介观物理讲义

介观物理讲义介观物理讲义 刘玉良刘玉良 清华大学高等研究中心清华大学高等研究中心 目录目录 第一章 介观物理的特征长度和基本概念第一章 介观物理的特征长度和基本概念 1.1 什么是介观系统 1.2 费米波长、费米面和态密度 1.3 平均自由程 1.4 位相相干长度 1.5 弹性和非弹性散射 1.6 扩散区和弹道区 1.7 低磁场磁阻和漂移率 第二章 量子输运和第二章 量子输运和 Anderson 局域化局域化 2.1 Anderson 局域化和 Mott 迁移率边 2.2 局域化区的热激发电导 2.3 Thouless 表象和导线中的局域化及有限温度效应 2.4 局域化的标度理论 2.5 弱局域化 2.6 退相干的基本原理 第三章 输运中的量子干涉效应和第三章 输运中的量子干涉效应和 Landauer-Bttiker 公式公式 3.1 电导和透射几率 3.2 S 矩阵 3.3 多通道 Landauer-Bttiker 公式 3.4 多端 Landauer-Bttiker 公式和 Onsager-Casimir 对称性 3.5 量子电阻的串联和一维局域化 3.6 量子电阻的并联和电导的 Aharonov-Bohm 振荡 3.7 普适电导涨落 3.8 正常金属环中的持续电流 第四章 弹道输运和库仑阻塞第四章 弹道输运和库仑阻塞 4.1 电子的弹道输运 4.2 库仑阻塞 4.3 量子点中的库仑阻塞 4.4 共振透射和 Kondo 效应 第一章第一章 介观系统的特征长度和基本概念介观系统的特征长度和基本概念 1.1 什么是介观系统什么是介观系统 对于宏观导体，在保持外界条件不变的情况下，把它分成两块，每一块的物理 性质，如温度、比热、电导率等，应保持不变。这已为大量的实验所证实，并在 此基础上建立了普通物理学、热力学和统计物理等。我们可以一直这样分割下去 而保持每一个子系统有相同的物理性质吗？现代物理学告诉我们，答案是否定 的！在接近于粒子的 de Broglie 波长的微观尺度内，粒子具有波-粒二象性，它的 坐标和动量，能量和时间满足测不准原理。经典意义上的粒子的轨道的概念失去 意义，而用状态波函数来描述粒子的传播。一般情况下，粒子的状态波函数由两 部分组成，一部分是它的振幅，其平方表示粒子在该点出现的几率，另一部分是 它的位相，表示粒子的量子相干，一般情况下它是时间和坐标的函数。位相的出 现有其深刻的物理含义，而不是数学上的一个简单相因子，它表征粒子内在的波 的本性。由此我们可以观测到电子的干涉和衍射现象。然而粒子的量子行为随着 系统尺度的增大、 大量粒子的热运动及与杂质的散射破坏了粒子的量子相干性而 迅速消失，这就是为什么除超导、超流和量子 Hall 效应等外，我们观测不到一 般宏观系统的量子现象。 根据 Ohm 定律，一个长方体导体的电导与它的横截面积 S 成正比而与它的长 度 L 成反比： LSG/= 这里电导率 只与导体的内部性质有关， 而与导体的大小形状没有关系。 人们非 常关心在什么样的尺度下这个关系不再成立，因为在微观尺度下，如接近于粒子 的 de Broglie 波长，粒子的量子行为将显现出来。在应用固体理论和统计物理研 究宏观系统的物理性质时，通过取热力学极限（取系统的体积 和粒子数 N 趋 于无穷大，而保持粒子数密度 n=N/ 为常数）而得到系统的物理性质。除了在 系统的连续相变点外， 系统的宏观尺度远大于任何表征粒子量子行为的微观特征 长度，因此系统的量子行为很难被观测到。80 年代中期随着科学技术的发展和 微加工技术的进步，实验上可以制备出接近微观特征长度的样品，这样观测和测 量系统的一些重要的量子行为变成可能。 尺度介于宏观和微观的系统称为介观系统。更确切地说，尺度接近下面所定 义的，表征粒子量子行为的特征长度的系统称为介观系统。如果一个导体它的电 导满足 Ohm 定律，它的尺度必须远大于下面三个表征粒子量子行为的特征长度 中的任何一个： （1） 在费米面 （Fermi surface） 附近的电子的 de Broglie 波长 F ； （2）平均自由程?（mean free path） ，它表示占据初始动量本征态的电子被散射 到其它动量本征态之前电子所传播的平均距离； （3）位相相干长度（phase coherence length） ，它表示占据某一个本征态的电子在完全失去位相相干前所传 播的平均距离，它一般由电子与其它电子、声子和杂质等的非弹性散射所决定。 这些特征长度对温度和外磁场有很强的依赖性， 并且对不同的材料有很大的变化 范围。正因为如此，我们可以在一个很大的范围内观测到不同于宏观（经典）输 运的介观输运现象。在介观输运现象中，很多在经典输运中的原理不再有效，如 串连的电阻不满足相加原理和并联的电导也不满足相加原理等。如图 1 所示，是 最 L 常用的、研究量子点的输运性质的的装置。 1.2 费米波长、费米面和态密度费米波长、费米面和态密度 为了引入一些基本的物理概念， 我们考虑一个有限尺度的自由电子气系统而略 去正电荷背景和离子的晶格结构。在这种情况下，电子是相互独立的，我们只需 考虑单电子薛定谔（Schrdinger）定态方程 )()( 2 2 2 xx m kkk = ? (1.1) 假定系统是一长方体并具有周期性边界条件， 且其长、 宽、 高分别为、和。 电子的波函数是平面波 x L y L z L xk i zyx k e LLL x = 1 )( (1.2) 本征能量为 m k k 2 22 ? = (1.3） 这里k是电子的波矢量， 由它所构成的空间称为电子的相空间或 k-空间。 如图 2， 一个最简单的长方体金属导体。 电子的动量可表示为kp?=。根据周期性边界条件，波矢量的取值为 x x x L n k 2 =， y y y L n k 2 =, z z z L n k 2 =, (1.4) 这里 x n, , y n z n是整数，每一组 x n, , y n z n表示电子的一个动量本征态。 由上式可以看出单位相体积内的状态数是 d L 2 (1.5) 为了简单起见，我们取LLLL zyx =，这里表示系统的维数。对于上面 的情况。每一个由波矢量 d 3=dk表示的本征态可以占据两个电子（自旋自由 度） ，在绝对零度，电子首先占据能量最低的本征态，被占据的最高的本征态的 波矢量称为费米波矢量， 用 F k表示， 对应的动量和能量分别称为费米动量 F k? 和费米能量 2 22 2 1 2 F F F mv m k E= ? ，这里 F v是费米速度。对于一般的系统， 自由电子（传导电子或价电子）数 N 非常大，在绝对零度，它们所占据的相空 间基本上是一个球体（d=3） 、一个圆（d=2）或一个由费米波矢量确定的区间 ，（d=1） ，因此波矢量的变化可以看成是连续的。费米面（费米面（Fermi surface）就是由费米波矢量所定义的相体积的表面或边界。）就是由费米波矢量所定义的相体积的表面或边界。对于一维电子气它 是两个点；二维电子气它是一个圆；而三维电子气它是一个球面。在零温费米面 内的态被全占据，而费米面外的态是空态。 F k F k 我们以后会经常遇到表示系统的输运性质的物理量态密度（density of states） ，它的定义是单位能量内的电子的状态数 = d kdL N d d 2 2)( d dkkL d d 1 2 2 = (1.6) 这里因子 2 来源于电子的自旋自由度， 是电子的能谱。对于自由电子 m k 2 22 ? =， 是立体角，对于球对称的系统，4=(d=3)，2=(d=2)， （d=1） ，因此我们得到 1= 1, 2, 3 , 2 2 )( 2 2 2 2 222 3 = = = = d d d m mL mL mmL N ? ? ? ? (1.7) 另外一个经常用到的物理量是单位体积单位能量内的状态数 （通常也被称为态密 度，要注意两者的区别） ，它定义为。图 3 给出一个二维的简 单示意图。 d LNn/ )()(= 表征介观系统的一个重要的特征长度是电子的费米波长 FF k/2=。当系 统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强；当尺度远大于费米波长时，粒子的 量子涨落相对较弱，它的量子相干性很容易受到破坏。费米波矢量与电子密度的 关系为 = = = = ) 1( 2 22 )2( )2( 2 ) 3( 3 4 )2( 2 2 2 3 3 dk dk dk n F F F (1.8) 对于一般单元素金属，如铜、铝、镁等，导带电子密度一般在的量 级，因此费米波长在几个 (1= 322 /10cm cm 8 100 . 1 )（angstrom）的量级。在半导体 GaAs/AlGaAs异质结的二维电子气， 电子具有很高的迁移率， 其费米波长可以达 到 F 400。 根据电子的费米波长，我们可以定义系统的有效维数： （1） F Lx, Ly, Lz：三维 （2） F LxLy, Lz：准二维 （3）Lx F Ly, Lz：二维 （4）LxLy F Lz：准一维 （5）Lx，Ly F Lz：一维 （6）Lx, Ly, Lz F ：0维 在零维，系统变成一个量子点（quantum dot） ，电子间的库仑相互作用变得非常 重要，从系统中移去或加进一个电子需要的特征能量是EcLe / 2 ，这里L是系 统的有效尺度。这个有效维数的定义一般认为是在电子输运的弹道区，而在通常 的量子扩散区，系统的有效维数要由位相相干长度来确定，即上面的费米波长 F 用位相相干长度代替。 L 我们现在定义一个后面经常用到的量-横向模（transverse modes）或通道 （channels） ，它类似于固体理论中的能带。考虑一个无穷长的细导体，Lx, Ly。 弹性散射平均自由程可表示为 0 F v=?， 这里 0 是电子保持在某一个动量本征 态的平均时间。弹性散射是电子与静态的杂质的散射，这种散射所导致的电子的 波函数相位的改变不随时间变化， 多次散射后初态与末态的相位差是每一次散射 所导致的相位的改变的累加，这通常称为相位“记忆” 。这种记忆具有时间反演 对称性。原则上，弹性散射不破坏电子的相干性，但是对实际系统，存在大量的 散射路径，而总的位相的累加会远远大于2导致电子的相干性消失。相位累积 达到2可能要经历很多次电子与杂质的弹性散射，通常情况下， 要比 0 大 几个数量级。 非弹性散射是一种动力学散射，散射前后电子的能量改变，即电子从一个能量 本征态散射到另一个能量本征态。 非弹性散射是电子与其它具有动力学自由度的 散射体的一类散射，如由于库仑相互作用导致的与其它电子的散射、与声子的散 射和与具有内部自由度的杂质的散射等。 这种散射所导致的电子波函数相位的改 变是随时间无规变化的，因此电子的相干性经过多次散射后消失。这就是弹性散 射和非弹性散射的本质区别。弹性散射驰豫时间 0 基本不随温度变化，因为它 是由静态杂质散射决定的， 而非弹性散射驰豫时间 与温度有很强的依赖关系， 因为它是一种动力学散射，散射体在不同温度区间对电子的散射不同，在高温区 声子的散射起主导作用，而在极低温区电子间的散射及与杂质的散射起主导作 用。这就是为什么 与温度有很强的依赖关系。 1.6 扩散区与弹道区扩散区与弹道区 对于宏观系统，它包含大量的尺度大于或接近位相相干长度的子系统，每一个 子系统可以用一个独立的薛定谔方程来描述， 而可观测量是在子系统中相应量的 系综（ensembles）平均。 对于介观系统，它的尺度接近或小于位相相干长度， 整个系统由单个薛定谔方程决定，因此对不同的系统可观测量表现会不一样，并 且电子的量子行为可直接被观测到。 根据平均自由程与系统的尺度L的相对大小， 介观系统分成扩散区 （diffusive regime）和弹道区（ballistic regime） 。在扩散区，L，电子的输运可 看成是量子扩散过程，并且不依赖于系统的形状。在弹道区，L ? L? ?，电子在系 统内作弹道运动，而系统的边界作为散射体对电子散射，因此系统的边界扮演重 要的角色。通常平均自由程在100的量级，处在扩散区的金属线或点，其费米 波长（12）与系统的尺度相比非常小，因此电子能级的量子化一般不重要。 只有在最近邻的两能级之差与温度相比拟的时候，才变得非常重要。因此，对一 般的金属点（metallic dots） ，最重要的能量标度是库仑相互作用产生的充电能 （charging energy） C Q Ec 2 2 =，这里Q是金属点内的总电荷，C是金属点与周 围环境所形成的总电容（capacitance） 。 对于半导体GaAs/AlGaAs异质结中的二维电子气，电子的平均自由程可以达 到50m，因此在这类材料中可以观测到电子的弹道输运。电子的费米波长可以 达到300500，这可以和系统的尺度相比拟，因此电子能级的量子化将起重要 的作用，在实验上可以观测到阶梯形变化的电导。 1.7 低场磁阻低场磁阻 在弱磁场下测量系统的电导率（通常称为Hall测量）是研究半导体薄膜 （semiconducting films）特性的基本方法之一，因为可以从所测的纵向和横向电 阻分别导出传导电子密度n和迁移率（mobility） ，而在零磁场下电导率的测量 只能给出它们的乘积。 在恒定状态下， 由于外场而导致的电子的动量改变与由于散射而导致的电子动 量的改变应该相等， fieldscattering dt pd dt pd = (1.15) 考虑二维情况，如图5所示， 上式可以表达成 Bv c e Ee vm d d += (1.16) 这里v是传导电子的漂移速度， E 和 B 分别是作用在电子上的x方向和垂直于 d 平面的有效电场和磁场，e是电子电荷，而c是光速。由（1.16）式，我们很容 易得到系统的纵向和横向电阻 cen B ne xyyx xx | | 11 = = (1.17) 这里n是电子密度，me/|=是电子的迁移率。这个结果表示在低磁场下， 纵向电阻是常数，而横向电阻随外磁场线性变化。然而在强磁场下，纵向电阻随 磁场的变化而振荡，横向电阻在纵向电阻极小处出现平台，但总的变化趋势仍然 保持与磁场的线性关系。在强磁场下，电阻的这种行为是一种宏观量子现象，它 可以用电子的Landau能级和局域化理论（对于整数量子Hall效应）和Laughlin 基态波函数（对于分数量子Hall效应）来很好地解释。图6给出电阻随磁场的 变化。 对一个均匀导体，电流密度 J（current density）通常表示为电子密度n与漂移 速度v乘积 d d venJ = (1.18) 这似乎表达所有的导带电子在外场下都作漂移运动且都对电流有贡献。 在低温下 这个图像是一个误解（misleading） 。实际上只有在费米面附近几个能量区TkB 间内的电子对电流有贡献。在低温下，不必关心整个费米海中的电子的动力学行 为，只要知道在费米面附近的电子的动力学行为就足够了，这可使相应的计算大 大简化。这里我们给出一个简单的证明。在没有加外场前，电子占据动量本征态 k 的几率由费米分布函数f(k) 决定。 在绝对零度， 费米面以下的所有态都被电子 占据f(k)=1，而费米面以上的态是空态f(k)=0。外电场使得整个费米分布函数沿 着电场的（反）方向平移了?/ m dd Eevmk=，如图7所示： 00 )()( = = E dE kkfkf 在费米面的深层 F kk FF Ek ? (2.2) 对于三维金属导体，利用电子密度与费米波矢量的关系)3/( 23 F kn =，上面 的电导率公式可以写成 ? ? 2 2 2 3 F k e = (2.1) 代入基本常数ke1 . 4/ 2 ?，得到电导率所要满足的条件 5 5 105 / )(105? FF k (2.3) 或者电阻率所满足的条件 F cm =200 1 (2.4) 这里费米波长的单位是。对大多数金属，导带电子的费米波长变化不大，一般 在2到5之间， 这样电阻率要满足cm 3 10。 当电阻率接近100cm 时，Drude电导率公式将会出现问题，从而给出不正确的电导率或电阻率。公式 （2.3）称为Yoffe-Regel判据，它表示弱散射理论的适用条件。 大量的实验证明，对于二维和一维金属，即使杂质浓度很低时，在足够低的温 度下，总会出现dTd/0，这是一个普适的现象。对于三维金属，在杂质浓度 很高时，也会出现dTd/= = | | , , 0 2 1 )( (2.7) 比值W/V可以方便的用作测量系统的无序强弱。 当W/V很大时， 表示无序很强， 在这种情况下，电子被限制在一个小的区域内而不能扩展到整个系统，这表示电 子处在局域态；当W/V很小时，表示无序很弱，电子可以运动到整个区域，表 示电子处在扩展态。Anderson对局域态和扩展态作了严格的定义，在无限大的 系统中，在t=0时刻在格点i上（或其附近）有一个电子，经过很长时间t（远 远大于任何微观时间长度）以后，在i格点上如果找到这个电子的几率为零，就 说明这个电子离开了这个格点在系统中传播，电子处于扩展态；如果在这点找到 这个电子的几率不为零，而为一有限值，就表明电子处在i格点附近的稳定的局 域态，这就是Anderson局域化概念。 Anderson用微扰理论研究了上面的哈密顿量 （2.6） ， 他发现对于足够强的无序， 类似于束缚态的形成，出现一个局域态，对应的波函数的包络（envelope）当远 离局域化中心时指数衰减。如图所示，给出一个典型的平均自由程为的扩展态 （a）和局域化长度为的局域态波函数（b） 。 ? 取（2.6）式的第一项为非微扰项，而取为微扰，通过微扰展开可以得到电 子自能（self-energy）的级数表达式。Anderson证明对于足够大的W/V，即当 W/V大于某一数值时W/VW/V|，电子自能的级数表达式是收敛的，W/V|的 上限满足条件 ij t cc 1 2 ln 2 = V W W ezV (2.8) 这里e=2.7是自然常数。这就是Anderson局域化的判据。这里我们不给出 Anderson的计算，只简单的说明一下最后的结果。在格点i=0，电子的定域格林 函数（Green function）可以写成 iEt eEGdttG =)()( 0000 )( 1 )( 00 EE EG = 这里(E) 是电子的自能。如果电子的自能的虚部为零，比如(E) 是一个常数， 则电子的定域格林函数没有衰减，这说明电子处在以i=0为中心的局域态。上面 的自能的级数收敛式的虚部为零。如果自能的虚部为一有限值，则电子的定域格 林函数随时间衰减，表明电子离开i=0的格点而传播到整个系统，这时电子处在 扩展态。 通过进一步的分析和大量的数值计算，现在一般认为对于足够强的无序，使 W/V满足Anderson判据，系统的所有态都是局域化的。对于中等程度或较弱的 无序，Mott认为，在能带边缘（带尾）的态由于无序可能成为局域态，而在能 带中心附近的态是扩展态。 扩展态与局域态通过迁移率边和（mobility 1m E 2m E edges）分开。如图2.2所示。 Mott进一步说明，扩展态和局域态不能共存，否则任何小的相互作用都可使它 们交叠而组成新的扩展态。当W/V增加时，迁移率边互相接近并且在某一极限 值时相融合，这时所有的态都变成了局域态，从而发生Anderson转变。然而理 论证明，局域化过程不能导致态密度在费米面附近出现任何奇异变化，如不能在 费米能处出现能隙等。 如果在费米能量附近的态全是局域态，那么在绝对零度T=0，系统是绝缘 体。这可以通过证明在局域态电子的扩散系数D为零来解释。根据Einstein关系 （） F E FB ETk 远离点 r=0几个局域化 长度，则系数将指数式的趋于零。在t时刻，波包随时间演化成 i a = j j tiE j j eart ?/ )0,( (2.10) 这里在任何时间都随与波包中心的距离r指数衰减。因此在t时=的局域态，它对跃迁电导率的贡献应该正比于 两者波函数交叠矩阵元的平方 /22L eI ，这里I是一个量级为 的特征能量。另一方面，所考虑的子系统的尺度增大，在费米能级附 近两相邻能级之差为 ()()0( 1 L L Ln d d L (2.15) 在距离为L的两个局域态之间的跃迁，其电导率应正比于。 TkL BL e /2 在足够低的温度下，可以实现L情况的跃迁，其最佳的跃迁距离可以通过取 上式指数的极小值得到 ) 1/(1 )0( + d B M Tkn L (2.16) 因此在这样的温度下，VRH的电导率可以表达成 )1/(1 0 )/( 3 + d TTC e (2.17) 这里C是一个无量纲常数， 0 TkB。当，最近邻跃迁应该是重要 的，电导率的行为应该是 0 TT 1 和 2 之间的竞争，通常情况下 2 起主导作用，因 为比更快的趋于零。当 )( 1Fm EE)( 1Fm EE 的局域态，其跃迁矩阵元满足关系（I ） )ln(. / ? ? IR eiIe R = 当这两个局域态之间的能量差小于或接近于 /R Ie，它们将通过隧穿产生共振 而形成“双峰态” 。这两个态的二极矩的矩阵元正比于R)/ln(?I，而这种 双峰态的总数正比于以R为半径为厚度的壳（shell）的体积，因此两 者的乘积，这样可以解释上式中的对数因子。由 于低频对应于很大的距离R，对于介观系统，当R大于介观系统的尺度时，在电 导率中可能出现频率尺度转换（frequency-size crossover） 。即当R大于介观系 统的最大尺度时，对数因子不再依赖于频率。 1d R )/(ln 112 ?IRR dd+ 2.3 Thouless 表象和金属线的局域化及有限温度效应表象和金属线的局域化及有限温度效应 70年代中期，Thouless提出局域化问题的标度描述， 对后来的局域化的标度理 论的建立有重要的影响。把一个系统分割成一些小的块体，通过研究块体与块体 间的本征态的关联效应，来了解系统的局域化性质，这可以通过研究块体间的电 导来实现。Thouless通过引入两个相关的能量来定义一个无量纲的电导，通过研 究这个无量纲的电导可以得到系统的局域化的基本性质。Thouless的基本思想 是，一个体积为的块体的本征态是一些体积为 d L)2( d L的块体的本征态的线性 组合，每个态在组合中的贡献大小依赖于相应态的波函数的交叠积分及能量差。 能级差的典型值是块体 d L中的相邻能级间隔 L ；为了清楚的理解交叠积分， Thouless观察到，如果把块体 d L在一个方向排成一个无穷的一维周期链，单个 块体的能级被展宽而构成一个能带，能带的带宽将可很好的用于估算交叠积分。 而带宽正好对应于块体 d L在周期或反周期边界条件下的相应的本征态的能量变 化E。如果块体 d L的本征态是局域的，E对边界条件不敏感并且指数的小， 因此块体的本征态等同于块体 d L)2( d L的本征态，也是局域的。相反如果 很大，则块体的本征态扩展到整个区域，因此块体 L E / d L)2( d L加倍后的 本征态的性质可以用单一的参量 L E /来描述。 在开始介绍Thouless标度化前，现简要地回顾一下电子隧穿结（tunneling junction）的电导的图像。考虑两个块体（blocks） ，它们通过一个极薄的能使电 子隧穿的绝缘层相连， 处在两边的态上的电子相互作用且具有基本上不随能量变 化的隧穿矩阵元t， 假定电子在两个块体间的隧穿很弱， 根据费米黄金公式 （Fermi golden rule） ，电子在某个块体（如左边的块体）的平均寿命 L （lifetime）可表 达成 )( 21 2 Fr L ENt ? = (2.19) 这里 2 t是隧穿矩阵元平方平均，)( Fr EN是终态（右边块体）的态密度。取初 态（左边块体）的态密度为，当在两块体间施加小的电压V，则有 的电子在时间 )( Fl EN )( Fl EeVN L 内可以隧穿到右边，因此产生的电流为 LFl VENeI/)( 2 =，由此得到电导 )()( 2 / )( 2 2 2 FrFlLFl ENENt e ENeG ? = (2.20) 这个表达式非常有用，它适用于任何维数的系统。第二个等式就是著名的隧穿结 电导表达式。严格来说，只有终态的能级是连续时，上式才有效。但对于一般的 介观系统， 其能级是分立的， 因此我们要假定， 当介观系统与外界环境， 如热库、 电极等的耦合使分离能级的展宽（broadening）要大于或至少与两相邻的能级差 在同一量级，一般情况下这个假设是成立的。 在（2.20）式中的第一个等式是一般性的。把一个系统分成很多边长为L的块 体，并且假定L, a，这里是弹性散射自由程，a是一个微观长度标度。对 于这样一个块体，它的典型的在费米面附近的能级差 ? L 等于它的态密度的倒数 。定义一个电子在最近邻块体间跃迁的能量)(/1 FLL EN= LL V/?=， 这里 L 是电子在块体中的寿命，利用（2.20）式的第一个等式，块体间的无量 纲电导可以表达成 )/( 2 ?eGg LL = L L L V g = (2.21) 这是Thouless的标度表象的最重要的关系式。Thouless利用Einstein关系（2.9） 导出上式。电子在尺度为L的块体中的扩散是一个无规行走，运行距离L所需 的特征时间为 L ，因此扩散系数可表达为 LL LD/ 2 (2.22) 只要块体的边长足够大，经典的扩散理论是成立的，因此不依赖于L，由此 得到电子通过扩散穿过块体的时间为。 但当L趋于介观尺度， 局域 化或量子效应将使得依赖于L。一个d维的尺度为L、电导率为 L D DL L / 2 = L D L 的金属 导体，其电导为（Ohm定律） 2 = d LL LG，电子在费米面附近的态密度为 ddnLEN d FL /)(=，这里是化学势。利用Einstein关系，可以很容易得 到（2.21）式。 为了更好地理解能量的物理含义，利用费米黄金公式（至少在弱耦合情况 下成立） ，它可以用块体间的矩阵元表示 L V L L t V = 22 2 (2.23) 它与周围块体所导致的能级的展宽有关。对于一个确定的块体，相邻块体的影响 可以通过它的边界条件来反映， 这种等价性只有当L远远大于电子的弹性散射平 均自由程及所有的微观特征长度时才有效。 在Thouless的标度表象中， 一个均匀系统分割成小的块体是虚拟的， 显然块体 间的电导正是尺度为L的块体的电导。 块体的电导也可以用Kubo的线性响应理 论来计算，但必须指出，原则上Kubo公式只适用于能谱是连续的无限大系统。 对于有限系统，它的能级是分立的，因此我们必须假定外界环境对它的影响，使 它的能级展宽成一个有效的连续能谱。 无量纲电导是一个表征系统局域化性质的一个重要参量，当1，表示近 邻块体中的电子有很强的耦合，然而当Lc，1。这表明系统 在长度标度Lc出现局域化，Lc应该与局域化长度在同一个量级。假定上面电导 与长度L的关系在区间a, L也成立，根据局域化长度的定义 （） ，可得到局域化长度的表达式 1 LGL c L? ?2/ 2 eG c L L g ? ?2/ 2 eG ? ? )( 3 22 2 22 F AkA e (2.24) 这里在得到第二个等式时用到了 （2.1） 。 因此局域化长度的量级等于弹性散射平 均自由程乘上导线横截面内的电子数。电子处于局域化态，金属细导线的电阻将 随它的长度指数增加。对于原子尺度的横截面，局域化长度正好是?，这与纯一 维的情况相符合。当L，假定G1/L至少是与我们对金属细导线的感觉相一 致的。理论上，对于L 当温度T，局域化效应较弱，在这种情况下，位相相干长度是一个重 要的特征长度标度，在这个尺度内，电子做量子扩散运动。大于这个尺度，电子 的运动是经典的，并由非弹性散射来控制。因此即使知道了绝对零度的量子力学 的无量纲电导，它也仅仅对应于 T L )(Lg LL 情况。根据经典物理，几个串联 在一起的导线，给定恒定电流，总的电压应该是每段导线的电压总和，因此当 LL ，系统的宏观电导率可以用在尺度的绝对零度的电导根据Ohm定律 来确定。位相相干长度是T=0的量子理论有效的最大长度标度，在更大的长 度标度，经典的传导理论是有效的。这是研究弱局域化效应的基础，在小于或接 近位相相干长度，电子的量子相干性起很重要的作用。因此，只有在系统的尺度 大于位相相干长度时，经典的输运理论才有效，这时串联的电阻满足相 加原理。反之，由于电子的量子相干，串联电阻的相加原理不再有效，电阻具有 非定域的性质。 L L LL 2.4 局域化的标度理论局域化的标度理论 局域化的标度理论预言在三维系统中，金属绝缘体转变（Anderson转变） 是连续的，二维系统和一维系统中所有的态都是局域化的，因而不支持最小金属 电导率的存在。 在上一节中介绍了Thouless的块体标度图像，原则上，利用（2.21）我们可以 计算任意维数d在绝对零度的系统的电导率。然后在适当长度标度内，利用无量 纲电导g(L)与块体尺度L间的标度关系，以及利用位相相干长度（在强局域 化区，利用和 L L ）确定相关长度标度的g(L) 对温度的依赖关系，可以 使我们得到宏观电导率对温度的依赖关系 LL d LLg e T = |)()( 2 2 ? (2.26) 即宏观电导率(T) 是通过计算在尺度L=的电导G得到的。这个公式在尺度 内及系统的整个金属区都是成立的。在强局域化区，上式不再成 立，应该用（2.25）及在2.2节中相应的公式来计算系统的电导率。这再一次显 示位相相干长度在确定电导率与温度的关系时所扮演的重要作用。这个公式 可以这样来理解，对于一个宏观的金属导体，它的电导满足Ohm定律，而电导 率不依赖它的大小和形状。我们把它分割成尺度为位相相干长度的小的块体，这 是经典理论有效的最小尺度。大于这个尺度，系统的电导率不依赖于块体的几何 尺度和形状，而小于这个尺度，由于电子的相干性，电导率将与块体的几何尺度 有关系，因此位相相干长度是电导率依赖块体几何尺度的最大长度标度。 L L L L 1979年，Abrahams，Anderson，Liciardello和Ramakrishnan提出了局域化的 标度理论，这是一个建立在无量纲电导在两端极限已知的内插式的唯象理论。假 定无量纲电导g是描述系统的有效无序程度的唯一相关量，当g1，系统是良 导体应该满足Ohm定律，而当g1，系统是绝缘体，g将随系统尺度的增加而 指数衰减。在这两个极限下，g的行为是已知的，而在这之间是未知的。因此根 据这两个极限，可以定义一个参量 = 1,ln. 1,2 ln ln )( ggconst g g C d Ld gd g (2.27) 这里C/g项表示弱局域化修正，C是一个依赖于维数d的大于零的常数，它来自 于电子的相干背散射。在g的中间区域，(g) 的取值是未知的。Abrahams等假 定在整个L, a的区域，g是唯一的相关量， 且(g)只是g的函数， 并在 （2.27） 的两个极限值之间单调光滑地变化。这个标度理论没有令人信服的微观理论解 释，但它的结论和预言已被越来越多的实验所证实。 ? 一维、二维系统一维、二维系统 对于一维和二维系统，(g)总是负的，这表明如果在小的 尺度，我们知道相应的 0 L 00) (gLg=，则当L趋于无穷大时，通过 解方程（2.27） ，总是得到 L )exp()(LLg，这里是一常数。g(L) 随L的 变化可以用(g) 随ln(g) 的变化图表示，图2.3称为“RG流图” ，可以清楚的 显示g的变化趋势。 对于d2的情况，当L从较小的尺度逐渐增大，g从开始沿着(g) 曲线 0 L 0 g 向正比于ln(g) 的区域移动，如箭头所示的方向。 利用（2.27）式，当L，可以得到宏观电导率（一维）和无量纲电导（二 维）的表达式 2,)/ln()( 1,)( 020 10 = = dLLCgLg dLCL (2.28) 这里和是常数。从上式可以看到，当L增加时，首先得到弱局域化修正。 但当L， 系统进入强局域化区， 上式不再成立。 上式表明在一维和二维系统中， 不存在真正的金属导体 （注意系统的有效维数由位相相干长度确定） 。 对于二 维系统，当1时，(g)是正的，而当g 0 0 L c gg 0 这个不稳定不动点对应于Mott迁移率边。现在我们来说明金属绝缘体转变 是连续的，因此不存在最小的金属电导率。不动点周围的区域称为临界区， 在临界区靠近临界点我们定义一个参量来描述当趋于临界点时系统的行为， c g 1/ |lnln| 00 ccc ggggg，0=对应于转变点。在尺度 电导趋于 （2.27） 式所表示的极限值 （宏 观区） 。在强局域化区它随L指数衰减，而在金属区它满足Ohm定律。利用这个 关系式我们可以得到在不动点附近的电导的表达式 s c c Lgg gg = 00 )/ln( )/ )(ln( (2.30) 由此可以得到 s const L /1 0 . (2.31) 这里常数因子的大小与电导由临界区到宏观区的变化在同一量级。 因此金属导体 的宏观电导率可表达成 sd d const L / )2( 2 . )( (2.32) 由上面的关系式可以看到，当趋近于不动点时（0） ，是发散的，而电导率连 续地趋于零。标度化理论表明无序导致的金属-绝缘转变是一个二级连续转变， 但不是一个二级连续相变， 因为在尺度L内电子在不动点附近两边的行为相同 或相似。 当L时，在临界区，很显然在金属区一边和在局域化区一边，电子的行为 基本相同，无量纲电导g在这两个区域内的变化基本上与它从到间的变化 在同一量级，但当很大时，这个变化可以忽略，在这种情况下，在尺度L的电 导率可以表达为 0 L )(,)( 2 L L L d (2.33) 上式表明在临界区电导率依赖于系统的尺度L（2。 当d=2时， 电导率与温度的关系是对数形式。 在的情况， 电子做扩散运动，根据（2.36）式，系统的电阻率在低温下具有负温度系数 L? 0/，电导率(L) 正比于1/L，而在 宏 观 区 域L， 前 一 项 是 宏 观 电 导 率 ，这里A10是(g) 趋于1时g的取值；而后一项是弱局域化 修正。 LCeL m ?/)( 2 += ?/ 2 Ae m = 通过上面的讨论可以看出， 局域化的标度理论可以定性的解释目前很多的实验 结果， 但在定量上存在一定的差距， 特别是考虑到电子间的库仑相互作用。 例如， 无序较强的系统的位相驰豫时间 要比无序较弱的系统的位相驰豫时间小几个 数量级，且对温度的依赖关系相对的也很弱。 2.5 弱局域化弱局域化 54 1010 在弱局域化区，对经典电导率的量子修正虽然很小（一般两者相差 量级） ，但是定量已知的。在这里我们介绍两种研究弱局域化的方法，一种是基 于上面所介绍的标度化理论， 另一种是将弱局域化解释成源于电子所受的相干背 散射（coherent backscattering） 。但这两种方法的实质是一样的，都是表示电子的 量子相干导致电导率的弱局域化修正，只是处理的方式不同。电子的相干背散射 方法给出一个非常直观的物理图像，易于了解。 标度化理论标度化理论 对于二维系统，(g) 函数中的常数C等于 2 /1，根据（2.28） ， 电导的弱局域化修正为 )/ln( 2 )(),/ln( 0 2 2 0 2 2 TT pe TGLL e G ? = (2.38) 这里是对应于的特征温度参量（ 0