数学预测题七

2006年高考数学预测题七高考解析几何解答题怎么考(五)l 考题回顾年高考套理科卷中，每套试卷均有一道解析几何解答题试题，具体的试题统计呈现如下：卷型题序分数考查的知识点全国I514直线与椭圆、向量、离心率、定值全国II 5 14向量、椭圆的最值问题全国III5 14直线与抛物线、参数的取值范围、探索性 北京 4 14直线、线性规划、轨迹、证明重心点重合上海 3 14 椭圆、最值天津 5 12 向量、直线与抛物线、证明、范围重庆 5 12 向量、椭圆、双曲线、范围广东 3 14 抛物线、轨迹、最值、探索性山东 6 14 直线与圆、轨迹方程、证明过定点湖北 5 12 椭圆、垂直平分线、直线与圆湖南 4 14 向量、椭圆、证明、探索性浙江 3 14 求椭圆的方程、最值问题江苏 1 12 直线与圆、轨迹问题福建 5 12 向量、椭圆、双曲线、范围辽宁 5 12向量、椭圆、轨迹方程、探索性江西 6 14 直线与抛物线、轨迹方程、证明从知识点上来看，涉及椭圆的试题有道，占强，涉及抛物线的试题有道，占，涉及双曲线的试题有2道，占，涉及直线与圆的试题有道，占，设计线性规划的道，占从解题目标上来看，求最值的有道，求参数的取值范围的有道，求轨迹方程的有道，证明问题有道，和向量综合的有道，探索性的问题有道由此可见，解析几何解答试题的题型是求参数范围或求最值的综合性问题，探求动点的轨迹问题，有关定值、定点等的证明问题，与向量综合、探索性问题l 考题背景课本作为高考命题的生长点之一，我们可以举出许许多多的例子例如：高中现行教材第二册（上）第页上的例为：求证到圆心距离为（）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线如果将切线长相等改为切线长的比是，在给字母赋值，就编拟出年江苏卷第题：PMN如图，圆O1与圆O2的半径都是1，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程又如：山东卷的压轴题和高中现行教材第二册（上）第页上的经典习题第题相关联l 考题预测直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题；有关点对称、直线对称的问题要熟悉解答的具体方法；与圆的位置有关的问题，其常规的解答方法是利用圆心到直线的距离；圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线和圆锥曲线的位置关系等涉及圆锥曲线的参数的取值范围问题、最值问题和向量知识综合的问题等是高考的常考题型l 复习建议解析几何的就是用代数的方法研究几何问题，当中，坐标法是研究几何问题的重要思想方法，建立坐标系，引入点的坐标，将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，这是坐标思想的本质所在坐标法包括由曲线的方程来研究曲线的性质和由给定的条件求曲线的方程求曲线的方程，一类是曲线的形状明确，方程的形式为已知的某中标准方程，就可以用待定系数法求其方程另一类是曲线的形状不明确，常用方法有：直译法、动点转移法、参数法、交轨法将解答问题过程当中的方程转化为圆锥曲线的标准方程，你就可以读出其中的特征量、几何特征、进而引发出有效的解题思维链，这是快速解题的前提平面几何的一些简单性质在解答某些解析几何问题时，有时可以起到化繁为简、化难为易的作用，这应在读题与做题的实践过程中去反思、去感悟代人消元、建立一元二次方程、判别式、韦达定理、弦长公式、中点公式等等，这似乎是很实用的解题思维链条对直线与圆锥曲线位置的存在性问题，一般宜假设验证法或假设反证法来解答l 范例选讲例经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点（） 线段AB的斜率为k，试求其中点M的轨迹方程；（） 直线AB的斜率k2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围讲解(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k0),代入方程得 kx-(2k+4)x+k=0设线段AB的中点为M(x ,y)，则 于是，消去k，便得到M的轨迹方程是(2) 由于点M到直线3 x+4y+m=0的距离为 d= 分离变量，得 注意到，得出，于是0,即 或 故实数的取值范围是评注圆锥曲线的焦点弦问题是历年高考的热门话题，解答过程当中有一些需要我们掌握的技巧和方法，应当引起读者深刻的反思年出现抛物线解答试题的有天津卷、江西卷、全国III卷，它们都与直线相联系例已知中心在原点的双曲线C的左焦点，而C的右准线的方程为 （1）求双曲线C的方程；（2）若过（0，）点，斜率为k的直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且满足（其中O为原点），求k的取值范围讲解（1）依据题意，可设双曲线C的方程为，从而有故双曲线C的方程是（2）设过点（0，）且斜率为k的直线方程为因为直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，所以有即 而于是解此不等式，得由、，得故实数k的取值范围为.评注参数的探求是一类重要的题型，其关键是建立不等关系，例如本题中，利用判别式和问题中的不等关系，也可以应用均值不等式，正弦、余弦函数的有界性，点与曲线的位置关系，求函数的值域等年涉及双曲线解答题有重庆卷和福建卷，显然，这道考题里还综合了椭圆知识点例如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过焦点当垂直于轴 时，恰好有（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由讲解（1）当C垂直于x轴时，由椭圆的定义，有，从而，在Rt中，注意到，便得= （2）由=，得，于是，椭圆的焦点坐标是，椭圆方程为，化简有设，1) 若直线的斜率存在，则直线方程为，代入椭圆方程有由韦达定理，得 ，所以于是 同理可得，故= 2) 若直线轴，这时有6 综上可知：是定值6 评注在用点斜式设出直线的方程时，需要注意直线的斜率存在与不存在两种情形，这是一个容易忽视的易错点，应当引起注意解析几何里的定值问题是近年高考的一个较热门的话题，年相关的试题如全国I卷、山东卷等例已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1（）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；（）求此双曲线的方程；（）设此双曲线的左右焦点分别是，Q是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足M的轨迹讲解：（）考虑应用反证法设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得，即有假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为因为点A（2，0）到渐近线的距离为，所以双曲线上动点到点A的距离都超过1故不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线（）由（）可设双曲线的方程为：，则这个双曲线上任一点到点的距离是其中若，则当时，有最小值，由，解得（舍去）；若，则当时，有最小值，由，解得故双曲线的方程为（）设点M的坐标为（x，y），延长与交于点T，连接OM QM平分，且QM， ，又点Q是双曲线右支上的动点， ， ，即点M在以O为圆心，为半径的圆上 当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线， 点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C,点D.方程为：评注 事实上，做出了第（）题，第（）题的证明也就显然了挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法类似的考题如年山东卷例已知椭圆，它的离心率为直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，左准线为动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点试点到圆上的点的最短距离讲解 （1）因为直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切，所以又因为椭圆的离心率为，所以故椭圆的方程是（2）由（1）得知，椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：连接，则由抛物线的定义不难知道：点M的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，它的方程是于是，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离下面我们分别从几何和代数的角度来处理这个问题几何法若要抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O不然的话，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则NAOAOBABAB，即NABA，这与AB最小发生矛盾从而只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离就行了在抛物线上任取一点M（x,y），则因为，所以等号成立当且仅当时故所求最短距离为代数法设为抛物线上任意点，为圆上任意点，便有其中，等号成立当且仅当抛物线和圆上的两点分别取和时评注 代数法的求解需要比较强的代数变形的能力，而充分运用图形的几何性质可以使得问题得到简化最值解几问题是历年高考的常见题型，如年全国II卷、上海卷、浙江卷、广东卷等l 跟踪练习1. 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，| BC | = 2| AC | （）建立适当的坐标系，求椭圆方程； （）如果椭圆上有两点P、Q，使PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数，使2. 已知点，动点、分别在、轴上运动，满足，为动点，并且满足（）求点的轨迹的方程；（）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点 ，与的夹角为，求证：3. 如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，点的轨迹为曲线() 求曲线的方程；() 若点在曲线上，线段的垂直平分线为直线，且成等差数列，求的值，并证明直线过定点；（）若过定点(0，2)的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围答案：（）以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，有A（2，0），设椭圆方程为+O为椭圆中心，由对称性知| OC | = | OB |又=0，ACBC又| BC | = 2| AC |，| OC | = | AC |，AOC为等腰直角三角形，点C的坐标为（1，1），B的坐标为（ 1， 1）将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得b2 =，则求得椭圆方程为+ （）由于PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为 k，因此PC、QC的直线方程分别为y = k (x 1) + 1，y = k (x 1) + 1由得(1 + 3k2)x2 6k(k 1)x + 3k2 6k 1 = 0（*）点C（1，1）在椭圆上，x = 1是方程（*）的一个根，xP 1 =，即xP =同理xQ =直线PQ的斜率为又kAB =，向量，即存在实数，使 =成立（）设 又 由可得，（也可用作直线，运用抛物线的定义得出）（） 设 ()由题意知，圆的圆心为，半径 为线段的垂直平分线， 又 ， 动点的轨迹是以点（1，0），（1，0）为焦点且长轴长为的椭圆 曲线的方程