数学预测题大纲

2011届数学预测题第卷（选择题）一选择题1（理）若多项式满足：，则不等式成立时，正整数的最小值为 （ ）A 4 B5 C 6 D7（理）【答案】B【解析】等式两边对求导可得，再令可得，所以，不等式可变为，故，选B2（理）征收房产税,无形中推高了房价，使得房地产企业获得巨大了利益某房地产企业对一项目的完成有三个方案的盈利情况分析，如表1所示，问该企业应该选择哪种方案？表1自然状况方案A方案B方案C概率盈利（千万元）概率盈利（千万元）概率盈利（千万元）巨大成功0.460.370.46.5中等成功0.320.42.50.24.5不成功0.3-40.3-50.4-4.5（理）【答案】A【解析】比较A,B,C三个方案的期望值即可, , ,显然,故该企业应选择A3（理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限（理）【答案】A【解析】,在复平面中对应于点,选A4（理）曲线（为参数）与曲线的交点个数为 （ ）A3 B2 C1 D0（理）【答案】C【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，两圆相外切，所以交点个数为15（理）圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 （ ）A B C D（理）【答案】A【解析】法一：设圆心为，则，当且仅当时等号成立当最小时，圆的面积最小，此时圆的方程为，选A法二：画图可得，当直线与曲线相切时，以切点为圆心，切点到直线的距离为半径的圆为所求设切点为，因为，所以，解得，故为所求，选A6复数的共轭复数在复平面内对应的点在 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】它的共轭复数为，选D7已知，且与的夹角为，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】画图构造平行四边形，如图，所以，所以，8已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体表面积为 （ ）A BCD52【答案】B【解析】9设集合，集合，则下列关系中正确的是 （ ）A B C D【答案】C【解析】，所以10各项均为正数的等比数列中，且，则等于 （ ）A16B27C36D27 【答案】B【解析】由已知，得，故选B11已知抛物线y2=2px（p0）上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于 （ ）ABCD【答案】A【解析】由于M（1, ）在抛物线上，=2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义点M到准线的距离也为5，1+=5，由此可以求得=4，双曲线的左顶点为，=，而双曲线的渐近线方程为，根据题意，12已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 （ ）A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【答案】A【解析】 因为因此，因此将的图象向左平移个单位长度13集合，则是的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因A是B的真子集，故，所以是的必要不充分条件，选B14复数z满足，则 （ ）A1 B25 C D 【答案】C【解析】, 选C15将函数的图象按向量平移后所的图象关于点成中心对称，则向量的坐标可能为 （ ）A B C D 【答案】C【解析】设，平移后为 ，关于对称，则， ，当k=0时 ，。16若在 上是减函数，则b取值范围 ( )A B C D 【答案】C【解析】，由题设，时，恒成立，。， ， 选 C 。17（文）设全集=（ ）ABCD（文）【答案】B【解析】由已知条件解一元二次不等式有，有18（文）设a是实数，且是实数，则a= （ ）AB1CD2（文）【答案】B【解析】,所以所以19设是两个不共线的向量，其夹角为，若函数在上有最大值则 （ ）A，且为钝角 B,且为锐角C，且为钝角 D，且为锐角【答案】D【解析】由于在上有最大值，则二次函数抛物线开口向下，对称轴在原点右侧，即，由，得为锐角；由，知，即20已知为虚数单位,且,的共轭复数为,则= （ ）A2i B2i C1 D0【答案】B【解析】解法一:根据条件为实数,可设,则,解之得,故。解法二:根据条件为实数,可设,则21已知双曲线一个焦点坐标为,且点在双曲线上,则双曲线的离心率为 （ ）A B C D【答案】C【解析】解法一:根据条件可知,解之得,故离心率为;解法二:根据条件可得,解之得,故离心率为;解法三:设两个焦点分别为,显然轴,故,则,离心率为22已知函数是定义在上的偶函数,且当时,单调递增，则关于x的不等式的解集为 （ ）A B C D随a的值而变化【答案】C【解析】由偶函数的定义域关于原点对称可得,即,定义域为,故不等式可变为,结合定义域及单调性可得,解之得或第卷（非选择题）二填空题23设，那么 。【答案】【解析】。24如果函数的图象关于直线对称，则的最小值为 。【答案】【解析】令， 将代入，当k=0时，的最小值为。25若变量x,y满足，则的最大值为 。【答案】10【解析】画出平面区域，易知交点离原点最远，。26已知各项均为正数的等比数列中，则 。【答案】16【解析】设数列公比为q，则，即，得,得=16。 27展开式中的x系数为 。【答案】31【解析】展开式通项，得x项为，得x的系数为31。28从数字1，2，3，4，5，6中任取3个组成无重复数字的三位数，则这个三位数是3的倍数的概率 。【答案】【解析】任取3个组成无重复数字的三位数有，其中是3的倍数的有 ，故。 29正三棱柱，则与平面所成角正弦值为 , 点A到平的距离为 。【答案】,【解析】设BC中点D，连，则，作 ，得，过A作，则 ，故为与面所成的角，即与平面所成角。在中，。30已知直线与抛物线C:交于A，B两点，F为C的焦点，若，则k等于 。【答案】【解析】将代入，得，设A,B横坐标为，则（1） ，又 ，得 ，得代入（1）得，得，即 ，而，。31设是双曲线左右两个焦点，P是双曲线左支上的点，已知成等差数列，且公差大于0，则= ，点P的横坐标为 。【答案】【解析】由 ，得 ，又，由余弦定理可得，。由即，得 。32已知为第二象限角，则 。【答案】【解析】，因为第二象限角，所以，。33若关于x的不等式解集为，则m的值为 。【答案】【解析】 设 ，画出图象，易知为图象的一个交点的横坐标，代入得，。34设曲线在点处切线与直线的夹角为，则a= 。【答案】或【解析】，当x=3时，由夹角公式得 ，即 或。35函数的图象与的图象关于直线对称，则 。【答案】【解析】由题设知，只需将代入即可，得，即 ，即 ，即，得。36在上的最大值为 。【答案】【解析】，若，则，由，得，增函数；由，得，减函数，故时，取极大值，即最大值，。37在的展开式中，的系数为 ， 。【答案】72，144【解析】求的系数即从8个因式中选出7个因式含x，余下因式选常数项，则。，得。38已知各项均为正数的等比数列中， ，则 。【答案】【解析】，得，而仍为等比数列，公比为，且，故。39在中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，若，则 。【答案】【解析】由正弦定理，可将已知化为 ，即，故 。40 函数 ，若 ， 则a= 。【答案】【解析】,41定义在R上的奇函数f(x)，当时，则 。【答案】【解析】由题得 ，当时， ，则 ，。 42正三棱柱内接于半径1为的球面内，则当该棱柱体积最大时，高为 。【答案】【解析】设正三棱柱底边长x，则高， ，当且仅当 ，即 ，得。43函数，若，则范围为 。【答案】【解析】当时 ， ，当时 ，得，当时，故范围为。44（理）若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围是 。（理）【答案】【解析】，即，而解集中的整数有且仅有，则，得，而时，不符合，所以45已知，则、中较大的一个是 。【答案】【解析】利用不等式可得：。所以较大的一个是。解法2：，因为，所以，所以。3、 解答题46如图，在六面体中，平面平面，平面，,且, （1）求证： 平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求多面体的体积【解析】解法一：向量法由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）（1） ，所以BFCG又BF平面ACGD，故 BF/平面ACGD （2），设平面BCGF的法向量为，则，令，则，而平面ADGC的法向量，故二面角D-CG-F的余弦值为（3）设DG的中点为M，连接AM、FM，则解法二：（1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF/DE，且MFDE又AB/DE，且ABDE MF/AB，且MFAB四边形ABMF是平行四边形，即BF/AM，又BF平面ACGD故 BF/平面ACGD（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）（2）由已知AD面DEFGDEAD ，DEDG即DE面ADGC ，MF/DE，且MFDE ， MF面ADGC在平面ADGC中，过M作MNGC，垂足为N，连接NF，则显然MNF是所求二面角的平面角在四边形ADGC中，ADAC，ADDG，AC=DMMG1， MN 在直角三角形MNF中，MF2，MN，故二面角D-CG-F的余弦值为（3） 47设函数，其中（1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立【解析】（1）由题意知，的定义域为，时，由，得（舍去），当时，当时，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以；（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得；（3）对于函数，令函数，则，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立取，则有恒成立显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立48（文）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界已知函数（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。（3）试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明。（文）【解析】（1）当时，,在上递减，所以，即在的值域为,故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数。（2）由题意，在上恒成立。, 在上恒成立设，由得 t1，设，,所以在上递减，在上递增,在上的最大值为,在上的最小值为, 所以实数的取值范围为（3）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界例如，有；证明：命题成立49（理）如图，是圆的直径，点在圆上，交于点，平面，（1）证明：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值（理）【解析】（法一）（1）平面平面， 又，平面而平面是圆的直径，又，平面，平面与都是等腰直角三角形，即（也可由勾股定理证得），平面而平面，（2）延长交于，连，过作，连结由（1）知平面，平面，而，平面平面，为平面与平面所成的二面角的平面角在中，由，得又，则 是等腰直角三角形，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（法二）（1）同法一，得如图，以为坐标原点，垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系由已知条件得，由，得， （2）由（1）知设平面的法向量为，由 得，令得，由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为50在边长为的正方形中，、分别为、的中点，、分别为、的中点，现沿、折叠，使、三点重合，构成一个三棱锥（如图）（1）在三棱锥中，求证：；（2）求四棱锥的体积【解析】（1）在三棱锥中，又（2）在中，、分别为、的中点，四边形的面积是面积的，又三棱锥与四棱锥的高相等，四棱锥的体积是三棱锥的体积的，即四棱锥的体积为512011年3月11日日本海附近发生的地震为9级导致核电站核泄漏事故，某一网站就这一事件调查对比了地震前后我国民众对政府新建核电站的态度，地震前调查的122人与地震后调查的178人所得数据制成如下联表：支持建核电站不支持建核电站总计日本地震前yx122日本地震后35143178总计AB300已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到不支持政府新建核电站的概率为（1）求列联表中的数据x,y,A,B的值；（2）绘制等高条形图（百分比精确到01），通过图形判断本次日本地震对我国民众对政府新建核电站的态度是否有影响；（3）能够有多大把握认为日本地震对民众是否赞成政府新建核电站有关？【解析】（1）设从所有产品中抽取一件合格品为事件A，由已知，所以（1） 日本地震前支持率为，不支持率为，日本地震后支持率为，不支持率为，本次日本地震对我国民众对政府新建核电站的态度有影响（3）答：能够有95%的把握认为日本地震对民众是否赞成政府新建核电站有关52甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了统计两个学校在本地区一模考试的数学科目的成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作了部分频率分布表如下：（规定成绩在内为优秀）（1）计算的值，并分别估计两个学校数学成绩的优秀率（精确到00001）；（2）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异【解析】（1）由题意知，甲学校抽取55人，乙学校抽取50人故，估计甲学校的优秀率为，乙学校的优秀率为（2）由题目可知：，因为36712706，,有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异53上海市对征收房产税方案面向市民征集意见，经整理后可提取出两种有代表性可实施性的操作方法，如下所示方案一：套数第一套第二套第三套四套及以上税率0.50.711.5注：第一套房以150 m2起征税方案二：人均占面（平米）45以下45-7070-9090-110110以上税率不征46810据目前市场调查，上海市的房价约为35万平方米现有一上海居民家庭，有四口人，有三套住房，其第一套的面积为150 m2，第二套的为200 m2，第三套的为165 m2请问若上海的房产税实施时，此家庭就两种方案分别交纳多少的房产税额？如果此次税收改革为限制一家买多套房来控制房价的话，应当选择哪种方案更有效？【解析】设两种方案应交税收分别为，万元，所以用方案一此家庭应交房产税为10675万元对于方案二，因为，所以征收税分四段收取，即万元从上面的数据分析可知，为限制一家买多套房来控制房价的话，此次房产税改应选择第二种方案更有效54甲房地产企业去年上交利税40万元，受房产税征收影响，今后5年内估计每年按10%增长，乙房地产企业去年上交利税比甲工厂少，今年5年内估计每年平均增长20%这样从