数学预测题二

2006年高考数学预测题二 导数及其应用专题复习建议一、导数高考试题的特点导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。1、2005年高考考查导数应用主要有以下三个方面：运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，一直是高考常考不衰的热点内容。另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值和最小值问题，再利用导数顺利解决，从而进一步地解决实际问题。利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。导数在其它数学分支的应用，更能够体现出导数作为工具在研究初等数学问题方面的先进性，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。 2、考查的题型有选择题、填空题，也有解答题，解答题多以数列、函数、解几、不等式等高中主干内容为载体，分值为5到16分。从题型上看主要有以下几个特点：以填空、选择题型考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值。解答题主要考查利用导数为工具解决函数、解析几何、不等式及有关的综合问题，() 运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题，为中档题。（）利用导数求实际应用问题中的最值为中档题。() 运用导数的几何意义来解决函数、解析几何有关综合运用等问题，为中档偏难题。二、学生学习中的薄弱环节 1导数概念以及导数概念的某些实际背景：瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率。由于教材没有极限内容，导数概念学生理解有一定的难度。学生从数学的角度理解物理的相关知识有一定的困难。2求极值与求最值求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。3求曲线在某一点处的切线与过某一点的切线。三、例题：1对导数概念以及导数概念的某些实际背景：瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率的考查。例1（2004年高考湖北理工科16题）某日中午12时整，甲船自A处以16的速度向正东行驶，乙船自A的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_.解：距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从12点开始，x小时时甲乙两船的距离，当x=0.5时，例2 在处可导，则 解： 在处可导，必连续 ， ， 例3运动曲线方程为，求t=3时的速度解：根据导数的物理意义可知，瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。 ，2借助导函数分析函数图象的变化趋势。例4( 2004浙江理11)设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ ）21Oxy21Oxy21Oxy21OxyABCD21Oxy解：由导函数的图象知导函数在x=0和2时的导函数 值为0，故原来的函数在x=0和2时取得极值。当时，导函数值为正（或0），当时，导函数值为负,所以当时函数为增函数 ，当时，函数为减函数，故选项为C本题较好地考查导函数与原函数之间的图象关系，在图象考查上有创新意识，具有较强的综合性，从图象上逆向考查运用导数来处理函数的单调性及极值问题。3求极值与求最值求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件例5（全国卷）函数，已知在时取得极值，则=（ ）（A）2（B）3（C）4（D）5解：B例6(2005全国卷)已知a 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） (1) 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：（）对函数求导数得令得+2(1)2=0从而+2(1)2=0， 解得 当 变化时，、的变化如下表： + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值当0时，1,在上为减函数，在上为增函数，而当时，=，当x=0时，所以当时，取得最小值（）当0时，在上为单调函数的充要条件是即，解得。于是在-1，1上为单调函数的充要条件是，即的取值范围是4求曲线在某一点处的切线与过某一点的切线例7. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_解：8/3例8. ( 全国卷III)曲线在点（1，1）处的切线方程为_.解：x+y-2=0 例9（福建卷）已知函数的图象在点M（1，f(1)）处的切线方程为x+2y+5=0.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）求函数y=f(x)的单调区间. 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（1，f(1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知 5综合考查，包括解决应用问题，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题例10 (2004全国卷22)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+)，f(x)=-1.令f(x)=0，解得x=0.当-1x0时，f(x)0; 当x0时， f(x)0.又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.（2）法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）结论知ln(1+x)-x-1，且x0)由题设0ab，得因此，.又，.综上 .法二：.设，则.当0xa时，因此F(x)在上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a). 即.设，则当x0时，因此上为减函数即，综上，原不等式得证例11从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t0）.试问当x取何值时，容量V有最大值.解：= 函数V（）=的定义域为。 令=0 得 (1)当，即时，时，0V（）为增函数；时，0V（）为减函数； V（）在上有极大值V（），为唯一驻点，当时， 有最大值.（）当，即时，时，0恒成立；V（）为增函数；当时， 有最大值.例12求证下列不等式 证明： 为上 恒成立 在上 恒成立例13利用导数求和：（1）；（2）。解：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷（1）当x=1时，；当x1时，两边都是关于x的函数，求导得即（2），两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即四、复习建议从命题的发展趋势看，导数高考将进一步围绕三个层次来考。（1） 考查导数的概念，求导公式和法则；（2） 导数的简单运用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；（3） 综合考查，包括解决应用问题，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。复习应注意四点： （1）要认识到课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域；在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用，这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径，还在于使学生掌握一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识。 （2） 要按考试要求的三个层次进行复习，不能