数学辅导解析几何的题型与方法

2006年高考数学专题辅导解析几何的题型与方法解几四大热点：（一）解几的证明问题； （二）解几参数范围确定问题； （三）定值、最值问题； （四）轨迹问题与求曲线方程。四大知识重组：（一）解几与向量组合； （二）解几与立几组合（三）解几与数列组合； （四）解几与导数组合 重点考查知识点（一）直线与圆锥曲线； （二）各参数及其几何意义 常用数学思想与方法（1）函数方程思想； （2）等价转化；（3）分类讨论； （4）数形结合。*（一）联系判别式和韦达定理；（二）注意运用定义解题；（三）注意平几与三角知识运用。范例及其解法例1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与 轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若求直线PQ的方程；(III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。（天津2004高考理科试题）解题分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（重点注意：解几证明题的求解特色） (I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 。4分(II)解： 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得 设 则 由直线PQ的方程得 于是 。8分 由得从而所以直线PQ的方程为 或 。10分(III)证明：由已知得方程组 注意解得 。12分因故 而所以 。14分例2如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.（福建2004高考试题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力。（重点提示：注意解几范围题的求解方法）解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl= = ，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=，x1= ，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k2-2b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b= x1x2.=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.例3如图，过抛物线y2=2px (p0) 上一定点P(x0, y0) (y00)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2).（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。（2004北京高考理科试题）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。（重点提示：注意解几定值问题的求解思路）解（I）当y=时，x=，又抛物线y2=2px的准线方程为x=，由抛物线定义得，所以距离为.（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由 =2px1，=2px0相减得 （y1y0）(y1+y0)=2p(x1x0)故 kPA= （x1x0）同理可得 kPB=（x2x0）由PA，PB倾斜角互补知kPA=kPB，即 =，所以 y1+y2=2y0，故 设直线AB的斜率为kAB。由 =2px2， =2px1相减得 （y2y1）(y2+y1)=2p(x2x1)，所以 kAB=（x1x2）将 y1+y2=2y0 (y00 )代入得kAB=，所以kAB是非零常数。4设P1(x1,y1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, , an=2构成了一个公差为d(d0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+an.(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(10,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； (只需写出一个)(2)若C的方程为(ab0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,Pn存在的充要条件,并说明理由.（2004上海高考理科试题）【解】(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70.由=1,得x=60x+y=70y=10 点P3的坐标可以为(2, ). (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(ab0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. a1=2=a2, d0,且an=2=a2+(n1)db2, d0 Sn=na2+d在,0)上递增, 故Sn的最小值为na2+=. 【解法二】对每个自然数k(2kn), 由x+y=a2+(k1)d,解得y=+=1 0 yb2,得d0 d0. 原点O到双曲线C上各点的距离h,+,且=a2, 点P1, P2,Pn存在当且仅当22,即d0. 【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是d0.理由同上 【解法三】若圆C:(xa)+y2=a2(a0), P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是00且2=(n1)d4a2.即0d.（重点提示：注意解几与数列的综合）O图322例5（如图322），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。解： 在内，设点是曲线上任意一点（如图323）过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，则轴。所以是二面角O图323MNH的平面角，依题意，.在又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则 因为点在曲线上，所以即所求射影的方程为 （重点提示：注意高考数学试题的创新方向解几与立几的综合）巩固训练1已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（I）求圆锥的母线与底面所成的角；（II）求圆锥的全面积 解: （I）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：,即,所以母线和底面所成的角为（II）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1/AB且在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点N的坐标为（R，R），代入方程得R2=2p（R），得R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为.说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题: 又如： 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母 线长为1，则该几何体的体积等于 2如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. (I) 求点Q的坐标；(II) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.（上海2004文科试题）【解】(1) 解方程组y=x得X1=4, x2=8y=x24y1=2, y2=4 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或440)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。 ()设点P分有向线段所成的比为，证明()设直线AB的方程是x2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。(湖南2004高考理科试题)解()依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程的两根。所以由点P（0，m）分有向线段所成的比为， 得， 即又点Q是点P关于原点的以称点，