普通数学一轮第14讲直线、圆的位置关系精品学案

2013年，高考数学系审查了一轮优秀的研究。第14讲：直线和圆之间的位置关系一、课程要求：1.两条直线的交点坐标可以通过解方程得到。2.探索并掌握两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，找出两条平行直线之间的距离；3.能根据给定的直线和圆的方程判断直线和圆、圆和圆的位置关系；4.一些简单的问题可以用线性和圆形方程来解决。5.在平面解析几何的初步学习过程中，我体会到了用代数方法处理几何问题的思想。二。命题趋势这堂课的重点是直线之间平行和垂直的条件，与距离有关的问题，以及直线和圆之间的位置关系(尤其是弦长问题)。这些问题难度中等，通常以选择题的形式出现。解析几何中有时也会出现大问题。应该更加注意几何图形的性质或方程的知识。预计2013年对本次讲座的考察将是：(1)选择题或填空题、答题卡等知识的联合检查；(2)热点问题是直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系应该借助于数形结合的思想来处理。重视这种思维方法也是命题的方向。(3)本次讲座的内容考查学生的理解能力、逻辑思维能力和计算能力。三。要点1.线l1和线l2的平行度和垂直度(1)如果l1和l2的斜率不一致：L1/L2 k1=k2；l1l2 k1k2=-1 .(2)如果如果A1、A2、B1和B2不为零。L1/L2；l1l 2 A1A2 B1B 2=0；l1和l2相交；l1和l2重叠；注：如果A2或B2包含字母，应注意字母=0和0的情况。两条直线的交点：两条直线的交点的数量取决于由两条直线的方程形成的方程的解的数量。2.距离(1)两点之间的距离：如果是，则特别是：轴，然后，轴，然后。(2)平行线之间的距离：如果是，则：注意：x和y对应的系数应该相等。(3)点到直线的距离：那么p点到l的距离是：3.直线和圆之间有三种位置关系(1)如果；(2)；(3 ).它也可以通过线性方程和圆形方程的联立方程来求解，并且可以通过解的数量来判断：(1)当方程有两个公共解(直线和圆有两个交点)时，直线和圆相交；(2)当方程有且只有一个公共解时(直线和圆之间只有一个交点)，直线与圆相切；(3)当方程没有公共解时(直线和圆没有交点)，直线和圆是分离的；也就是说，如果将线性方程代入圆的方程以获得一个变量的二次方程，并且如果其判别式是并且从中心C到直线L的距离是D，则直线和圆之间的位置关系满足以下关系：正切d=r=0；相交d0。距离dr 0。4.两个圆之间位置关系的确定方法让这两个圆分别有圆心O1和O2以及半径r1和r2。；向外切割相交内部包含判断两个圆之间的位置关系也可以通过联立方程判断公共解的个数来解决。四.典型案例分析问题类型1:直线之间的位置关系例1。(1)如果三个点a (2，2)、b (a，0)、c (0，b) (ab0)共线，则的值等于。(2)如果已知两条直线，则_ _。(1)回答：(2)2 .备注：(1)三点共线性问题用斜率解决，只需保证；(2)判断直线的平行关系，注意一般方程中系数为零的情况。例2。(1)如果已知两条直线相互垂直，则它们等于()A.2 B.1 C.0 D(2)如果曲线的切线垂直于直线，则方程为()例3。到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()A.x-y=0 B.x y=0C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0分辨率：将与坐标轴距离相等的点设置为(x，y)|x|=|y| |x|-|y|=0。回答：d点评：本课题更好地考查考生的数学素质，尤其是考查思维的敏捷性和思维的清晰性，通过不等式解等知识探索解题途径。例4。给定从点P到两个固定点M (-1，0)和N (1，0)的距离比，从点N到直线PM的距离是1。求直线PN的方程。分析：将点P的坐标设置为(x，y)，并设置以下问题：那是。完成x2y2-6x1=0 因为从点n到点PM的距离是1，| Mn |=2，所以 PMN=30，直线的斜率是，直线运动方程为y=(x 1) 将等式2代入等式1，得出x2-4x 1=0。X=2，x=2-。代入公式(2)，得到点p的坐标为(2，1)或(2-，-1)；(2，-1-)或(2-，1-)。直线PN的方程式是y=x-1或y=-x1。点评：本课题综合整合了解析几何、平面几何和代数的相关知识，充分体现了“强调学科知识的内在联系”。题目设计新颖、精炼，能更好地测试考生综合运用数学知识解决问题的能力。深入探讨了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想和方程的思想。这个问题在不同程度上检验了思维的目的、逻辑性、彻底性和灵活性。它对计算能力和简化能力也有较高的要求，并具有较好的识别能力。问题3:直线和圆的位置关系例5。(1)如果直线和圆之间没有公共点，则取值范围为()A.学士学位(2)圆的切线方程之一是()A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0分析：(1)分析：从圆心到直线大于的点，选择a注释：这个问题检查直线和圆之间位置关系的确定。(2)如果直线ax by=0，那么通过排除法，如果你选择C，主题也可以与数字和形状结合。如果你画他们的图像，你自然会选择C，这是最方便的解决方法。注释：本主题主要研究求圆的切线的方法。直线与圆相切的充要条件是从圆心到直线的距离等于半径。直线和圆之间的相切可以转化为(1)几何条件：从圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线和圆的方程形成一组具有唯一解的方程，这些方程可以转化为等于零的判别式来求解。例6。已知圆m: (x cosq) 2 (y-sinq) 2=1，直线l: y=kx，以下四个命题：(a)与任意实数k和q、直线l和圆m相切；(b)对于任何实数k和q，直线l和圆m具有公共点；对于任何实数Q，必须有一个实数K，所以直线L与圆M相切；(d)对于任何实数k，必须有一个实数q，所以直线l与圆m相切。其中，真实命题的代号是_ _ _ _ _ _ _ _ _(写出所有真实命题的代号)分辨率：中心坐标为(- cosq，sinq)d=所以选择(二)(四)评论：本主题结合了三角形参数的形式，并探讨了分类讨论的概念。问题4:直线和圆的合成例7。直线X Y-2=0截圆X2 Y2=4的下弧的中心角是()A.学士学位分析：如图所示：数字经过Y=x2-3x2-3x 2=0 0，8756；x1=2，x2=1。A(2,0),B(1)|AB|=2| ob |=| oa |=2，AOB是一个等边三角形，AOB=，所以选择c。备注：本主题考查直线和圆的交点的基本知识，正三角形的性质，以及它们的逻辑思维能力和数形结合的思想。同时，它也反映了数字和形状结合的简单性。如果注意到直线AB的倾斜角为120，则等腰OAB的底角为60。因此AOB=60。这更显示了平面几何的意义。例8。直线分析(数字和形状的组合)从图中可以看出，点A在圆的内部，圆的中心是O(2，0)。为了最小化下弧面对的圆的中心角，它只能是一条直线，所以。备注：本主题主要考察数字和形状的组合与两条垂直直线的斜率之间的关系。这是中等难度的。问题5:对称性例9。一束光L从(-3，3)射出，照射在X轴上，并被X轴反射至C:X2 Y2-4X-4Y 7=0。(1)当反射线通过中心c时，求出光线l的方程；(ii)找到x轴上反射点m的范围。解答1:已知圆的标准方程是(x-2) 2 (y-2) 2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2) 2 (y 2) 2=1。让光线l所在的直线方程为y-3=k (x3)(其中斜率k是不确定的)，并且让从对称圆的中心C(2，-2)到这条直线的距离等于1，即d=1。结果是12k2 25k 12=0，解是k=-或k=-。因此，所需的线性方程是y-3=-(x3)，或y-3=-(x3)，即3x 4y 3=0或4x 3y 3=0。解决方案2:假设圆的标准方程是(x-2) 2 (y-2) 2=1，相交线l所在的直线方程是y-3=k(x 3)(斜率k尚未确定)，这个问题意味着k0，所以l的反射点的坐标是(-，0)。因为光的入射角等于反射角，所以反射光L所在的直线方程是y=-k (x)，即y kx 3(1 k)=0。这条直线应该与已知圆相切，所以从圆心到直线的距离是1，即d=1。以下是相同的解决方案1。备注：对于圆形复合直线的对称问题，求解思路考虑了直线的对称问题，重点关注对称圆的几何特征，尤其是圆心坐标和圆的半径。例10。已知函数f (x)=x2-1 (x 1)的像是C1，并且曲线C2和C1关于直线y=x对称(1)找出曲线C2的方程y=g (x );(2)设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2M，x1x2，验证| g(x1)-g(x2)| | x1-x2 |；(3)设A和B是曲线C2上的任意两点，证明直线AB和直线y=x必须相交。分析：(1)曲线C1和C2关于直线y=x对称，那么g(x)是f(x)的反函数。y=x2-1，x2=y 1，x1，x=，那么曲线C2的方程是g(x)=(x0)。(2)如果x1，x2M，x1x2，x1-x2 0。x10，x20，|g(x1)-g(x2)|=| -|=|x1-x2| .(3)假设A(x1，y1)和B(x2，y2)是曲线C2上的任意两个不同的点，x1，x2M和x1x2，从(2)，|kAB|=|=1直线AB |kAB|的斜率为1，而直线y=x的斜率为1，直线AB与直线y=x必须相交。注释：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手，最终转化为点坐标的对应关系。问题6:跟踪问题例11。众所周知，一个运动的圆穿过一个固定点，并与一条直线相切，其中。(一)找到运动圆心的轨迹方程；(二)设A和B为轨迹上不同于原点的两个不同点，直线和的倾角分别为和。当变化不变时，证明直线在不动点上是不变的，并得到不动点的坐标。分析：(一)如图所示，设定为移动圆的中心，标记为，交点是直线的垂直线，而垂直的脚是，从问题的含义可知：即，移动点和固定点之间的距离等于固定直线的距离，从抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线，其焦点是准线，所以轨迹方程是；(二)如图所示，假设问题意味着(否则)，所以直线的斜率存在。假设这个方程，很明显，是同时消去的，假设，维塔定理知道(1)当时，立即，所以，所以从知道：所以。因此，直线的方程可以表示为，也就是说，直线通过固定点。(2)当时，Get=，将公式代入上述公式可以简化：因此，在这种情况下，直线方程可以表示为因为两个圆的半径都是1，所以。如果，那么，那是(或)。备注：本主题主要考察轨迹方程的求解方法及其基本运算能力。问题7:课程标准的创新例13。已知实数x和y满足，并且获得最大值和最小值。分析：直线的斜率，代表圆上的通过点A(0，-1)和移动点(x，y)。如下图所示，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别获得最大值和最小值。让切线方程，也就是说，然后，解被获得。因此，点评：直线知识是解析几何的基础知识。灵活运用直线知识解决问题具有构思巧妙、直觉性强的特点，有助于启发思维。下面是一个例子来说明它在最大值问题中的巧妙应用。例14。让双曲线的两个分支分别为，正三角形PQR的三个顶点位于这条双曲线上。如果q和r在顶部，找到顶点q和r的坐标。分析：在正三角形PQR中，如果有，圆心、半径和双曲线的圆在R和q的两点相交根据两条曲线的方程，可以得到交点的Q和R坐标。分析：设以p为圆心、半径为的圆的方程为：发件人：(其中，可使为元解)如果q和r的坐标分别是。也就是说，出于同样的原因，因为PQR是一个正三角形，也就是说，这是必要的。代入方程，就是说。从方程中，我们可以得到：因此，q和r的坐标如下注释：圆是最简单的二次曲线，广泛应用于解析几何和其他数学分支。对于一些数学问题，如果能画一个辅助圆，问题设置和结论之间的关系就能沟通，从而解决问题，为搭桥铺路。V.思维总结1.关于线性对称问题：(1)关于L: