椭圆焦半径公式的一种变式与应用辅导不分本_第1页
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椭圆焦半径公式的一种变式与应用http:/www.DearEDU.com玉宏图 在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。一、椭圆焦半径公式 P是椭圆1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。 P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。 以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。二、椭圆焦半径公式的变式 P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）；（4）。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90时，在三角形PEQ中，有 由椭圆焦半径公式（1）得 。 消去后，化简即得（1）。 而当大于90时，在三角形PEQ中，有 ， 以下与上述相同。 （2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。三、变式的应用 对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1. （2005年全国高考题）P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。 解：因为PFEF，所以由（2）式得 。 再由题意得。 注意到。 例2. （见高中数学课本第二册（上）133页复习参考题八B组第3题）P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。 解：设PF的倾斜角为，则： 。 因为a10，b8，c6，由变式（2）得 所以三角形PEF的面积 例3. （2003年希望杯赛题）经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60的直线和椭圆相交于A，B两点，若，求椭圆的离心率。 解：由题意及变式（2）得 化简得。 例4. （2005年全国高考题）设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PFMF，所以MF倾斜角为90，而，由题意及（3）式
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