重庆第一中学校高三数学月考理

重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学（理）试题第卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，B的补集，找出A补集与补集的交集即可【详解】全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合，集合B2，4，6，8，（UA）5，6，7，8，（UB）1，3，5，7，（UA）（UB）5，7，故选：A【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a60 且2a+30，求出a 值，可得复数z的虚部【详解】复数 为纯虚数，a60 且2a+30，a6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选：C【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题3.实数数列为等比数列，则等于（ ）A. B. 4C. 2D. 或4【答案】B【解析】【分析】由实数数列是等比数列，可得q38，利用等比数列通项公式即可求出的值【详解】实数数列是等比数列， q38，q=2，a21故选B【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础4.某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可【详解】几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：该几何体的体积为23222=，故选：B【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了球体与锥体的体积公式，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（ ）A. 12B. 6C. 3D. 1【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【详解】由a15，b18，不满足ab，则b变为18153，由ba，则a变为15312，由ba，则a变为1239，由ba，则a变为936，由ba，则a变为633，由ab3，则输出的a3故选：C【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题6.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，是在内的射影，则C. 若是平面的一条斜线，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数的值域为R，等价于真数a能取遍一切正实数，由a0时，显然成立，a0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围【详解】若函数的值域为R，故函数yax2+2x+a能取遍所有的正数当a0时符合条件；当a0时，应有44a20，解得-1a1，故00,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为34+214，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数的周期性及奇偶性的应用，考查了函数的零点与函数图象和性质的综合应用，数形结合是解决函数零点问题的常用方法，属于中档题11.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法种数为=，（黑黑白白）的取法种数为=，（黑白黑白）的取法种数为=，综上共有，故选A.【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用12.若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（ ）组？A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.【详解】，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，且+=2，不妨设，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,两条切线距离为d=,化简得=1+9，令，显然u=1为一解，又-8u+10=0有两个异于1的正根，这样的u有3解，而，且+=2，即与是一一对应的，这样的，有3组，故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.二.填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx62r令62r0解得r3，（-1）320，所以常数项为-20故答案为：-20【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题14.已知实数满足，则的最大值是_.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域如图，由z3x+y，得y3x+z，平移直线y3x+z，由图象可知当直线y3x+z，过点A时，直线y3x+z的截距最大，代入得6，此时z最大为6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15.的内角的对边分别为，已知，_.【答案】【解析】【分析】由cos（AC）+cosBcos（AC）cos（A+C）1，可得sinAsinC，由a2c及正弦定理可得sinA2sinC，联解得到sinC的值，从而得到角C的大小【详解】由B（A+C）可得cosBcos（A+C）cos（AC）+cosBcos（AC）cos（A+C）2sinAsinC1sinAsinC由可得，得到2sin(A+B)=sinA，即2sinC=sinA，由正弦定理可得可得a2c，联解可得，sin2C0C，sinC结合a2c即ac，得C为锐角，C故答案为【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，合理选择公式是解题的关键，属于中档题16.直线与圆相交于两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】取MN的中点A，连接OA，则OAMN算出OA1，得到AON，可得MON，计算出的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得24cosAOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围【详解】取MN的中点A，连接OA，则OAMN，c2a2+b2，O点到直线MN的距离OA1，x2+y24的半径r2，RtAON中，设AON，得cos，得=，cosMONcos2，由此可得，|cosMON22（）2，则（）（）2（）2+4222|cosAOP24cosAOP，当，同向时，取得最小值且为242，当，反向时，取得最大值且为2+46则的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中档题三.解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知数列的前项和满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分n1与n2讨论，即可求通项公式；（2）化简可得利用裂项求和法求解【详解】（1）令，当时，两式作差可得，又n=1时满足，综上，.（2），=.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于基础题18.为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图）.（1）估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.求；若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间的人数为，试求.参数数据：，若，.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（2）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8X8.3）；由知位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案【详解】（1）,+.（2）由（1）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且2.5，P（0.8X8.3）0.8186；依题意服从二项分布，即，.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了二项分布、正态分布的知识，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题19.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点，分别线段，上一点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出EFPA，根据中位线定理推导出OGPA，从而EFOG，由此能证明EF平面BDG（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）设交于点，在中，所以，连结AC，交BD于点O，连结OG，分别为的中点，所以，故，平面，平面；（2），取中点，分别以为轴建立如图所示的坐标系，设平面的法向量为，由，可得，所求线面角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间向量法的合理运用20.已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设出A，B点坐标，代入椭圆方程作差并整理，则可求出的值（2）设（），先计算有一条直线斜率不存在对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出B，D坐标，化简斜率得出结论【详解】（1）设，将，作差可得，所以；（2）设（），当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得，则，直线的斜率为，直线的斜率为，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线，的斜率存在时，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，则，设直线的方程为，同理可得直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与的斜率之积为定值，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的应用，考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题21.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式构造函数，通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性及极值，求出满足条件的实数a的取值范围（2）求出x1x2，只需证明，不妨设x1x2，只需证明，令t（t1），原不等式转化为lnt，结合（1）利用不等式的传递性证明即可【详解】（1）令，令，当时，且对称轴，所以当时，在上单调递增，所以恒成立，当时，可知必存在区间，使得，当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上；（2），令在有两个不同的零点，若，则，不合题意；若，设两个零点分别为，则，可得， 要证，即证，即证，即证，即证，即证，令，即证由（1）可得时，只需证，即证，故原不等式得证.【点睛】本题考查函数的单调性以及函数最值的求法，考查了不等式的证明，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大请考生在22.23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程，以及的取值范围；（