2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算一、选择题1.=（ ）A. B. C. D【分值】5分【答案】D【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。【考查方向】求定积分【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。【解析】=2.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A、 B、 C、2 D、4【分值】5分【答案】D【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数.【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.【解析】由，得交点为，所以，故选D.3. dx=（ ） A. B. C. D.【分值】5分【答案】A【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型.【考查方向】求定积分【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。【解析】设y=,即(x-2)2+y2=16(y0).dx表示以4为半径的圆的四分之一面积.dx=.4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v3t21(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A追上赛车B所用的时间t(s)为()A3 B4 C5 D6【分值】5分【答案】A【易错点】将问题转化为定积分的理解【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，然后应用“物体从时刻ta到tb(ab)所经过的路程为sv(t)dt”求解定积分问题.【解析】因为赛车A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，赛车B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25(t5)(t21)0，即t5.5.如图，阴影部分的面积为()A9 BC D【分值】5分【答案】C【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式，以x为变量设定，被积函数即为y=x2x2,然后求定积分。【解析】由求得两曲线交点为A(2，4)，B(1，1)结合图形可知阴影部分的面积为Sx2(x2)dx(x2x2) dx所以选C.二、填空题6._【分值】5分【答案】0【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。【考查方向】本题主要考查了定积分的求解。【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算，然后计算函数值的增量。【解析】7.设f(x)(e为自然对数的底数)，则_【分值】5分【答案】e【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和【考查方向】本题主要考查了分段函数定积分的求解。【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算，然后分别计算函数值的增量。【解析】=e-1lnee.8.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_.【分值】5分【答案】0【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。【解题思路】先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解【解析】由已知得，所以，所以.三、解答题9.已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，(x)dx2，求a，b，c的值【分值】10分【答案】a6，b0，c4【易错点】定积分与导数逆运算的关系【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。【解题思路】根据题设条件，列出方程组，求出a，b，c.【解析】由f(1)2，得abc2.因为f(x)2axb，所以f(0)b0.又因为f(x)dx(ax2bxc)dx0abc，所以abc2.联立，解得a6，b0，c4.10.已知两抛物线yx22x，yx2，以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能构建一正方形，设两抛物线所围成的图形区域为M，则某人向该正方形区域内撒一粒黄豆，求黄豆能落在M内的概率【分值】10分【答案】【易错点】注意应用定积分求面积，构建几何概型的几何测度。【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义及运算，几何概型。【解题思路】求出两抛物线的交点，画出图象，利用定积