=f(u)u(x)=(u)(3-x)=u-(-1 )u-=-=u .(y=u2，u=sin v，v=2x，yx=yuuvvx=2ucosv2=4sincos=2sin。(设y=ln u、u=2x 5，则yx=yuux y=2x 5)=.从复合函数的定义可以看出，中间变量的选择应该是基本函数的结构，解决这种问题的关键在于正确地分析函数的复合层次，通常从最外层到内层进行层次分析，将复合函数分解为若干常见的基本函数，以逐步建立复合过程。【训练3】求出下一个函数的导数(1)y=； (2)y=sin22x；(3)y=e-xsin 2x； (4)y=ln。解(1)y=2x=、(2)y=2sin2x)(cos2x)2=2sin4x(3)y=y(-e-x)sin2x e-x(cos2x)2=e-x(2cos 2x-sin 2x )(4) y=2x=规范解答6如何求曲线上某点的切线方程式【问题研究】利用导数的几何意义求出函数某点的坐标或某点的切线方程式，是大学入学考试中经常涉及的问题。 最容易发生这样的问题的是，不知道求切线的点是否是切点解决这类问题的关键在于抓住接点。 主题求得的是“曲线上某点的切线方程式”还是“越过某点的切线方程式”，求得某点的倾斜度，用点斜式写切线方程式。(正题满分12点) (2010山东)已知函数f(x)=ln x-ax -1(aR )(a=-1时，求出曲线y=f(x )点(2，f(2) )的切线方程式(2)a时，研究f(x )的单调性求出(1)点(2，f(2) )的斜率以及f(2)，用点斜式写切线方程式(2)求出2)f(x )，对a分类进行研究解答演示(1)a=-1时，f(x)=ln x x -1x(0，) .因此，f(x )=，x(0，)，(1点)因此，f(2)=1、即曲线y=f(x )点(2，f(2) )处的切线的斜率为1 .另外，f(2)=ln 2 2曲线y=f(x )的点(2，f(2) )处的切线方程式y-(ln 2 2)=x-2，即x-y ln 2=0.(3分钟)(f(x)=ln x-ax -1，因此f(x)=-a=-，x(0，).(4分钟)设g(x)=ax2-x 1-a，x(0，)。当a=0时，g(x)=-x 1，x(0，)为如果x(0，1 )，则g(x)0此时f(x)0，函数f(x )单调减少在x(1，)时，g(x) 0，函数f(x )单调增加(6点)a0时，f(x)=0即，如果ax2-x 1-a=0，则x1=1，x2=-1 .当a.a=时，x1=x2，g(x)0始终成立，此时，f(x )0，函数f(x )以(0，)的形式单调递减(7点)b.0a 10在x(0，1 )的情况下，g(x)0，此时f(x ) 0，函数f(x )单调减少在x时，g(x) 0，函数f(x )单调增加，在x时，g(x)0，此时f(x ) 0，函数f(x )单调减少(9点)在c.a0时，