谈高考数学中数学思想方法的灵活妙用人教

谈高考数学中数学思想方法的灵活妙用福建仙游盖尾中学一函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.案例探究例1已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x3或x3.f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)0m1, f(x)为减函数.即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.例2已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5;(2)对任意实数,恒有f(2+cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉0和tan(A+B)0，第(2)问中如何保证f(x)在1,3恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意： 又A、B锐角为三角形内两内角A+Btan(A+B)0，即m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,当sin=1时，f(sin)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，m=3锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.歼灭难点训练一、选择题1.（）已知函数f(x)=loga(2a)2对任意x,+都有意义，则实数a的取值范围是( )A.(0, B.(0,) C.,1 D.(,）2.（）函数f(x)的定义域为R，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)=2x2x+1，那么当x1时，f(x)的递减区间是( )A.，+ B.(1, C.,+ D.(1,二、填空题3.（）关于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，则a的取值范围是 .4.（）如果y=1sin2xmcosx的最小值为4，则m的值为 .三、解答题5.（）设集合A=x4x2x+2+a=0,xR.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围.6.（）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（）已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=f g2(x),gn(x)=fgn1(x),（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nN，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（,0）,对于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2时，gn(x)0.试问是否存在区间B（AB），对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0.8.（）已知函数f(x)= (a0,x0).（1）求证:f(x)在(0,+)上是增函数；（2）若f(x)2x在(0,+)上恒成立，求a的取值范围；（3）若f(x)在m,n上的值域是m,n(mn)，求a的取值范围.参考答案歼灭难点训练一、1.解析：考查函数y1=和y2=(2a)x的图象，显然有02a1.由题意得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A2.解析：由题意可得f(x+1)=f(x+1).令t=x+1，则x=1t，故f(t)=f(2t)，即f(x)=f(2x).当x1,2x1，于是有f(x)=f(2x)=2(x)2，其递减区间为，+).答案：C3.解析：显然有x3，原方程可化为故有(10a)x=29,必有10a0得a10又x=3可得a.答案：a104.解析：原式化为.当1,ymin=1+m=4m=5.当11,ymin=4m=4不符.当1，ymin=1m=4m=5.答案：5二、5.解：(1)令2x=t(t0)，设f(t)=t24t+a.由f(t)=0在(0,+)有且仅有一根或两相等实根，则有f(t)=0有两等根时，=0164a=0a=4验证：t24t+4=0t=2(0,+)，这时x=1f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)0a0若f(0)=0，则a=0，此时4x42x=02x=0（舍去），或2x=4,x=2，即A中只有一个元素综上所述，a0或a=4，即B=aa0或a=4（2）要使原不等式对任意a(,04恒成立.即g(a)=(x2)a(x26x)0恒成立.只须x26.解：（1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2.由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)=x2+2x.（2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0.由以上知满足条件的m、n存在，m=2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(kN)成立，则gk+1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.对一切nN,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x06x02=x0,x0=0或x0=稳定不动点为0和.(3)解：f(x)0，得6x6x20x0或x1.gn(x)0fgn1(x)0gn1(x)0或gn1(x)1要使一切nN,n2，都有gn(x)0，必须有g1(x)0或g1(x)1.由g1(x)06x6x20x0或x1由g1(x)06x6x21故对于区间()和(1,+)内的任意实数x,只要n2,nN，都有gn(x)0.8.(1)证明：任取x1x20,f(x1)f(x2)=x1x20,x1x20，x1x20,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,+)上是增函数.（2）解：2x在(0,+)上恒成立，且a0,a在（0，+）上恒成立，令（当且仅当2x=即x=时取等号），要使a在(0,+)上恒成立，则a.故a的取值范围是,+).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.m=f(m),n=f(n)，即m2m+1=0，n2n+1=0故方程x2x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到mn=1，故只需要=()240,由于a0，则0a.二 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. 案例探究例1设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3，即B=y1y2a+3作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：当2a0时，a2z4即C=zz2z4要使CB,必须且只须2a+34得a与2a0矛盾.当0a2时，0z4即C=z0z4，要使CB，由图可知：必须且只需解得a2当a2时，0za2，即C=z0za2，要使CB必须且只需解得2a3当a2时，A=此时B=C=，则CB成立.综上所述，a的取值范围是(,2),3.例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即.锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.歼灭难点训练一、选择题1.（）方程sin(x)=x的实数解的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.（）已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根（，则实数a、b、的大小关系为( )A.ab B.abC.ab D.ab二、填空题3.（）(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t为参数)的最大值是 .4.（）已知集合A=x5x,B=xx2axxa，当AB时，则a的取值范围是 .三、解答题5.（）设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）内有相异解、.（1）求a的取值范围；（2）求tan(+)的值.6.（）设A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y3)2=a2,a0,且AB，求a的最大值与最小值.7.（）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求PF1+PA的最大值和最小值.8.（）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参 考 答 案歼灭难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x)与y2=x的图象如图.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：4.解析：解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得.答案：a3三、5.解：作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的图象，知当1且时，曲线与直线有两个交点，故a(2,)(,2).把sin+cos=a,sin+cos=a相减得tan，故tan(+)=3.6.解：集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示AB，半圆O和圆O有公共点.显然当半圆O和圆O外切时，a最小a+a=OO=2,amin=22当半圆O与圆O内切时，半圆O的半径最大，即a最大.此时aa=OO=2,amax=2+2.7.解：由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图：由PAPF2AF2=知PAPF2.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即PAPF2的最大、最小值分别为，.于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y.三 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”案例探究例1已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为所以，(kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因为Sk+1Sk，(kN*) 所以Sk2S12=1.又Sk4，故要使成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cSk不成立，从而不成立.当k2时，因为，由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12故当k2时，Sk2c，从而不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，cSk不成立，从而不成立因为，又Sk2Sk+12所以当k3时，Sk2c，从而成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.例2给出定点A（a,0)（a0）和直线l：x=1，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（1，b)，(bR），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx.设点C(x,y)，则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得y= 依题设，点C在直线AB上，故有由xa0，得 将式代入式，得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0，则(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0则b=0,AOB=，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为（1a）x22ax+(1+a)y2=0(0xa(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0x1 此时方程表示抛物线弧段；(ii)当a1，轨迹方程化为 所以当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴，E是垂足.（i）当BD0时，设点C(x,y)，则0xa，y0由CEBD，得.COA=COB=CODBOD=COABOD2COA=BOD整理，得(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)(ii)当BD=0时，BOA=，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(1,b)，则BO的方程为y=bx，直线AB的方程为当b0时，OC平分AOB，设AOC=,直线OC的斜率为k=tan,OC的方程为y=kx于是又tan2=bb= C点在AB上 由、消去b，得 又，代入，有整理，得(a1)x2(1+a)y2+2ax=0 当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：a1时，式变为当0a1时，表示椭圆弧段；当a1时，表示双曲线一支的弧段；当a=1时，表示抛物线弧段.锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.歼灭难点训练一、选择题1.（）已知其中aR，则a的取值范围是( )A.a0 B.a2或a2C.2a2 D.a2或a22.（）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种二、填空题3.（）已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为 .4.（）已知集合A=xx23x+2=0,B=xx2ax+(a1)=0，C=xx2mx+2=0，且AB=A，AC=C，则a的值为 ，m的取值范围为 .三、解答题5.（）已知集合A=xx2+px+q=0，B=xqx2+px+1=0,A,B同时满足：AB,AB=2.求p、q的值.6.（）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数(0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.()已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当nyn+1(n=0,1,2,)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），设数列xn由f(xn)=n(n=1,2,)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）计算xn；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（）已知a0时，函数f(x)=axbx2（1）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a2b;（2）当b1时，证明：对任意x0,1,f(x)1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0,1,f(x)1的充要条件.参考答案歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、a2和a2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A=1,2,B=x(x1)(x1+a)=0,由AB=A可得1a=1或1a=2；由AC=C，可知C=1或.答案：2或3 3或（2，2）三、5.解：设x0A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A=2,0，从而p=2,q=0,B=.此时AB=与已知矛盾，故x00.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得.即满足B中的方程，故B.A=2,则2A,且2.设A=2,x0，则B=，且x02（否则AB=）.若x0=，则2B,与2B矛盾.又由AB,x0=，即x0=1.即A=2,1或A=2,1.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根2，1或2，16.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P=MMN=MQ,0.ONMN,ON=1,MN2=MO2ON2=MO21设动点M的坐标为(x,y)，则即（x21)(x2+y2)42x+(42+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程.（1）当=1时，方程为x=，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线；（2）当1时，方程化为：它是以为圆心，为半径的圆.7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0y1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由x1=1又由f(x2)=2，当1y2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由即x2x1=x2=1+记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn1，故得又由f(xn)=n,f(xn1)=n1xnxn1=()n1,n=1,2,由此知数列xnxn1为等比数列，其首项为1，公比为.因b1，得(xkxk1)=1+即xn=（2）由（1）知，当b1时，当0b1，n, xn也趋于无穷大.xn不存在.（3）由（1）知，当0y1时，y=x，即当0x1时，f(x)=x;当nyn+1，即xnxxn+1由（1）可知f(x)=n+bn(xxn)(n=1,2,),由（2）知当b1时，y=f(x)的定义域为0,);当0b1时，y=f(x)的定义域为0,+).8.(1)证明：依设，对任意xR，都有f(x)11a0,b0a2.（2）证明：必要性：对任意x0,1，f(x)11f(x），据此可以推出1f(1)即ab1，ab1对任意x0,1，f(x)1f(x)1.因为b1，可以推出f()1即a11，a2,b1a2充分性：因为b1，ab1，对任意x0,1.可以推出axbx2b(xx2)xx1即axbx21因为b1,a2,对任意x0,1，可以推出axbx22xbx21即axbx21,1f(x)1综上，当b1时，对任意x0,1，f(x)1的充要条件是b1a2.(3)解：a0，0b1x0,1,f(x)=axbx2b1即f(x)1f(x)1f(1)1ab1即ab+1ab+1f(x)(b+1)xbx21即f(x)1所以当a0，0b1时，对任意x0,1，f(x)1的充要条件是ab+1.四 化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.案例探究例1对任意函数f(x), xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据x0D，经数列发生器输出x1=f(x0)；若x1D，则数列发生器结束工作；若x1D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.现定义（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列xn，请写出xn的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列xn，满足对任意正整数n均有xnxn+1；求x0的取值范围.命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属级题目.知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：（1）f(x)的定义域D=（,1)(1,+)数列xn只有三项，（2）,即x23x+2=0x=1或x=2，即x0=1或2时故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（nN*）（3）解不等式，得x1或1x2要使x1x2，则x21或1x12对于函数若x11，则x2=f(x1)4，x3=f(x2)x2若1x12时，x2=f(x1)x1且1x22依次类推可得数列xn的所有项均满足xn+1xn（nN*)综上所述，x1(1,2)由x1=f(x0),得x0(1,2).例2设椭圆C1的方程为(ab0)，曲线C2的方程为y=，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记miny1,y2,yn为y1,y2,yn中最小的一个.设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=ming(a), S(a)的表达式.命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属级题目.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助找到a、b的关系.第（2）问中考生易忽略ab0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将ming(a),S(a)转化为解不等式g(a)S(a).技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解：（1）将y=代入椭圆方程，得化简，得b2x4a2b2x2+a2=0由条件，有=a4b44a2b2=0，得ab=2解得x=或x=（舍去）故P的坐标为().(2)在ABP中，AB=2，高为,ab0,b=a,即a,得01于是0S（a），故ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)(3)g(a)=c2=a2b2=a2解不等式g(a)S(a)，即a2整理，得a810a4+240，即(a44)(a46)0解得a（舍去）或a.故f(a)=ming(a), S(a)锦囊妙计转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.歼灭难点训练一、选择题1.（）已知两条直线l1:y=x,l2:axy=0，其中aR，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是( )A.（0，1） B.（，）C.（，1）（1，） D.（1，）2.（）等差数列an和bn的前n项和分别