山东高三数学模拟训练理

山东省2019年高三4月模拟训练数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以 ，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A.的虚部为B. C. 为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i，z的虚部为1，|z|=2，z2（1i）22i为纯虚数，z的共轭复数为1+i，故选：AC【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.已知函数f(x)=log2x,1x2, 0x1x1，则f(f(2)=（ ）A. 2B. 2C. 1D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算出f(2)的值，即可求出结果.【详解】因为f(x)=log2x,1x2, 0x1x1，所以f2=140,0,0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y=12x,MF1MF2=4，点N在圆x2+y24y=0上，则MN+MF1的最小值为( )A. 2+7B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值【详解】由题意可得2a4，即a2，渐近线方程为y12x，即有ba=12，即b1，可得双曲线方程为x24-y21，焦点为F1（-5，0），F2，（5，0），由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|，由圆x2+y24y0可得圆心C（0，2），半径r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|=4+5=3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+325故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题12.已知函数fx=lnx,0x2,f4x,2x4，若方程fx=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4x1x2x30焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若FMMN=55，则p的值等于_【答案】2【解析】【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a【详解】依题意F点的坐标为（p2，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|MK|，|FM|MN|=55，则|KN|：|KM|2：1，kFN=0-2p2-0=-4p，-4p=-2，求得p2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决16.已知fn表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f12=3;21的因数有1,3,7,21，则f21=21，那么i=5f100fii=f50fi=_【答案】1656【解析】【分析】f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，可得f（n）f（2n），且n为奇数时，f（n）n，其中n1，100；f（n）maxf（99）99，f（n）minf（64）f（2）f（4）f（8）f（16）f（32）1；进而得出【详解】f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，f（n）f（2n），且n为奇数时，f（n）n，其中n1，100；f（n）maxf（99）99，f（n）minf（64）f（2）f（4）f（8）f（16）f（32）1；那么i=51100f(i)=f（51）+f（52）+f（53）+f（100）51+13+53+27+55+7+57+29+59+15+61+31+63+1+65+33+67+17+69+35+71+9+73+37+75+19+77+39+79+5+81+41+83+21+85+43+87+11+89+45+91+23+93+47+95+3+97+49+99+251+3+5+7+9+11+99=50(1+99)2 2500那么i=150f(i)=1+1+3+1+5+3+7+1+9+5+11+3+13+7+15+1+17+9+19+5+21+11+23+3+25+13+27+7+29+15+31+1+49+25（1+3+5+29+31+49）+（4+9+10+14+9+11+13+15+1+17+9+19+5+21+11+23+1+25）=25(1+49)2+219844那么i=51100f(i)-i=150f(i)=25008441656故答案为：1656【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列的通项公式求和公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且满足a=2bsinC+4.（1）求角B；（2）求2sinAsinC的取值范围.【答案】（1）B=4；（2）22,1.【解析】【分析】（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cosBsinCsinCsinB，结合sinC0，可求cosBsinB，结合范围0B，可求B的值；（2）由B=4，利用三角函数恒等变换的应用可求2sinAsinCcosC，由范围0C34，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围【详解】（1）由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB因为：sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC故cosBsinC=sinCsinB因为sinC0，所以cosB=sinB因为0B，所以B=4（2）因为B=4，所以y=2sinA-sinC= 2sin34-C-sinC=cosC又因为0Cb0的左、右焦点分别为F11,0,F21,0，且椭圆上存在一点M，满足MF1=145,F1F2M=120.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点F2的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，求F1AB的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）x24+y23=1；（2）34.【解析】【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2a2c23，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设F1AB的内切圆的半径为R，表示出F1AB的周长与面积，设直线l的方程为xmy+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t=m2+1，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解F1AB内切圆半径的最大值为34【详解】（1）设F2M=x，则F1F2M内，由余弦定理得22+x2-22xcos120=1452，化简得x+165x-65=0，解得x=65故2a=MF1+MF2=4,a=2，得b2=a2-c2=3所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，设F1AB得内切圆半径为F1AB的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8所以SF1AB=124ar=4r根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为x=my+1由x24+y23x=my+1得3m2+4y2+6my-9=0=6m2+363m2+4y20,mR由韦达定理得y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4SF1AB=12F1F2y1-y2=y1-y2 =y1+y22-4y1y2=12m2+13m2+4令t=m2+1，则t1,SF1AB=12t3t2+1=4t+13t令ft=t+13t，则t1时，ft=1-13t20,ft单调递增，ftf1=43,SF1AB3即当t=1,m=0时，SF1AB的最大值为3，此时rmax=34.故当直线的方程为x=1时，F1AB内圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20.某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表并以此估计赔付概率：工种类别ABC赔付频率110521051104已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元(1)求保险公司在该业务所或利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议【答案】()详见解析；() 方案2【解析】试题分析：（）设工种A,B,C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X,Y,Z，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（）分别求出方案1和方案2中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论试题解析：（）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X2525-100104P1-11051105Y2525-100104P1-21052105Z4040-50104P1-11041104保险公司的期望收益为E(X)=25(1-1105)+(25-100104)1105=15；E(Y)=25(1-2105)+(25-100104)2105=5；E(Z)=40(1-1104)+(40-50104)1104=-10； 保险公司的利润的期望值为12000E(X)+6000E(Y)+2000E(Z)-100000=90000，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元（）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：120001001041105+60001001042105+2000501041104+12104=46104，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：(1200025+600025+200040)0.7=37.1104，4610437.1104，故建议企业选择方案221.已知函数fx=ax1ex+x2.（1）当a=1时，求函数fx的极值；（2）证明：当a0时，fxlnax1+x2+x+1.【答案】（1）fx在x=0处取得极小值为f0=1，无极大值；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当a1时，f（x）（x1）ex+x2f（x）xex+2xx（ex+2），令f（x）0，解得x即可得出极值；（2）令h（x）f（x）ln（ax1）x2x1（ax1）exln（ax1）x1x1ah（x）（ax1+a）ex-aax-1-1（ax1+a）（ex-1ax-1）令u（x）ex-1ax-1，利用导数研究其单调性极值即可得出【详解】（1）当a=1时，fx=x-1ex+x2fx=ex+x-1ex+2x=xex+2x令fx=0得x=0当x-,0时，fx0,fx单调递增；所以fx在x=0处取得极小值为f0=-1，无极大值.（2）设hx=fx-lnax-1-x2-x-1 =ax-1ex-lnax-1-x-1则hx=exax-1+aex-aax-1-1 =ax-1+aex-1ax-1a0,ax-10,ax-1+a0设ux=ex-1ax-1，则ux=ex+aax-120ux在区间1a,+上单调递增又u2a=e2a-10，当1ax2a时，exea2，由ea21ax-1，解得x1a1+e-2a，当1ax1a1+e-2a时， ux0，故ux有唯一零点x0当1axx0时，hxx0时，hx0且ex0=1ax0-1,hxhx0 =ax0-1ex0-lnax0-1-x0-1 =1-lne-x0-x0-1=0当a0时，fxlnax-1+x2+x+1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h(x)=f(x)-g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为x=1+tcosy=3+tsin，(为参数，为直线的倾斜角)，点P和F的坐标分别为1,3和1,0；以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cossin2.(1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设直线与曲线C交于A、B两点，且PAPB=2PF2，求的值.【答案】（1）y2=4x；（2）=34.【解析】【分析】（1）两边同乘，利用互化公式可得；（2）利用参数的几何意义可得PAPB=PAPB=t1t2【详解】（1）由=4cossin2，得2sin2=4cos，即y2=4x所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x（2）将x=-1+tcos,y=3+tsin,代入y2=4x得，t2sin2+6sin-4cost+13 =0sin20由题意，得=6sin-4cos2-413sin20*设A,B