数学冲刺第三部分六平面向量

2012考前冲刺数学第3部分【高考预测】1 .向量及其运算2 .平面向量和三角、数列3 .平面向量和平面分析几何4 .解斜三角形5 .向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点相结合6 .平面向量背景下的综合问题【容易弄错眼睛】容易出错的点1向量及其运算1 (2012模拟问题精选)在图6-1、RtABC中已知BC=a，如果2a长度的线段PQ以点a为中点，与的角度取哪个值时.的值最大？ 求出该最大值。【误答】后来有些学生变形了上式，更多的人不知道如何继续该问题是湖北省20典型例题)，在| a|=|b|=3、a和b的角度为45、矢量a b和a b的角度为锐角时，求出实数a的范围.【误答】已知ab=|a|b|cos45=3、ab与a b所成角度为锐角即|a|2 |b|2 (2 1)ab=0，2 9 3(2 1)0时8756； 求解实数范围为在解决该问题时，如果a b和a b之间的角度为0，即(a b)(a b)0包括a b和a b之间的角度为锐角，a b和a b之间的角度为0，并且a b和a b之间的角度为0【正解】已知ab=|a|b|，|b|cos45=3.另外，a b和a b角度为锐角，为8756； (ab)(ab)0和a b(a b ) (其中 k，0 )从(a b) (a b)0获得作为|a|2 |b|2 (2 1)ab0的32 11 30，并求解3.(2012模拟问题精选) o如果满足ABC在某个平面内的一点，则为AOB与AOC的面积之比()A.1 B. D.2【误答】o位于BC周边且AOB与AOC高度相等，为8756； aob与AOC面积之比为2，8756； 选书【误解分析】没有联想能力，经常使用的结论错误是正题的原因，实际上只有o是ABC的重心的情况，正题中没有这样的已知条件【正确答案】(1)如图6-3所示，在AB取点d此外，已知8756； 设o为CD的中点，SAOC=S，则saod=s (2222222222222222222226 )AOB的面积与AOC的面积之比为3:2，选择b【变式探索】1 ABC与以o为中心并且以1为半径的圆内接，并且(一)求答：因为我知道2(2)求出2)ABC面积答案：因为AOB=，AOC=，BOC=，所以与cos=、sin=、saob=|sin=11同样，cos=-、sin=、SAOC=. cos=-、sinr=、SBOC=由于以锐角为钝角，因此不能在aob内部，因此aob、AOC、BOC不相互重叠sabc=saobsaocboc=2已知向量a=(1，1 )，b:(1，0 )，c满足ac=0且|a|=|c|，bc0。(1)求向量c答案：如果设为=(m，n )，则ac=0、m n=0，而且|a|=|c|、m2 n2=2，联立、m=1、n=-1、m=-l、n=1，另外，b、c=1，0 (m，n)=m0.m=1，n=-1，c=(1，-1)(2)设图f:(x，y)(x ，y)=xoyc时，将(x，y )视为点坐标，无论是否存在直线l，以使l中的任意一个点在图f的作用下的点留在直线l上，如果存在，请求直线l的方程式，如果不存在，请说明理由答案：解：若将点a除以，则为=，因此为-=(-)，即设为a-b=(c-d )，(1 )a-b-c=0 (1)为从已知条件下由c=3b-ma世代(1)得到的(1 )a-b-3b ma=0，即(1 m)a-(1 3)b=01000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000解1m=0、13=0、=-、m=2a的比例-，m=2。易错点二平面向量和三角数列1 .设函数f(x)=ab。 在此，a=(2cosx，1 )、b=(cosx，)求出x (2)用向量c=(m，n)(|m|)使函数y=2sin2x图像移位而得到函数y=f(x )的图像，求出实数m，n的值.【误答】(1)根据题目，f(x)=2cos2x为(2)将函数y=2sin2x的图像用向量c=(m，n )移位，得到y=2sin2(x m)-n的图像，即y=f(x )的图像，由(1)得到f(x)=2sin2(x )2.(2012模拟问题精选)已知的I、j分别是x轴、y轴正方向的单位向量(一)求【误答】(1)是已知的【误解分析】向量是现有的方向和大小的量，但是误解中与方向无关，只研究大小，将向量和实数混淆，知识上的错误很多【正确答案】(1)3 .在直角坐标平面中，已知点p1 (1，2 )、p2 (2，22 )、P3 (3，23 )、Pn(n，2n )，其中，n是正整数，对于平面上任意点Ao，A1是关于Ao的点P1的对称点，A2是A1，关于点p2的对称点，、An是An-1(1)求向量的坐标点A2轨迹是函数y=f(x )的图像，f(x )是3周期的周期函数，在x(0，3 )时，f(x)=lgx .求出以曲线c为图像的函数在(1，4 )上的解析式.(3)对于任意偶数n，用n表示矢量的坐标.【特别注意】向量与三角函数、数列的综合主题是实际上将向量作为载体来调查三角函数、数列的知识，求解问题的密钥是利用向量的数积等知识来转换为三角函数、数列的问题，在转换时一般不能将向量与实数混淆，向量与三角函数相结合【变式探索】1如果已知平面向量a=(-1 )，b=，c=a (sin2a-2cosa)b，d=()a (cosa)b，a(o )，cd，就求出cosa .答案：分析： ab=0，|a|2=a2=4，|b|2=b2=1，cd，8756； 已知cd=0，即a (sin2-cos)b。(sin22)a (cos)b=0、sin22 sin2、cos-2cos2=0即(sin2 2cos)(sin2-cos)=0(0，22222222222222222222222222222设2向量a=(cos23，cos67).b=(cos68，cos22 )，c=a tb(tR )，求出|c|的最小值。2222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡b=(-1，0 )或b=(0，-1)(2)在t=(1，0 )且bt，c=(cosA，2cos2)情况下，a、c是ABC的内角，如果三角形的3个内角依次成为等差列，则求出|b c|的能够取得的范围.答案：题意为B=、A C=、bt、t=(1，0，0 )、b=(0，-1)、b C=(cosA，cosC )、| BC|2=cos2cos c2c=1(cos2cos c2c ) 1cos2A cos2(-A)=1 cos(2A )、0A、卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6易错点三平面向量与平面分析几何1.(2012模型的建议)已知椭圆的中心位于原点，且离心率为焦点F(-m，0)(m为大于0的常数)(1)求椭圆的方程式(2)设q为椭圆上一点，通过点f、q的直线l与y轴与点m相交，则求出直线l的倾斜度.【误答】第(2)问题：如果设Q(xo，yo )，直线j的方程式为y=k(x m )，则点M(0，km )可从已知的f、q、m的三点共线得到，且： 因为f(-m，0 )、M(0，km )，所以从得分点坐标式中得到xQ=2.(2012模拟题精选)图6-4，梯形ABCD的底边AB是y轴上，原点o是AB的中点，|AB|=ACBD，m是CD的中点(1)求点m的轨迹方程式(2)对于超过m的AB的垂线，将脚设为n，如果有常数o，则将从p点到a、b的距离之和设为一定，求出点p的轨迹c的方程式。【误答】第(2)题： P(x，y )，M(xo，yo )，N(0，yo )x-xo=-ox，y-yo=o(yo-y )，o=-1。【误解分析】分析不充分，若匆忙设定坐标进行坐标运算，则实际上m、n、p三点共线的纵轴相等，之后求o=-1是错误的。【正确答案】(1)解法1 :设C(x，y )为C(x，-1)即(x，y-1)(x，y 1)=0，x2 y2=1，且x0m的轨迹方程式为：x2 y2=1(x0 )痕迹是将正方形在其下方部分向上折回，每次折回后的点。 落入AD标记为b折痕l和AB与点e相交，m满足关系式(1)建立适当的坐标系，求点m的轨迹方程式(2)如果曲线c关于点m的轨迹和边AB对称的话由曲线构成，f是AB边上一点，通过点f的直线是p、q这两点，且求出实数的可取范围.【误答】第(1)题：将AB的中点作为坐标原点，将AB所在的直线作为y轴来制作正交坐标系时，如果设a (0，1 )、b (0，1 )、E(0，t )、B(xo，1 )，则y=-t，m的轨迹方程式为x=x0，y=-t【误解分析】轨迹方程式的理解不深刻，x=xo，y=-t不是轨迹方程式，其原因是问题的已知条件的发掘不充分，问题中|=|是重要的已知条件(1)将解法1AB所处的直线作为y轴、将ab的中点作为坐标原点，建立图6-6所示那样的正交坐标系，若设其他的a (0，1 )、B(0，-1)、E(0，t )，则在已知的0t1、b至AD上，b (2，1 )为(x，y-t)=(0，-1- t ) (2，1-t )由于四边形ebmb 为菱形，因此从动点m到规定直线AD距离与从m到定点b的距离相等，为8756； m的轨迹以b为焦点，以AD为基准线的抛物线轨迹方程式的一部分为x2=-4y(0x2 )。(2)对于通过结合已知条件(1)而得知的c的方程式，若设x2=-4y (-2x2 )、超过已知的F(0)、f的直线的斜率为k，则方程式为y=，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，x1=-x2，联立直线方程式和c方程式为x2 4kx-2=0，- 2 根据韦达定理，从下一个函数的图像中，从x=-x2得到a2=6，8756； e=【误解分析】和(3，-1)共线不相等，在误解中认为(3，-1)是错误的，共线的比例相等.【正确答案】(1) (前同误解)，与a共线，3 (y1 y2 ) (x1 x2 )=0，8756； 获得3(x1x2-2c)(x1x2)=ox1 x2=c，代入(2)证明： (1)因为a2=3b2，所以椭圆为x2- 32=3b2(x，y )，从已知的(x，y)=(x1，y1) (x2，y2)开始M(x，y )在椭圆上(x1 x2)23(y1 y2)2=3b2即2() 2(x1x2 2y1y2)=3b2.从(1)到x2 x2=2220x1x2 3y1y2=x1 x2 3(x1-c)(x2-c )=4x1x2-3(x1 x2)c 3c2=0另外，代入2 2=1.2 2恒定，值为1 .【特别注意】平面向量与平面分析几何学的结合是高考的热点问题类型，求解这些问题的关键是变换向量关系式，这种变换一般有两种方法：一种是利用向量与向量的几何学意义，将向量关系式变换为几何学性质， 在该变换中必须注意不忽略某些已知条件的第二点是将向量公式变换成坐标满足的关系公式，利用平面解析几何学知识进行运算，该变换是主要的变换方法，值得重视【变式探索】众所周知，在ABC中，a (0，1 )、b (2，4 )、c (6，1 )、p是平面上的任意点，点m、n满足，给出如下相关命题(2)直线MN的方程式为3x 10y-28=0，(3)直线MN必须超过ABC的中心，(4)在起点为a的向量(AC)(R )某个放射线必须超过n，以上的四个选择中正确的是_ (写入正确的选择序号)。(1)如果证书a的横轴为x，b的纵轴为y，则用于计算点P(x，y )的轨迹c的方程式答：答案：题意，A(x，0 )，B(1，y )，如果将=(x，0 )，=(1，y )代入=0，则(2)作为2)d(0，-1)，在所述轨迹上是否存在m、n这2点. 满足|=|且直线MN不与y轴平行情况下，求出MN存在的直线的y轴上的切片的可取范围，在不存在的情况下，说明处理.3已知点f (1，0 )、直线l:x=2、从可动点p到直线l距离为d、已知|PF|=(1)求动点门的轨迹方程式答案：以P(x，y )、=1、p的轨迹为焦点，将l:x=2设为与瞄准线对应的椭圆.且=-c=1，a=，c=1，b=1.另外，a=，c=1，b=1.另外，d22222