普通高等学校招生全国统一考试数学文北京卷含解析

2015年普通高等学校招生全国统考数学文题(包括北京卷、解析)一、选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。 从每个小题目给出的4个选项中，选择符合题目要求的项目)1、集合后()A. B .C. D【回答】a试验点：集合的交叉运算圆心超过原点的圆的方程式是()A. B .C. D【回答】d【分析】问题分析：从问题意义中得出的圆的半径，圆的标准方程式是试验点：圆的标准方程3 .以下函数中偶函数为()A. B. C. D【回答】b【分析】问题分析：根据偶函数的定义，a选项是奇函数，b选项是偶函数，c选项定义域没有奇偶性。因为d选项既不是奇函数也不是偶函数，所以b选项是偶函数试验点：函数的奇偶校验4、某学校老年、中年和青年教师人数参照下表，采用分层抽样的方法调查教师身体状况，抽样中有青年教师的，其抽样的老年教师人数为()A. B. C. D类别人数老年教师中年教师青年教师合计【回答】c【分析】问题分析：从问题的含义来看，总体上青年教师与老年教师的比例，如果样品中老年教师的人数为x，则从分层样品的性质来看，样品中青年教师与老年教师的比例总体上相等，即可得出解答试验点：层次抽样5 .执行如图所示的程序框图，输出的值为()A. B. C. D【回答】b试验点：程序框图6、如果不是零矢量，则“”为“”的()a .充分而不必要的条件b .必要而不充分的条件c .充分的必要条件d .既不充分也不必要的条件【回答】a【分析】问题分析：“当时”是“足够”的不必要条件，即已知，即当时可能试验点：充分必要条件，矢量共线7、某四角锥的三面图如图所示，该四角锥最长的棱的长度为()A. B. C. D【回答】c【分析】问题分析：四角锥的直观图如图所示由三图可知，平面ABCD、SA是四角锥最长的棱考试点：三图8、某汽车每次加油都要装满油箱，下表记录了该车相邻两次加油的情况加油时间加油量(升)加油时的累计行驶距离(公里)年月日年月日注：“累计行驶距离”是指汽车出厂后累计行驶的距离，在此期间，该车每公里的平均燃料消耗率为()a .升b .升c .升d .升【回答】b【分析】问题分析：因为第一次邮箱已经满了，所以第二次的加油量是该时间内的油耗，所以油耗上升了。 这个时间内行驶距离是几公里。 在这个时间内，这辆车每100公里的平均耗油量上升了，所以选择了b。试验点：平均油耗二、填空问题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9、多个实部【回答】-1【分析】问题分析：复数，其实是-1试验点：复数乘法，实部10、3个个数中最大数量的是【回答】【分析】问题分析：所以最大考试点：比较大十一、中、【回答】【分析】问题分析：签名定理，得到的，也就是说，所以考点：签名定理12 .如果你知道它是双曲线()的焦点【回答】【分析】问题分析：因为我从问题的意义上知道试验点：双曲线的焦点13 .如图所示，若将其内部点组成的集合记为中的任一点，则的最大值为.【回答】7试验点：线性规划14、高中三年级考期末考试，某班学生的语文成绩、数学成绩和总成绩在全年级的排名如下图所示，甲、乙、丙是这班三个学生。从这次考试的成绩来看在甲、乙中，其语文成绩名次高于总成绩名次的学生国语和数学两个科目中，丙的成绩排名最高的科目是【回答】罗，数学【分析】问题分析：从图中可以看出，甲方的语文成绩排名比总成绩排名靠后的乙方的语文成绩排名比总成绩排名高，所以要写在乙方从图中可以看出，比丙的数学成绩排名下位的人多的总成绩的排名比丙的排名下位的人少，所以丙的数学成绩的排名更上位，填写数学评分：散点图三、答题(本大题共六小题，共八十分。 答案要写文字说明、证明过程和演算程序)15、(本小题满分13分)已知函数(I )求出的最小正周期(ii )求区间的最小值【回答】(1) (2)试验点：倍角式、两角和的正弦式、三角函数的周期、三角函数的最大值16、(本小题满分13分)等差数列已知满足(I )求得的通项式；(ii )设定等比数列使其满足，q :与数列的第几个相同？【答案】(1) (2)等于数列的第63项【分析】问题分析：本题主要考察等差数列、等比数列的通项式等基础知识，考察学生的问题解决能力、转换能力、计算能力。 第一题，可以利用等差数列的通项式转换为和d，解方程式得到和d的值，直接写入等差数列的通项式的第二题，首先利用第一题的结论得到的和的值，利用等比数列的通项式将和转换为和q，将解和q的值得到的值代入上述问题数列的通项式，得到n的值，即问题分析： (I )等差数列的公差为d这就是为什么再见，所以所以呢(ii )设定等比数列公比因为所以呢所以呢好的，不用了与数列的第63项相同试验点：等差数列、等比数列通项式17、(本小题满分13分)在某超市随机挑选客人，记录他们购买甲、乙、丙、丁4种商品，汇总如下统计表。商品商品顾氏客人人数数儿甲乙丙丁脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气脾气(I )估计顾客同时购买乙方和丙方的概率；(ii )估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中等商品的概率(iii )顾客购买甲方时，该顾客同时购买乙方、丙方、丁方中的商品的可能性最高吗？【回答】(1)0.2； (2)0.3； (3)最有可能同时购买丙方【分析】问题分析：本问题主要是调查统计表、概率等基础知识，调查学生的问题解决能力、转换能力、计算能力；第二，首先从统计表中读取顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买的商品人数100人，计算概率；第三，顾客同时购买甲和乙的人数为200人， 顾客同时购买甲和丙的人数为100人，顾客同时购买甲和丁的人数为100人，分别计算概率，通过大小比较得出结论。问题分析： (I )从统计表可以推断，在这1000名顾客中，200名顾客同时购买乙方和丙方，因此顾客同时购买乙方和丙方的概率(ii )从统计表可知，该1000名顾客中，100名顾客同时购入甲、丙、丁，其他200名顾客同时购入甲、乙、丙，其他顾客最多购入2种商品，因此顾客可以推定甲、乙、丙、丁中同时购入3种商品的概率。(iii )与(I )类似，可以：顾客同时购买甲方和乙方的概率顾客同时购买甲方和丙方的概率顾客同时购买甲和丁的概率是多少因此，在顾客购买甲方的情况下，该顾客同时购买丙方的可能性最高。试验点：统计表，概率18、(本小题满点14点)如图所示，在三角锥中，平面平面是等边三角形，且分别是中点.(I )寻求证据：平面(ii )寻求证据：平面平面(iii )求三角锥的体积【回答】(1)证明详情请参照分析(2)详情请参照分析(3)【分析】问题分析：本问题主要考察线平行、线平行、面平行、线垂直、线垂直、面垂直、三角锥体积公式等基础知识，考察学生的问题解决能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力，首先由三角形ABC得出，利用面垂直的性质得到平面VAB， 最后，利用面垂直的判定得出结论，第三，对三角锥进行等体积变换，利用求出三角形VAB的面积，为了平面VAB，OC为锥体的高度，利用锥体的体积式计算体积即可。问题分析： (I )因为分别是AB、VA的中点所以呢因为平面MOC平面MOC(ii )因为是ab的中点所以呢平面VAB平面ABC、平面ABC所以平面VAB所以平面MOC平面VAB(iii )在直角等腰三角形中所以呢等边三角形VAB面积为了平面VAB三角锥C-VAB的体积为另外，三角锥V-ABC体积与三角锥C-VAB的体积相等三角锥V-ABC的体积试验点：线平行、线面平行、面平行、线垂直、线面垂直、面垂直、三角锥体积式19、(本小题满分13分)设置函数(I )求出的单调区间和极值；(ii )如果有零点，证明区间只有一个零点【回答】(1)单调递减区间，单调递增区间为极小值(2)证明详情请参照分析因此，单调减少区间是单调增加区间因此取极小值(ii )由(I )可知，区间中的最小值为因为有零分当时，区间单调减少，而且区间的唯一零点当时，区间单调减少区间只有零点由以上可知，如果存在零点，则区间中只有一个零点.评分：导数运算，利用导数判断函数的单调性，利用导数求出函数的极值和最大值的函数零点问题20、(本小题满分14点)已知的椭圆，越过点不越过点的直线与椭圆相交，2点，直线与直线相交(I )求椭圆的离心率；(ii )如垂直于轴，则求直线的倾斜度(iii )试验判断直线和直线的位置关系，说明理由【回答】(1) (2)1 (3)直线BM与直线DE平行。【分析】问题分析：本问题主要考察椭圆的标准方程及其几何性质、直线的倾斜度、两直线的位置关系等基础知识，考察学生的问题解决能力、转化能力、计算能力，其次，从直线AB的特殊位置设定a、b点的坐标，设定直线AE的方程，直线AE与x=3在m点相交，因此得到m点的坐标， 在利用点b、m点的坐标求直线BM的倾斜度的第三步骤中，分为存在直线AB的倾斜度的情况和不存在直线AB的倾斜度的情况进行讨论，在第一种情况下，可以直接分析得出结论，在第二种情况下，先设定直线AB和直线AE的方程式，建立椭圆方程式和直线AB的方程式，消除参加，得到和，代入0等于问题