正弦定理余弦定理

正弦定理 余弦定理Http:/WWW.DearEDU.com第一课时 正弦定理教学目的：1掌握正弦定理及其向量法推导过程；2掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定教学过程：一、设置情境，引入新课：1初中我们已学过解直角三角形，请回忆一下直角三角形的边角关系：答：RtDABC中，若C = 90，则有：a2 + b2 = c2，A + B = 90，a = csinA，b = csinB，= tanA，=指出：由此可知，利用直角三角形中的这些边角关系，当任给直角三角形的两边或一边一角时，可以求出这个三角形的其它边与其它角2在直角三角形中，你能用边角表示斜边吗？答：在RtDABC中，c =指出：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理(板书正弦定理)二、新课：1正弦定理的推导：为了证明正弦定理(引导学生复习向量的数量积)，= |cosq，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子?如图，在锐角DABC中，过A作单位向量垂直于，则与的夹角为90 - A，与的夹角为90 - C由向量的加法可得+=对上面向量等式两边同取与向量的数量积运算，得到 (+) =， | |cos90 + | |cos(90 - C) = | |cos(90 - A)，即asinC = csinA，同理，过点C作与垂直的单位向量，可得=，=当DABC为钝角三角形时，设A 90，如图，过点A作与垂直的向量，则与的夹角为A - 90，与的夹角为90 - C，同样可证得=课后请同学们考虑一下正弦定理还有没有其它的证明方法？思考：请观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？答：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角2例题分析：例1在DABC中，已知c = 10，A = 45，C = 30，求b解：=，且B = 180 - (A + C) = 105，b = 20sin105 = 5(+)例2 在DABC中，已知a = 4，b = 4，A = 45，求B解：由 =，得sinB =DABC中，a b， B为锐角 B = 30例3 在DABC中，已知a = 2，b =，A = 45，求c和B，C解：bsinA a sinB是A B的( C ) 条件A充分非必要 B必要非充分 C充要 D非充分非必要3在DABC中，若=，则DABC是( D )A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D等边三角形4根据各已知条件，判定DABC的解的个数：(1) a = 5，b = 4，A = 120，求B；(A = 120，B只能是锐角，仅有一解)(2) a = 5，b = 4，A = 90，求B；(A = 90，B只能是锐角，仅有一解)(3) a = 5，b =，A = 60，求B；(sinB = 1，B = 90，只有一解)(4) a = 20，b = 28，A = 40，求B(有两解)五、课后作业：1教材P133练习第2题；P134习题5.9中第1、2、3题(书上)2教材P133练习第1题(本上，求准确值)看教材P130131例1、例23(本上) 在DABC中，求证：(1) a(sinB - sinC) + b(sinC - sinA) + c(sinA- sinB) = 0(2) 证明：(1) 由于正弦定理：令a = ksinA，b = ksinB，c = ksinC，代入左边得：左= k(sinAsinB - sinAsinC + sinBsinC - sinBsinA + sinCsinA- sinCsinB) = 0 =右(2) 或：左边= =4数学之友T5.18六、课外思考题：已知ABC，BD为B的平分线，试用正弦定理证明：ABBCADDC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内，边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得：，在BCD内，同理得：BD是B的平分线，ABDDBC，sinABDsinDBCADBBDC180，sinADBsin(180BDC)sinBDC，七、板书设计：课题1RtDABC中，= 2R2正弦定理及证明3例1、例2、例3、例44小结5巩固练习6作业7课外思考题第二课时 余弦定理教学目的：1掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程；2会用余弦定理解决具体问题；3通过余弦定理的向量法证明体会向量的工具性教学重点：余弦定理及其向量法证明，余弦定理及其变形公式在解三角形中的应用教学难点：余弦定理的向量法证明及应用教学过程：一、设置情境，引入新课：1复习提问：什么叫做正弦定理，用正弦定理解三角形必须已知哪些量？答：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，这就叫做正弦定理用正弦定理解三角形，必须已知三角形的两角和一边或者已知两边和其中一边的对角2练习：(1) 在DABC中，已知a = 1，b =，A = 30，解此三角形注：首先得B = 60或120，分别得C = 90，c = 2或C = 30，c = 1(2) 在DABC中，2bcosC = a，判断此三角形的形状注：将正弦定理代入可得B = C，从而DABC为等腰三角形3探讨：在DABC中，b = 3，c = 4，A = 60，如何求a？一般地，在一个三角形中，已知两边和这两边的夹角时，用正弦定理解这个三角形方便吗？为什么？答：不方便！因正弦定理中的任一等号两边都有两个未知量，需解方程组如何求解上述问题？(1) 考虑转化为直角三角形求解(2) 考虑利用向量的数量积，找边角关系：由向量加法得：，2 = (+)2 =2 +2 +2，a2 = b2 + c2 - 2bccosA = 9 + 16 - 2 3 4cos60 = 13，故a =4引入：对于任意一个三角形来说，是否也可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边呢？这就是我们今天要学的余弦定理(板书余弦定理)二、新课：1余弦定理：由上述问题我们得到a2 = b2 + c2 - 2bccosA同理可得b2 = c2 + a2 - 2cacosB，c2 = a2 + b2 - 2abcosC指出：这就是我要讲的余弦定理，你能用文字叙述吗？答：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍问：余弦定理左边有几项？右边有几项？式中有几个量？答：左边一个量，右边有三个量，共三边和一个角问：余弦定理还可作哪些变形呢？答：cosA =，cosB =，cosC =问：利用余弦定理可以解决怎样的三角形问题？答： 已知三角形三边求角； 已知两边和它们的夹角，求第三边2例题分析：例1在DABC中，已知a = 7，b = 10，c = 6，求A、B和C(精确到1)解：cosA = 0.725，A 44，cosC = 0.8071，C 36，(或sinC = 0.5954， C 36或144(舍).)B = 180 - (A +C) 180 - (44 + 36) = 100练习：变式(1)：例1中已知条件不变，结论换成判定DABC的形状变式(2)：例1中已知条件不变，结论换成求DABC的面积参考答案：(1) DABC的形状由大边b所对角B的范围确定，引导学生得出：B (90，180) b2 a2 + c2(2) 先求出一个角，再利用面积公式：SDABC =abcosC 20.64例2ABC的三个顶点坐标为A(6，5)、B( 2，8)、C(4，1)，求角A解法一： |AB| ，|BC| ，|AC| ，=， A = arccos 84解法二： ( 8，3)，( 2， 4)，cosA=，A = arccos 84例3已知三角形的一个角为60，面积为10cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长分析：此题所给的条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60角的余弦，其二可用面积公式SABCabsinC表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B60，则依题意得， 由式得：b2 = 20 - (a + c)2 = 400 + a2 + c2 + 2ac - 40(a + c) 将代入得400 + 3ac - 40(a + c) = 0，再将代入得a + c = 13，由， b1 = 7，b2 = 7，所以，此三角形三边长分别为5cm，7cm，8cm评述： (1) 在建立方程的过程中，既要注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2) 由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力三、小结：1余弦定理适用于任何三角形2余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状3由余弦定理可知，DABC中：A 90 a2 b2 + c2；A = 90 a2 = b2 + c2；A 90 a2 b2 + c2四、巩固练习：1已知DABC中，a = 20，b = 29，c = 21，求B(B = 90)2若锐角DABC中，b = 8，c = 3，sinA =，求a并判定三角形的形状 (a = 8，DABC为等腰三角形)五、课后作业：1教材P133练习第4题；P134习题5.9中第6、7题(书上)2看教材P133例53数学之友T5.194教材P133练习第3题(本上)5(本上)在ABC中，BC = 3，AB = 2，且，求A(A = 120)六、课外思考题：在ABC中，求证：(a2 - b2 - c2)tanA + (a2 - b2 + c2)tanB = 0证明：左边= (a2 - b2 - c2) 故原命题得证七、板书设计：课题1余弦定理2余弦定理的使用3例1及其变式训练例2、例34小结5巩固练习6作业7课外思考题第三课时 正、余弦定理的应用(1)教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理的内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点：正、余弦定理的灵活运用教学过程：一、复习：1正弦定理：= 2R (外接圆直径)2余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bccosA cosA =；b2 = c2 + a2 - 2cacosB cosB =；c2 = a2 + b2 - 2abcosC cosC =二、新课：例1在DABC中，已知a =，b =，B = 45，求A、C和c分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况或借助余弦定理，先求出c后，再求出角C与角A解法一：B = 45 90，且b a， 问题有两解由正弦定理，得sinA =，A = 60，或A = 120(1) 当A = 60时，C = 180 - (A + B) = 75，c =(2) 当A = 120时，C = 180 - (A + B) = 15， c =故A = 60，C = 75，c =，或A = 120，C = 15，c =解法二：由余弦定理有b2 = c2 + a2 - 2cacosB，即2 = 3 + c2 - 2c(cos45)，整理，得c2 -c + 1 = 0，解得c =，或c =又cosA = 当a =，b =，c =时，由可得cosA =，故A = 60；当a =，b =，c =时，由可得cosA = -，故A = 120故A = 60，C = 75，c =，或A = 120，C = 15，c =小结：对本题，一般会误认为只能用正弦定理求解，而余弦定理似乎难以派上用场其实不然，解法二就是明证事实上，正弦定理与余弦定理是等价的，完全可以相通凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也能求解反之亦然，只不过解题过程的繁简程度有所不同而已鉴此，我们在学习中，不能把正弦定理与余弦定理完全割裂开来，而要用一种联系的观点来看待它们例2在DABC中，已知a = 2，b = 6 + 2，c = 4求A、B、C分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可选求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60，可知三角形无解解：由已知，a c b，B最大由余弦定理，得cosB = - 0，B = 105由正弦定理，得sinC =c 7x知B也为钝角，不合要求)再由余弦定理得(7x)2 = (8x)2 + 152 - 2 8x 15cos60，x2 - 8x + 15 = 0，解得x = 3，或x = 5，故AB = 21，或AB = 35在DABC中，AD = AbsinB =AB，AD = 12或AD = 20小结：利用比例式的设法是一种解题常用的技巧，可使运算简便例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD CD，AD = 10，AB = 14，BDA = 60，BCD = 135，求BC的长分析：在DABD中，可先由正弦定理求出B，再由余弦定理求出BD，也可用方程法直接余弦定理求出BD然后DBCD中由正弦定理求出BC解：在ABD中，设BD = x，则BA2 = BD2 + AD2 - 2BD AD cosBDA，即142 = x2 + 102 - 20xcos60，整理得：x2 - 10x - 96 = 0，解之：x1 = 16，x2 = - 6(舍去)，由余弦定理：，小结：注意正、余弦定理的灵活运用例5 已知方程x2 - (bcosA)x + acosB = 0的两根之积等于两根之和，且a、b为DABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状分析：先由已知条件得出三角形的边角关系要判定三角形的形状，只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定解法一：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理知：x1 + x2 = bcosA，x1x2 = acosB，由题意有bcosA = acosB，根据余弦定理得b = a ，b2 + c2 - a2 = a2 + c2 - b2，化简得a = b，DABC为等腰三角形解法二：仿上法得bcosA = acosB，由正弦定理得：2RsinBcosA = 2RsinAcosB，sinAcosB - cosAsinB = 0， 即sin(A - B) = 0， A、B为DABC的内角，0 A p，0 B B sinA sinB(由正弦定理易证)(4) cosA + cosB 0(由和差化积或余弦定理易证)3解决三角形问题的依据：(1) 正余弦定理； (2) 三角形性质；(3) 三角变换； (4) 三角函数的图象和性质4解决三角形问题的关键：边、角两类元素间的相互转化及解决三角函数问题的方法的灵活掌握，特别是要注意体会转化思想的作用二、新课(典型例题)：例1 ABC中，三条边a，b，c依次成等比数列，化简：cos(A - C) + cos2B + cosB分析：这是一个三角形中的三角函数问题. 题目给出的是边元素条件，而待求的是角元素结论，故解决问题的第一个关键是统一条件与结论中的元素. 考虑到三角公式及三角变形手段的灵活性，可把条件与结论中的元素都统一为角元素即：b2 = ac sin2B = sinA sinC接上分析：解决问题的第二个关键是统一题目条件与结论中的角和三角函数名称观察题目条件与结论式子的结构形式及角与角的关系，考虑：把待求结论向已知条件统一解：由条件得，b2 = ac，由正弦定理，得sin2B = sinAsinC原式= cos(A - C) + 1 - 2sin2B - cos(A + C) = 2sinAsinC + 1 - 2sin2B = 1例2在DABC中，求证：分析：由例1的经验，应先统一题中的元素：回顾：证明三角恒等式的常用方法有哪些？(1) 从一端向另一端； (2) 从两端向中间；(3) 比较法； (4) 转化恒等式(更一般地：分析法)怎样证明本题？分析：观察等式两端式子的结构形式及角与角的关系：式子结构形式较复杂，且两端的角有单角和复角，可考虑先化简式子的结构形式并把角统一为A、B(先转化恒等式)：证明：原式 sin2A - sin2B = sin(A - B)sin(A + B)，又sin(A - B)sin(A + B) = sin2Acos2B - cos2Asin2B= sin2A(1 - sin2B) - (1 - sin2A)sin2B = sin2A - sin2B，(又采取了从一端向另一端)，原式得证小结：(1) 解决三角形中的三角函数问题，首先应统一两类元素依据：正、余弦定理！(2) 由于三角公式的灵活性和丰富性，在解决三角形中的三角函数问题时，常常把边元素统一为角元素解决问题的过程中，三角公式及三角形性质都是重要的解题依据(3) 解决三角函数问题的关键：做好两个观察，以便合理选用公式，统一题目中的角和三角函数名称一是观察题目中式子的结构形式；二是观察角与角的关系(4) 要注意总结问题的类型和解决问题的一般方法如：化简三角函数式的方法；证明三角恒等式的方法并能利用方法去解决同类问题思维发散：本题还有其它解法吗？考虑：把角元素统一为边元素可以吗？证法二：右边 = 左边，原式得证比第一种证法更简洁！小结：(1) 一个解题过程可采用多个解题方法一解多法！(2) 一个问题的解法往往不止一个一题多解！(3) 同一类问题的最终解法是一致的多解归一！例3在DABC中，求分析：仍然是先统一元素：把条件中的元素统一为角元素：本题是一个给值求值问题回顾此类问题的解法：(1) 条件结论；(2) 结论条件；(3)条件中间 结论关键：观察题目条件与结论中的角和式子的结构形式，以便统一角和三角函数名称本题条件较复杂，而结论较简单，考虑条件向结论靠拢，用“方程法”解解：，sin(A - B) = sin(A + B) - sinB，即2cosAsinB = sinB，又sinB 0，cosA =，从而A = 60，故= cos60 =例4已知O的半径为R，ABC为O的内接三角形，2R(sin2A - sin2C) = (a - b)sinB，求SABC的最大值分析：要求SABC的最大值，关键是建立相应的函数表达式由于题目给出的是三角函数式的条件，可考虑建立面积的三角函数表达式先看如何用条件：首先要统一条件中的元素. 若考虑把边元素统一为角元素：sin2A - sin2C = (sinA - sinB)sinB，出现了二次式，应考虑降幂但很容易发现，降幂后的式子仍较复杂，进一步变形较困难思路受阻！到这儿，应“换一种思路”考虑：把条件中的元素统一为边元素：a2 - c2 = (a - b)b，即a2 + b2 - c2 =ab，符合余弦定理的形式！，得，再考虑待求结论：，由于a、b间关系不明显，故若想建立关于a或b的代数函数表达式较困难！因此，再考虑边化角，建立面积的三角函数表达式：，观察上式的结构形式，联想到两角和与差的余弦公式的变形：， 当= 1，即A =时，(SABC)max =小结：(1) 数学中的最大值、最小值问题一般是要建立相应的函数表达式，把问题转化为求函数最值(2) 在解决数学问题的过程中要注意总结类型、方法，进而形成“系统”，是学习中的重要环节但当我们用经验解题思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新换一种思路！三、小结：1要注意养成解完题善于“停下来”的好习惯既要注意总结一般的解题方法，又要注意解题的灵活性一题多解、一解多法、多解归一！2注意体会转化的思想和函数思想在解题中的应用四、巩固练习：ABC中，4sinBsinC = 1，b2 + c2 - a2 = bc，B C求A，B，C解：，0 A C，B + C =， B ，从而 2B - 0，