湖南长沙雅礼中学高三数学上学期月考七文

雅礼中学2019届高三月考试卷（七）数学（文科）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，全集，则集合中的元素共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】【分析】利用交集与并集定义先求与，再利用补集定义求.【详解】由题意得，所以故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A、B中的公共元素、所有元素、的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.2.若复数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的四则运算，将复数化成的形式，再利用共轭复数的定义可得答案.【详解】，.故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.3.已知：，：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解不等式，求出和对应的不等式，再根据是的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.【详解】是的充分不必要条件的等价命题为是的充分不必要条件，即，而，化简为或，所以当时，.故选A.【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可.4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：-2.00-1.0001.002.003.000.240.5112.023.988.02则、的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中、为待定系数）（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可以逐一验证,若选A，则y的值增加幅度应比较接近；若选C，则x=1,-1的值应比较接近；若选D，则x=0不可取.【详解】对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，A不成立；是偶函数，的函数值应该相等，C不成立；时，无意义，D不成立；对于B，当时，；当时，经验证它与各教据比较接近.故选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.5.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,所以三棱柱的高为4,设底面边长为a,则,7.若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（ ）A. B. 0C. 钝角D. 锐角【答案】C【解析】【分析】求出f（x）的导数，斜率k=，再根据三角函数值的符号，结合直线的斜率与倾斜角的关系，判断倾斜角为钝角.【详解】由于，所以，则此函数的图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为钝角.故选C.【点睛】本题考查了运用导数切线的倾斜角，考查了三角函数的化简和性质，考查了直线的斜率与倾斜角的关系；已知切点求切线的斜率k，即求在该点处的导数值.8.在中，已知是边上一点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的减法将3，进行分解，然后根据条件，进行对比即可得到结论【详解】3，33，即43，则，故选：B【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键9.函数的最小正周期和最小值分别是（ ）A. ，0B. ，0C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】首先利用倍角公式,再利用两角和与差的正余弦公式将化为正弦型（或余弦型）函数，利用正弦型（或余弦型）函数的性质求函数的的周期和最值.【详解】，最小正周期为，当时，取得最小值为.故选C.【点睛】由正弦函数的性质可得正弦型函数（，A0）的周期为，最大值、最小值分别为A+B，-A+B.10.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，因此。故选C。11.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍然以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：；. 其中正确式子的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合图形，比较椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值是否相同,离心率是否相同，即可进行判定.【详解】对于，因为椭圆中的是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以，所以错误；对于，因为椭圆中的是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以，所以正确；对于，因为由图可以看出椭圆比的离心率大，所以是错误的，正确.故选B.【点睛】由椭圆上一点到其左焦点F的距离，得椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值分别为a+c、a-c,而椭圆离心率的大小反映椭圆的扁平程度.12.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数为奇函数及确定的周期为 ，再利用周期性和函数的单调性判断选项.【详解】因为满足，所以，所以定义在上的奇函数是以8为周期的周期函数，则，而由得，又因为在区间上是增函数，所以，即.故选D.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,由函数的周期性将所给函数值转化到所给范围内的函数值.若函数满足（a0），则的周期为T=2a.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.变量、满足，设，则的最大值为_【答案】14【解析】【分析】作出约束条件对应的可行域，变动目标函数对应的直线，确定经过可行域上点时z取得最大值.【详解】由约束条件，作出的可行域如图所示，由，得.当直线过点时，最小，最大.由，解得，.故答案为14.【点睛】线性规划问题一般用图解法：作出约束条件对应的可行域，找到目标函数的几何意义，判断目标函数对应的图形经过可行域上哪一点时z取得最大（小）值，求出最优解，得目标函数的最大（小）值.14.定义在上的偶函数在上递增，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用偶函数条件将不等式化为，再利用函数在上的单调性化简，解出x的范围.【详解】由题意可得：，在上递增，于是，解得的取值范围是.故答案为.【点睛】本题考查抽象函数性质综合及不等式的求解问题，其中掌握函数基本性质是解决此类问题的关键，着重考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.15.直线与圆：交于、两点，则的面积为_【答案】【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式求C到直线EF的距离，再由勾股定理求得EF的长，最后利用三角形的面积公式计算ECF的面积.【详解】圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离，所以，所以，故答案为.【点睛】直线和圆相交求面积问题，首先利用几何法求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出直线被圆截得的弦长公式，最后利用三角形的面积公式求得面积.16.在中，角，所对的边分别为，若，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】利用余弦定理将及化为三角形边的关系，可得，再利用基本不等式可得最小值.【详解】根据题意，由余弦定理得，得，依据正弦定理：，当且仅当时取等号，综上所述，答案为2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件 “一正”“二定”“三相等”.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前项和为，且向量，共线.（1）求证：数列是等差数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】【分析】（1）首先利用向量共线可得，再利用即可求得通项；（2），再利用累加法求出.【详解】（1）证明：，共线，.，当时，又满足此式，.为常数，数列是首项为1，公差为的等差数列.（2），.【点睛】由数列的前项和求时，利用，注意验证与的式子能否统一，裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.18.如图所示，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于，的任意一点，.（1）求证：平面.（2）求三棱锥的体积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由点在圆周上可得，再证明，即可证明；（2）设，建立三棱锥的体积关于AC长的函数，再利用二次函数即可求相应函数的最大值.【详解】（1）是底面圆周上异于，的任意一点，且是圆柱底面圆的直径，.平面，平面，.，平面，平面，平面.（2）设，在中，故，即.，当，即时，三棱锥的体积最大，最大值为.【点睛】利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是判断直线与平面内的两条相交直线垂直，求某个量的最值一般建立其关于另一变量（或几个变量）的函数关系，结合函数的单调性即可求得最值.19.雅礼中学研究性学习课题小组针对长沙市工薪阶层对“长沙市楼市限购令”的态度进行调查，随机调查了50位市民，他们月收入频数分布表，以及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入（单位：百元）频数510151055赞成人数4812521（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）及列联表；月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成不赞成合计（2）若从月收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由所给数据计算各组频率，再计算频率除以组距，作频率分布直方图；（2）列出从5人（其中4人赞同，1人不赞同）取出2人的所有基本事件，找到其中恰有一人不赞同的基本事件数，计算其概率.【详解】（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32不赞成18合计104050（2）设月收入（单位：百元）在的被调查者中赞成的分别是，不赞成的是，从中选出两人的所有结果有：，其中选中的有：，.所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有补充列联表，作频率分布直方图，古典概型，熟练掌握基础知识是解题的关键.20.已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为，又在椭圆上，所以，解方程组得，（2）先确定面积计算方法：，再确定计算方向：设，根据两点间距离公式求，根据两直线交点求点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长，最后根据表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）试题解析：（1）因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2） 由（1）可知，设，则当时，所以，直线的方程为，即，由得，则，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，所以当时，.点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.21.已知.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在极值且，求实数的取值范围；（3）求证：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）对求导，判断何时大于0，何时小于0.（2）由0在恒成立，所以，利用（1）确定的最小值，建立关于a的不等式.（3）要证不等式在x1成立，即证在x1成立，即证，对F（x）求导，求F(x)的极小值，再确定F(x)的最小值.【详解】（1），若时，恒成立，函数的单调增区间为，无单调减区间.若时，令，得，函数的单调增区间为，减区间为.（2）存在极值，由（1）知,又，.（3）设，故，.，.在上为增函数.又在上连续，在上恒成立.故当时，.【点睛】判断函数的单调性可利用导数，对求导，判断在=0的解的左右两侧的导数的正负，确定函数的单调区间.不等式恒成立问题一般先考虑转化为函数的最值问题，先求相应函数的最值，得所求参数的范围或不等式.（二）选考题：共10分.请考生在2