数学概率统计典型例题

高考数学复习 概率统计典型例题例1 下列命题：(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1以上各题中正确命题的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题所以正确命题的个数是2个，应选B例2 选择题：(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 A甲的波动比乙的波动大；B乙的波动比甲的波动大；C甲、乙的波动大小一样；D甲、乙的波动大小关系不能确定(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 A组距 B组数C每小组的频数 D每小组的频率分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大解：(1)0.40.2，甲的波动比乙的波动大，选A 例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图解：按五个步骤进行：(1)求数据最大值和最小值：已知数据的最大值是67，最小值是28最大值与最小值之差为67-28=39(2)求组距与组数：组距为5(岁)，分为8组(3)决定分点(4)列频分布表(5)绘频率分布直方图：例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)(2)决定组距与组数样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，192=9.5，分10组比较合适(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图(见图3-1)说明：长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：(1)填出表中所剩的空格；(2)画出频率分布直方图分析： 各组频数之和为60各组频率之和为1解： 因为各小组频率之和=1所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35 所以第4小组频数=0.3560=21第5小组频数=0.360=18(2)例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：(1)全班有多少学生？(2)此次考试平均成绩大概是多少？(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？分析：根据直方图的表示意义认真分析求解解：(1)2939分1人，3949分2人，4959分3人，5969分8人，6979分10人，7989分14人，8999分6人共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)(2)取中间值计算 (3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%(4)优良的人数为14+6=20，2044=45.5%即优良率为45.5%说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形例7 回答下列问题： 总是成立吗？(2)一组数据据的方差一定是正数吗？ 总是成立吗？(4)为什么全部频率的累积等于1？解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边这可见，总是成立顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意 那么有 (2)对任一组数x1，x2，xn，方差 这是因为自然数n0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的从而x1=x2=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，am，按规定，有a1+a2+am=n，而各组的频率分别a1n，a2n，amn，因此，有 说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，xn有关的两个数组f1，f2，fk和a1，a2，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，am，可见，a1，an是f1，fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数弄清研究数组x1，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的例8 回答下列问题：(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？解：这是一组概念题，我们简略回答：(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数 有时写成代换形式； 有时写成加权平均的形式： 其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看)(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个： (ii)标准差：一组数据方差的平方根： 标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象方差也可用代换式简化计算： (4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：(i)计算极差=最大数-最小数； (iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)； (v)画频