数学概率与统计问题的题型与方法

2006年高考数学专题概率统计复习的题型和方法一、审查目标：1.了解典型分布列表：0 1分布、二项式分布和几何分布。2.为了理解离散随机变量的期望值和方差的含义，期望值和方差将根据离散随机变量的分布列表来计算。3.在实践中，期望经常被用来比较两个相似事件的水平。当水平相似时，方差用于比较两个相似事件的稳定性。4.为了理解正态分布的含义，我们可以通过正态曲线的图像来理解正态曲线的性质。5.了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体转化为标准正态总体的公式及其应用。6.通过生产过程的质量控制图理解假设检验的基本思想。7.理解相关、回归分析、散点图等概念。并找到回归线性方程。8.为了理解相关系数的计算公式及其意义，将使用相关系数公式进行计算。了解相关测试的方法和步骤，将使用相关测试方法进行测试。二。考试要求：(1)为了理解随机变量和离散随机变量的含义，我们将找到一些简单的离散随机变量的分布列表。为了理解离散随机变量的期望值和方差的含义，期望值和方差将根据离散随机变量分布表进行计算。(3)样本将通过常用的抽样方法从人群中抽取，如抽水机抽样、系统抽样和分层抽样。(4)样本频率分布将用于估计总体分布。(5)了解正态分布的意义和主要性质。6理解假设检验的基本思想。(7)人口将根据样本的特征进行估计。(8)了解线性回归的方法。三。教学过程：基础知识的详细分析随机事件和统计的知识结构：随机事件和统计的执行摘要1.主要内容有分布列表、离散随机变量的期望和方差、抽样方法、总体分布估计、正态分布和线性回归。2.随机变量的概率分布(1)离散随机变量分布列表；P两个基本属性(1.)；P1P2=1 .(2)连续随机变量的概率分布：根据频率分布直方图估算总体分布密度曲线y=f(x)；人口分布密度函数的两个基本性质：f(x)0(xR)；(2)由曲线y=f(x)和x轴包围的面积为1。3.随机变量的数学期望和方差(1)离散随机变量的数学期望：；反映随机变量的平均水平。(2)离散随机变量的方差：；反映随机变量值的稳定性和波动性、集中性和分散性的程度。(3)基本性质：4.三种取样方法。5.二项式分布和正态分布(1)如果是事件在n次独立重复试验中发生的次数，则 b (n，p)；概率.预期E=np，方差D=npq。(2)正态分布密度函数：预期E=，方差。(3)标准正态分布：如果是这样，,6.线性回归：当变量x的值为常数时，如果相应变量y的值具有一定的随机性，则变量y与x具有相关性。对于一组观测值，如果平面直角坐标系中的相应点一般都集中在直线附近，则变量y与x之间存在线性相关性相关系数用于检验线性相关的显著水平。通常，0.05自由度n-2的显著水平是通过查表获得的，如果它是显著的；否则，这并不重要。(三)离散随机变量分布表随机变量：如果随机测试的结果可以用一个变量来表示，那么这个变量就叫做随机变量。两种最常见的随机变量是离散随机变量和连续随机变量。如果随机变量的可能值可以按一定的顺序一个接一个地列出来，这种随机变量就叫做离散随机变量离散随机变量的分布列表：如果离散随机变量的可能值是Xi (I=1，2，)，因为每个测试结果的出现都有一定的概率，所以每个随机变量的值也有一定的概率P(=Xi)=。人们常用表格的形式来书写它们，例如：x1x2xiP第一亲代p2pi这个表是随机变量的概率分布，简称分布表。分布列表的表达式如下：(1)表格形式；(2)一组方程；(3)压缩成一个带有“I”的方程。1.在实际问题中，人们往往关心随机变量的特性，而不是随机变量的具体值。离散随机变量的期望和方差是随机变量的特征数，期望反映随机变量的平均值，方差和标准差都反映随机变量的稳定性和波动性、集中度和离散度。标准差与随机变量本身的单位相同。2.离散随机变量期望和方差的计算公式让离散随机变量的分布列表为p (=xi)=pi，i=1，2，然后：E=I，D=I-E)2=I 2-(E)2=E(2)-(E)2 .3.离散随机变量的期望和方差的性质E (a+b)=aE+b，D (a+b)=a2 D .4.二项式分布的期望和方差如果 b (n，p)，则e=np，d=np (1-p)。取样方法三种常见的取样方法：1.简单随机抽样：将总体数量设置为n。如果从样本中逐个提取一个样本，并且在每次提取期间每个个体被提取的概率相等，则这种抽样称为简单随机抽样。为了实现简单的随机抽样，通常使用抽签和随机数表。2.系统抽样：当人口中有大量的人时，可以将人口分成几个平衡的部分，然后根据预定的规则从每个部分抽取一个个体来获得所需的样本。这种采样称为系统采样(也称为机械采样)。系统抽样的步骤可以概括如下：(1)对群体中的个体进行计数；(2)分段整数；(3)确定初始个体数；(4)取样。3.分层抽样：当已知一个群体由几个具有明显差异的部分组成时，该群体通常被分成几个部分，然后根据每个部分的比例进行抽样。这种抽样被称为分层抽样，其中被划分的部分被称为分层。总体分布估计总体分布：总体值的概率分布规律通常称为总体分布。总体密度曲线：当样本量无限增加，分组距离无限减小时，频率分布直方图将无限接近平滑曲线，即总体密度曲线。正态分布正态分布：如果人口密度曲线是下列函数的图像：，公式中的实数和(0)是参数，分别代表种群的平均值和标准差，种群是一个抽象的无限容量种群。这种分布称为正态分布，通常称为N(，2)。(1)图像称为法线曲线。特别地，在函数中，当=0且=1时，正常总体被称为标准正常总体，此时，对应的函数表达式为，2相应的曲线称为标准正态曲线。当我们不知道种群的分布时，我们总是从种群中抽取一个样本，利用样本的频率分布来估计种群的分布。此外，样本量越大，分组的分组距离越小，样本的频率分布越接近总体分布。当样本大小无限增加，组的组距离无限减小时，频率分布直方图将演变成平滑曲线，即反映整体分布的整体密度曲线。可以看出，反映人口分布的人口密度曲线的形状是多种多样的，不同形状的人口密度曲线是不同人口分布的反映，反映这种分布的正态分布和正态曲线是各种人口分布和人口密度曲线中的一种重要分布。1.正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的分布，它的重要性可以从以下两个方面来理解：一方面，正态分布是自然界中最常见的分布。一般来说，如果有许多随机因素影响某个量化指标，而每个因素都没有发挥显著作用，那么该指标服从正态分布。例如，产品规模是一个典型的群体。对于批量生产的产品，如果生产条件正常稳定，即工艺、设备、工艺、操作、原材料、环境等可控条件。相对稳定，并且没有明显的因素导致系统错误，那么产品尺寸的总体分布服从正态分布。另一个例子是测量误差。炮弹落点的分布；人类生理特征的数量：身高、体重等。庄稼的收成等等都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布有许多好的性质。许多分布可以近似地用正态分布来描述。此外，一些分布可以由正态分布导出。因此，正态分布在理论研究中也非常重要。2.法线曲线及其性质对于正态分布函数：，x(-，)由于中学知识范围的限制，没有必要去探究它的因果关系，但对于它的功能形象，即正态曲线，我们可以通过追踪点(或计算机中的绘图工具)画出教科书图1-4中的图(1)、(2)、(3)，这样我们就可以很容易地总结出正态曲线的性质。3.标准正态曲线标准正态曲线n (0，1)是一种特殊的正态分布曲线，这是本节的重点。由于其非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”。对于抽象函数，教科书没有给出具体的表达式，但它的几何意义是非常明显的，即图形中被法线曲线n (0，1)、x轴和直线包围的区域。然后从n (0，1)曲线关于y轴的对称性，我们可以得到方程和标准正态总体在任何区间(a，b)取值的概率。4.一般正态分布和标准正态分布的变换由于正态总体的图像不一定关于Y轴对称，因此标准正态分布表不能用于计算某一区间内的概率。这时，我们自然会想：是否可以将正常人群转化为标准正常人群n (0，1)进行研究。经过调查，人们发现，对于任何正常人群，它的值都小于x的概率。对于这个公式，教科书没有给出证明，只使用了“事实上，它是可以证明的”几个字。这表明对方程的起源没有要求，只要它能被用来寻找特定区间内的正态总体的概率。5.“小概率事件”与假设检验的基本思想“小概率事件”通常是指概率小于5%的事件，因为在大量的重复测试中，每20次测试只能发生一次，因此认为该事件几乎不可能在一次测试中发生。这种理解是推论的起点。关于这一点，我们应该有以下两个方面的理解：第一，这里的“几乎不可能”是针对“一个测试”的，因为有更多的测试，事件当然有可能发生；第二，当我们用“小概率事件几乎不可能发生”的原则来做推论时，我们也有5%的可能犯错误。也就是说，这里概率意义上的推理不同于过去确定性数学中“如果a是b”公式的推理。教科书将通过服从正态分布的零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。假设检验通常有三个步骤：第一步是提出统计假设。教科书例子中的统计假设是这个工人制造的零件的尺寸服从正态分布。第二步是确定一次测试中的值A是否在范围内(-3， 3)。第三步是做出推论。如果a(-3， 3)，接受统计假设；如果，因为这是一个小概率事件，统计假设被拒绝。上述拒绝统计假设的推理类似于我们过去学到的反证法。事实上，当一个问题被反证法证明时，要证明的命题的结论首先被否定，这本身被认为是一个新命题，并且推理是从它进行的。如果有矛盾，矛盾被归因于新命题的不正确结论，从而否定它。否定新命题就是证明原命题的结论。线性回归回归分析：对于两个变量，当自变量有一定值时，因变量有一定随机性的两个变量之间的关系称为相关或回归。回归直线方程：如果x和y是具有相关性的两个变量，并且n个观测值对应的n个点大致分布在一条直线附近，则y到x的回归函数可视为直线：其间，我们称这个方程为y到x的回归线性方程。1.相互关系本节的目的是研究这两个变量之间的相关性。我们可以从以下三个方面来理解这种相关性：(1)相关性与功能的关系不同。函数关系中两个变量之间的关系是确定的。例如，正方形面积S和边长X之间的关系是一种函数关系。也就是说，对于边长x的每个确定值，都有对应于它的面积s的唯一确定值。相关性是一种不确定的关系，即非随机变量和随机变量之间的关系。例如，一个人的身高和年龄；商品销售与广告费用等有关。(2)功能关系是因果关系，相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如，已经发现对于学生来说，身高与阅读技能有很强的相关性。然而，学习新单词不会让孩子马上长高，而是涉及第三个因素，年龄。随着儿童年龄的增长，他们的阅读能力将会提高，他们也会长得更高。(3)功能关系和关联关系之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转化。例如，尽管正方形区域S与其边长X是确定的关系，但是当每次测量边长时，由于测量误差和其他原因，其数值显示出随机性。对于具有线性关系的两个变量，在得到回归直线后，我们可以估计出具有一定关系的两个变量之间的关系。现实生活中大量存在相关性。从某种意义上说，功能关系是一种理想的关系模型，而关联是一种更普遍的情况。因此，相关性的研究不仅使我们能够处理更广泛的数学应用问题，而且使我们能够把我们对函数关系的理解提高到一个新的高度。2.回归分析本节研究的回归分析是线性回归分析中最简单、最基本的一种。对于线性回归分析，我们应该注意以下几个方面：(1)回归分析是对具有相关性的两个变量的统计分析方法。两个变量之间的相关性是回归分析的前提。(2)散点图是在两个相关变量的基础上定义的。对于两组性质不明确的数据，可以先制作散点图，然后进行相关回归分析，看看它们之间是否有关系以及紧密程度。(3)要找到回归直线方程，首先要注意的是，只有散点图足够大到线性时，找到的回归直线方程才有实际意义，否则，找到的回归直线方程就没有意义。3.相关系数有时散点图中的每个点并不集中在直线附近，回归直线方程