数学预测题四

2006年高考数学预测题四高考数列解答题怎么考(二)l 考题回顾年高考套理科卷中，每套试卷均有一道数列解答题试题，具体的试题特点呈现如下：卷型题序分数考查的知识点全国I等比数列、通项、前n项的和、比较大小；函数与数列、数学归纳法证明不等式全国II等差数列、等比数列、通项、前n项的和、各项的和全国III 12等差数列、等比数列、求数列的通项 北京 分段递推数列、等比数列、前n项的和、数列极限上海等差数列、等比数列和不等式的实际应用天津 12等比数列前n项的和、数列极限重庆 1 递推数列、求和、数学归纳法、不等式证明广东 12 概率与数列、等比数列错位相减法山东 12 数列前n项的和的递推关系、导数、二项式定理、比较大小、等比数列、通项、等差等比的求和、数学归纳法湖北 1 不等式型的递推数列关系、极限、不等式证明湖南 数列应用题、递推数列、不等式、数学归纳法浙江 14 抛物线上的点列、导数、等差数列、数学归纳法江苏数列前n项的和的递推关系、与的关系、等差数列、不等式证明福建 递推数列、求参数的取值范围辽宁递推数列、等比数列、数学归纳法证明不等式江西 递推数列、不等式证明、求数列的通项公式从上面的表格里，我们不难看出：数列解答试题处于压卷位置的数列解答题有道，占套试卷的强，看来，数列解答题属于中档题（可动题）或难题（可怕题）涉及等差数列和等比数列的试题有道，占套试卷的弱；有关递推数列的有道，占套试卷的，用到数学归纳法解答的试题有道，关于不等式证明的有道，各占套试卷的另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题里展现的亮点l 考题背景一些数列解答试题，可以在当年的高考前的资料中找出它的原形例如年北京卷的第题：设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求该问题中的分段递推数列模型，类似于如下经典问题：已知数列an满足若，则（年咸阳市高考数学模拟试题）又如全国卷的第题：在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项这和下面的问题是十分接近的已知数列为公差的等差数列，中的部分项组成的数列恰为等比数列，其中，求（见高考数学解题三十六计第页，南京大学出版社，年月版）再如天津卷的第题里的关系.福建卷的第题里的关系an+1=1+ 这两个已知条件均在人教版的教材里可以找到l 考题预测数列解答试题理科多与不等式联系，而文科往往与等式相关考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系，等差数列和等比数列，归纳与猜想，数学归纳法考查的题型出现比较多的如不等式证明，比较大小，参数取值范围的探求，判定一个数列是否等差数列或等比数列，数列应用性问题、探索性问题在高考里多有涉及数列多与函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等知识相交汇，以便考查学生在学习数学时对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视l 备考建议熟练掌握数列的基本概念和灵活运用数列的基础知识，这是解答数列问题的基石研究数列，关键是要抓住数列的通项，如何探求一个数列的通项，我们可以总结一些实用的办法，诸如：观察法，公式法，归纳猜想法针对数列的求和，常用的方法有：公式法，错位相减法，反序相加法，裂项法对于等差数列和等比数列，只要抓住首项和公差、公比这两个基本元素，其它的量都可以用其表示了因为数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等式有着密切的联系，这就使得数列问题的解答对能力的要求是比较高的，诸如：函数思想，方程观点，化归转化，归纳猜想，分类讨论等等，这需要我们在复习备考时去实践，去总结，去品味l 范例选讲例已知数列满足，其中，首项为（）若数列一个无穷的常数列，试求a0的值；（）若a0=4，求满足不等式的自然数n的集合；（）若存在，使数列满足：对任意正整数n，均有，求a0的取值范围讲解（ ）令，则得，所以即a01或2时，故的取值为1或2（）由（）知，因，得对任意成立由此得，进而，所以由得，得该问题也可以这么解：因，而，由此可得对任意自然数n成立此时，从而知数列是单调递减的由计算可知：，因此，为所求的自然数n的集合（）由，得，解答这个分式不等式，得，要使，则对于函数若a11，则a2f（a1）4，a3f（a2）a2当1a12时，a2f（a1）a1且1a22依次类推可得数列xn的所有项均满足（nN）综上所述，a1（1，2），由a1f（a0），得a0（1，2）评注在高考的命题当中，理科的数列解答考题较文科试题要难度大一些，而数列试题出现在压轴题的位置也是比较常见的应当说，压轴题属于可怕题，怎么对这样的试题，尽量得点分数，是需要讲究战略的和战术的数列不等式中参数的探求，是近年考查较多的一个题型，如全国（I）卷、福建卷例已知等比数列的公比为，前n项的和为，且，成等差数列（）求的值；（）求证成等差数列讲解() 由，成等差数列，得， 若，则，由得，与题意不符，所以 由，得 整理，得， 由，得（）由()知：所以，数列成等差数列评注数列解答题在高考当中，文科与理科是有区别的，请读者注意，文科的难度是比较小的，多半的高考试题是等差数列和等比数列相综合的所以，笔者的建议是，该题型对文科学生来讲，紧扣课本复习，再做点历年高考真题就可以了涉及等比数列求和公式的试题如：全国（I）卷、全国（II）卷、天津卷例设Sn为等差数列an的前n项和.(nN*)（）若数列an单调递增的，且a2是a1、a5的等比中项，求证：；（）设数列an的公差为d，且，问是否存在正的常数c，使得等式对任意正整数n都成立若存在，求出c(用d表示)；若不存在，请说明你的理由讲解（1）记等差数列的公差为，由题意得 即 解得所以 ，于是 ，故（2）假设存在正常数，使得恒成立 注意到，因为恒成立，所以特别令，得，变形得，两边平方，化简得接下来证明：当时，对任意正整数n恒成立故存在正常数，使得等式对任意正整数n恒成立评注恒成立问题的解答，有时选取特殊值是非常有效的，特殊的极端的情形可以起到探路定性的作用等差数列的高考试题常考常新，如全国（II）卷、全国（III）卷、上海卷等例已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，,且当x,y(-1,1)时，恒有 ,又数列an满足,设（）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；（）求f(an)的表达式；（）是否存在自然数m，使得对任意nN,都有成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由讲解（）紧扣奇函数的定义，选择特殊值令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数（），即，f(an)是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1. （）先求的表达式，得，若恒成立（nN+）,则，即nN+，当n=1时，有最大值4，故m4又mN,存在m=5，使得对任意nN+，都有成立.评注递推数列是高考的热点题型，而本题将函数、数列、不等式融为一体，其综合度比较大，覆盖的知识点比较多，当中的恒成立又是高考的热门话题，还请读者多多总结该题型的解法技巧由函数与数列综合是高考试题的一个亮点，如全国（I）卷、辽宁卷、山东卷例已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设求证：（3）设试比较与6的大小讲解(1)由已知递推，得(2)由(1)可知设，则 两式相减，得+ 所以 （3）由（1）可知则 =故有 =6 评注数列与不等式证明的综合问题在全国的高考试题当中是比较常见的，这点我们应当多关注才是如湖北卷、江西卷、辽宁卷、重庆卷、江苏卷十分有意思的是，问题（）中的数列求和的错位相减法，这是课本的一个基本方法，这在年的高考里也有涉及，如天津卷、广东卷例我们可以证明：当时，函数在开区间内是增函数；当时，函数在开区间内是减函数. ()若数列满足，（为正整数），求证：；()若数列满足，（为正整数），问数列是否单调？讲解()先用数学归纳法证明由题设知，当时，假设当时，有，则当时，因为在(0，1)上是增函数，所以有，且所以当时命题成立，故为正整数又，()数列不具有单调性事实上令，则，所以而（因为在(0，1)上是减函数），所以故知数列不具有单调性评注如果数列不具有单调性，那么只要举出一些特殊的例子就可以了数列不等式应用数学归纳法证明是常用的通法，也是高考的一个热门话题，如辽宁卷、江西卷、重庆卷、湖北卷l 跟踪练习1. 设一次函数的图象关于直线对称的图象为，且若点（）在曲线上，并且（）求曲线的方程；（）求数列的通项公式；（）设，求2. 已知数列中， （n2，），数列，满足（）（1） 求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由3. 已知a1，数列的通项公式是，前n项和记作（n1，2，），规定函数在处和每个区间（，）（i0，1，2，）上有定义，且，（i1，2，）当（，）时，f（x）的图像完全落在连结点（，）与点（，）的线段上 （）求f（x）的定义域； （）设f（x）的图像与坐标轴及直线l：（n1，2，）围成的图形面积为， 求及； （）若存在正整数n，使得，求a的取值范围答案：（） 由是一次函数，可设（）的图象关于直线对称的图象为，图象为对应函数为的反函数点（）在曲线上，并且，点即在曲线上，于是点在的图象上， ，又，于是，即，曲线的方程为 （）点在曲线上， ， （）， （1）,， ，而， 是首项为，公差为1的等差数列 （2）依题意有，而，所以 对于函数，在x3.5时，y0，在（3.5，）上为减函数故当n4时，取最大值3；