金融数学习题

第一章 简单市场模型考虑单时段情形。假设股票、债券在期初的价格分别为S(0)和A(0)，在期末的价格分别为S(1)和A(1)，资产组合在期初和期末的价值分别为V(0)和V(1)。1.股票在该时段的收益率为= ，债券在该时段的收益率为= ，若采用对数收益率表示，则相应的股票和债券的对数收益率分别为= 和= 。（列式即可）2. 设资产组合在该时段的股数和债券份数分别为x,y，则V(0)= ，V(1)= ，组合的收益率为= 。（列式即可）3假设A(0)=90元，A(1)=100元，S(0)=25元，且假设，式中0p1。资产组合有x=10股股票，y=15份债券构成，计算V(0),V(1)和。4. 2009年7月19日，纽约的交易商A和伦敦的交易商B利用如下汇率交易欧元、英镑和美元： 交易商A 买入 卖出1.0000欧元 1.0202美元 1.0284美元 1.0000英镑 1.5718美元 1.5844美元 交易商B 买入 卖出1.0000欧元 0.6324英镑 0.6401英镑 1.0000美元 0.6299英镑 0.6375英镑 试给出一个没有任何初始投资的投资者获取无风险利润的机会。第二章 无风险资产2.1.某人在未来15 年中每年年初存入银行20 000 元。前 5 年的年利率为5.2%，中间5 年的年利率下调至3.3%，后 5 年由于通货膨胀率的提高，年 利率上调至8.3%。则 第15 年年末时这笔存款的积累值为（ ）元。(A) 496 786 (B) 497 923 (C) 500 010 (D) 501 036 (E) 502 1092.2已知在未来三年中，银 行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第 二年按计息四次的名义年利率12%计息，第 三年的实际年利率为6.5%。某 人为了在第三年末得到一笔10 000元的款项，第 一年年初需要存入银行（ ）元。(A) 7 356 (B) 7 367 (C) 7 567 (D) 7 576 (E) 7 6572.3.将9000元存入银行账户2个月(61天)，按单利计算，期 末终值9020元。计 算利率r和这个投资的收益率。2.4.如果存款按年复合计息，10年以后可以翻翻，则 利率是多少？2.5.假设存在一个承诺一年以后支付110元的凭证，现 在可以买入或卖出该凭证，也可以在本年期间任意时间以100元买卖，在按年复合之下，与 常数利率10%一致。如 果一个投资者决定买入该凭证，半年以后卖出，卖出的合理价格是多少？2.6.投资者支付95元买入面值100元、6个月到期的债券，如 果利率保持不变，问何时债券的价值达到99元？2.7.假设债券的面值F=100元，年 息票C=8元，期 限T=4年，按面值交易，计 算隐含连续复合利率。2.8.已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为(3t+1)元，在 基金B中投资1元到3t时的积累值为( )元。假 设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则 0时刻在基金B中投资1000元在5T时的积累值达到多少？第三章 风险资产1.考虑以下资产的期望收益率和标准差：市场条件收益%概率好161/4一般121/2差81/42.假设时段取值为3个月，即 收益率K(1), K(2), K(3), K(4)独立同分布。当 前3个季度的期望收益率E(K(0,3)为12%时，计 算季度期望收益率E(K(1)和年期望收益率E(K(0,4)。3假设在连续复合之下，无 风险年收益率为14%,时段 为一个月，S(0)=22元，d=-0.01,如无风险单期收益率r满足dru,计算S(2)的取值或取值范围。4.假设r=0.05,给定S(2)=110元，则 S(3)的风险中性条件期望是多少？5.下表是A、B两个公司7个月的实际股价和股价数据，单 位为元。证券A证券B时间价格股利价格股利1333236831.35453866590.7251.3573921）计算每个公司每月的收益率。2）计算每个公司的平均收益率。3）计算每个公司收益率的标准差。4）计算两证券之间的相关系数。第四章 离散时间市场模型4.1.考虑一种具有无风险资产和一种风险资产的市场， 无风险资产的价格为A(0)=100元，A(1)=110元，A(2)=121元,风险资产的价格有以下三种可能的状况：下述情况是否存在套利机会？(a) 不存在卖空限制；(b) 风险资产不允许卖空。4.2.假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但 组合中每种资产的数量必须是整数，是否存在套利策略？4.3. 假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但 在交易时交易成本是交易额的5%,是否存在套利策略？4.4 解释股票的买空卖空含义，并 简单解释其原理。4.5 证明下面结论：当 且仅当dr Pe B. Pa Pe CPa= Pe D.不能确定7.2. 某投资者对未来市场看涨，那 么对于市场指数期权，对投资人最有利的投资策略应是（ ）。(A) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限但执行价更高的欧式看涨期权(B) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限但执行价更低的欧式看涨期权(C) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限同执行价的欧式看跌期权(D) 买入一个欧式看涨期权，买 入一个同期限同执行价的欧式看跌期权(E) 以上均不正确7.3.假设欧式看涨期权的施权价为90元，6个月后施权，施 权日的股票价格可能为87元、92元或者97元，概率各为1/3.如果期权利用9%的连续复合贷款融资，以 8元的价格购买，计算这个看涨期权的持有者的期望收益(或损失)。7.4.假设股票不支付红利，以 每股15.6元交易，在3个月以后施权的施权价为15元的欧式看涨期权价格为2.83元。按r=6.72%利率连续复合。计算具有相同施权价和施权日的欧式看跌期权价格。7.5. 施权价为90元，6个月后施权的欧式看涨期权和看跌期权分别以5.09元和7.78元交易；标的股票价格为20.37元，连续复合利率为7.48%，计 算套利机会。7.6. 美国的德国汽车进口商想签订半年的远期合约买入欧元，: 投资美元和欧元的利率分别为 和 ，现在汇率的价格是0.9834欧元兑换1美元。计算6个月后施权的欧式看涨期权和看跌期权的施权价，使得 。第八章 期权定价8.1 假设卖出股票需要支付一定金额的交易成本，% 买入则不需要交易成本。设S(0)=100元，在二叉树模型中，u=0.1，d=-0.1，r=0.05，交 易成本c=2%，计 算买入欧式看涨期权的期权价格。8.2设S(0)=75元，u=0.1，d=-0.1，假 设借款利率是12%，存 款利率是8%，在二叉树模型中，分 别计算买入欧式看涨期权和看跌期权的期权价格。8.3 假设欧式看跌期权和美式看跌期权的施权价X=14元，在 时间2到期。S(0)=12元，在 二叉树模型中，u=0.1，d=-0.05，r=0.02，在 时间1支付红利2元。计 算