2016上海市中考数学压轴题解题策略：面积的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确 例题解析 例 如图 1矩形 顶点 C 在 y 轴右侧沿抛物线y 6x 10 滑动，在滑动过程中 x 轴， 1， 下方当点 D 在 y 轴上时， 在 x 轴上当矩形 x 轴分成两部分的面积比为 1:4 时， 求点 C 的坐标 图 1解析】先求出 5，再进行两次转化，然后解方程 把上下 两部分的面积比为 1 4 转化为 S 上 S 全 1 5 或 S 上 S 全 4 5 把面积比转化为点 C 的纵坐标为 1 或 4 如图 1C (3, 1) 如图 1C(33 , 4)或 (3 3 , 4) 图 1 图 1 如图 2次函数 y (x m)2 k 的图象与 x 轴交 于 A、 B 两点，顶点 M 的坐标为 (1, 4)， y 轴相交于点 C， 在抛物线上是否还存在点 P，使得 S 存在，求出点 P 的坐标 图 2解析】 确定的， 三角形 公共边 据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点 C 画 平行线与抛物线的交点就是点 P一目了然，点 P 有 2 个 由 y (x 1)2 4 (x 1)(x 3)，得 A( 1,0)， B(3,0)由 A、 M，得 C(0, 2) 如图 2 P(x, 2x 3)，由 以 F 解方程 2( 1) 4 2 42x x ，得 25x 所以 ( 2 5 , 2 2 5 )P 或 ( 2 5 , 2 2 5 ) 图 2 如图 3线 y x 1 与抛物线 y 2x 3 交于 A、 B 两点，点 P 是直线方抛物线上的一点，四边形 平行四边形，当四边形 面积最大时，求点 P 的坐标 图 3【 解析】 面积最大时，平行四边形 面积也最大 我们介绍三种割补的方法求 面积：如图 3 割为两个共底 三角形，高的和等于 A、 B 两点间的水平距离；如图 3四边形 面积减去 图 3直角梯形 面积减去两个直角三角形的面积 我们借用图 3绍一个典型结论已知 A( 1,0)、 B(2, 3)，设 P(x, 2x 3) S S S 1 ()2 P E A F B D 1 ( ) ( )2 P E B Ay y x x21 ( 2 ) 32 23 1 2 7()2 2 8x 当 12x时， 面积最大 12x的几何意义是点 E 为 中 点，这是一个典型结论同时我们可以看到，由于 此当 大时， 面积最大 图 3 图 3 图 3 如图 4平行四边形 A ， 3， 5， 向匀速平移得到 度为每秒 1 个单位长度；同时点 Q 从点 C 出发，沿 向匀速移动，速度为每秒 1 个单位长度；当 止运动时，点 Q 也停止运动，如图 4移动时间为 t 秒（ 0 t 4）是否存 在某一时刻 t，使 S S 四边形 1 4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 4 图 4解析】两步转化，问题就解决了 同 底等高的三角形， 一部分 因此 S S 四边形 1 4 就转化为 S S 1 5，更进一步转化为 S 5 如图 4方程 1 3 6( 4 )2 5 5 ，得 t 2 图 4 如图 5平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (0, 1)，直线 y 2x 4 与抛物线214相交于点 B，与 y 轴交于点 D将 直线 叠后，点 A 落在点 C 处（如图 5问在抛物线上是否存在点 P，使得 S 3S 果存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 图 2 【解析】由 A(0, 1)， B(4, 4)， D(0, 4)，可得 5，这里隐含了四边形 此 等底三角形，而且两底 如果 S 3S 么点 P 到直线 距离等于它到直线 离的 3 倍 如果过点 P 与 行的直线与 y 轴交于点 Q，那么点 Q 到直线 距离等于它到直线 离的 3 倍 所以 3 Q 的位置有两个，在 延长线上或 如图 5点 Q 7(0 )2，画 平行线，得 P 3 6 5 3 7 3 6 5()28，或3 6 5 3 7 3 6 5()28， 如图 5点 Q 1(0 )4,画 平行线，得 P 3 5 7 3 5()28，或 3 5 7 3 5()28， 图 5 图 5 如图 6物线 21584y x x 经过点 E(6, n)，与 x 轴正半轴交于点 A，若点 P、 O、 A、 E 为顶点的四边形的 面积记作 S，则S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？ 图 6解析】如图 6点 P 在直线 方的抛物线上，过点 P 作 平行线，当这条直线与抛物线相切时， 面积最大这时我们可以在直线 上方画一条与 条直线与抛物线有 2 个交点 P和 P，满足 S S PS P 设过点 P 与直线 行的直线为 34y x m ，联立 21584y x x ，消去 y， 整理，得 16x 8m 0由 0，解得 m 8 因此方程 16x 64 0 的根为 8所以 P(8, 2) 如图 6 x 轴于 H，可以求得 S S 四边形 9 5 2 16 图 6 图 6 如图 7 P 是第二象限内抛物线 21 88 上的一个动点，点 D、 E 的坐标分别为 (0, 6)、 ( 4, 0)若将“使 面积为整数” 的点 P 记作“好点”，请写出所有“好点”的个数 图 7解析】第一步，求 面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数关系式；第二步，分析 S 关于 x 的函数关系式 如图 7S S S S 21 ( 6 ) 1 34 x 因此 S 是 x 的二次函数，对称轴为直线 x 6， S 的最大 值为 13 如图 7 8 x 0 时， 4 S 13所以面积的值为整数的个数为 10 当 S 12 时，对应的 x 有两个解 8, 4，都在 8 x 0 范围内 所以“使 面积为整数” 的 “好点” P 共有 11 个 图 7 图 7 如图 8平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为 (a, 3)（其中 a 4），射线反比例函数 12图象交于点 P，点 B、 C 分别在函数 12图象上，且 x 轴， y 轴试说明的值是否随 a 的变化而变化？ 图 8解析】如图 8们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚 由于 以 S S 以 B、 C 到距离相等于是 是同底等高的三角形，它们的面积比为 1 图 8 如图 9知扇形 半径为 2，圆心 角 90，点 C 是弧 的一个动点， D， E，求四边形 面积的最大值 图 9解析】如图 9 9矩形 对角线交于点 F，那么 1 为定值 作 H，那么 为 2 为定值，因此当 等时（如图 9 面积最大，最大值为 1所以矩形 面积的最大值为 2 图 9 图 9 图 9 如图 10 ， C 90， 6， 8，设直线 l 与斜边 于点 E，与直角边交于点 F，设 x，是否存在直线 l 同时平分 周长和面积？若存在直线 l，求出 x 的值；若不存在直线 l，请说明理由 图 10 解析 】 先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在 周长为 24，面积为 24 如图 10 F 在 ，假设直线 时平分 周长和面积，那么 x，12 x， 45EG x解方程 14(1 2 ) 1 225 ，得 66x 当 66x A E ， 1 2