专题--图形的相似----第二讲：相似多边形与相似三角形的判定

专题 图形的相似第二讲：相似多边形与相似三角形的判定一、相似多边形知识点1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形， 相似多边形对应边的比叫做相似比。知识点2、相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例； 相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。 判断两个多边形相似，这三个条件缺一不可。【例题解析】 例1、下列判断中正确的是（ ）A、 两个矩形一定相似 B、两个平行四边形一定相似C、两个正方形一定相似 D、两个菱形一定相似例2、如图ABCDCA，ADBC，B=DCA（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6求AD、DC的长 例3、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺1:400）的长和宽分别为3cm和2cm，该厂所用原料是边长为4m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形钢板要用几块边长为4m的正方形钢板才行？例4、如图所示，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长和宽之比为（ ）A、2:1 B、4:1 C、 D、1:2二、相似三角形的判定知识点1、相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如图所示：ABC与相似，记做ABC，其中,k为相似比。注意：（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：ABC，它们的相似比为k，则；如果写成ABC，它们的相似比为,则,因此 （3）传递性：若ABC，则ABC。知识点2、相似三角形的判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似。 即：已知ABC和，若A=A，B=B，则ABC。 注意：（1）在两个三角形中，只需找到有两组角分别相等，就可以判定两个三角形相似； （2）这种方法说明我们不用边就可以判定两个三角形相似。 相似三角形常见构图方式： （1）平行线型：若DEBC，则（2） 相交线型：若AED=B，则 （3）“子母”型：若ACD=B，则知识点3、相似三角形的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 即：已知ABC和，若,A=A，则ABC。 注意：通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的“SAS”。知识点4、相似三角形的判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。 即：已知ABC和，若，则ABC。注意：通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的“SSS”。知识点5、黄金分割：如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若,那么就称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。注意：（1）由黄金分割的意义可知：; （2）黄金比（推到过程） 【例题解析】 例1、依据下列条件判断三角形是否相似，若相似请给出证明，若不相似请说明理由：（1） ABC和中，A=40，AB=8，AC=15，A=40，AB=16，AC=30，则ABC和是否相似？（2） ABC和中，B=50，AB=4，AC=3.2，B=50，AB=2，AC=1.6，则ABC和是否相似？ （3） 如图所示，已知AC和BD相交于点E，CEAE=BEDE,则ABE与DCE是否相似？ 第（3）题图 第（4）题图（4） 如图所示，D是ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，ABD与CBA是否相似？例2、已知在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP例3、已知DEBC，DFAC，AD=4，BD=8，DE=5，求线段BF的长。例4、ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E。 （1）求证：ABDCED； （2）若AB=6，AD=2CD,求BE的长。例5、已知在ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DEBC，EFAB，且AD：DB=3:5，那么CF：CB等于 。例6、ABC为等边三角形，D,E分别是AC,BC上的点（不与顶点重合），BDE=60.(1)求证：DECBDA；(2)若等边三角形的边长为4，并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式。例6、在ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，那么经过几秒PQC与ABC相似？【巩固练习】基础题知识点1相似多边形1 如图，在下面的三个矩形中，相似的是() A甲、乙和丙 B甲和乙 C甲和丙 D乙和丙知识点2相似多边形的性质2. 如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么A与放大镜中的C的大小关系是() AAC BAC CAC D无法比较 第2题图 第4题图知识点3相似三角形的概念3. 下列说法中，错误的是()A两个全等的三角形一定相似 B两个钝角三角形一定相似C两个等边三角形一定相似 D相似的两个三角形不一定全等知识点4两角分别相等的两个三角形相似4. 如图，E是矩形ABCD的AB边上任意一点，F是AD边上一点，EFC90，图中一定相似的三角形是()A与 B与 C与 D与知识点5两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5. 如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是78方格纸中的格点，为使DEMABC，则点M应是F，G，H，K四点中的() AF BG来源:Z#xx#k. ComCH 来源 :学科DK 第5题图 第6题图知识点6三边成比例判定两个三角形相似6. 如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是() A和 B和 C和 D和知识点7黄金分割的概念7. 下列说法正确的是()A每条线段有且仅有一个黄金分割点B黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C若点C把线段AB黄金分割，则AC2ABBC D以上说法都不对知识点8黄金分割的应用8. 乐器上的一根琴弦AB60厘米，两个端点A，B固定在乐器版面上，支撑点C是AB的黄金分割点(ACBC)，则AC的长为() A(9030)厘米 B(3030)厘米 C(3030)厘米 D(3060)厘米【中档题】9. 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为23，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为54，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为()A56 B65 C56或65 D81510. 如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有()A0对 B1对 C2对 D3对 第10题图 第11题图 第12题图11. 如图，ACBADC90，BCa，ACb，ABc，要使ABCCAD，只要CD等于()A. B. C. D.12.如图，在84的矩形网格中，网格中小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与ABC相似的三角形是() AACD BADF CBDF DCDE13. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体若舞台AB长为20 m，试计算主持人应走到离A点至少_m处(结果精确到0.1 m)较恰当，若主持人向B点再走_m，也处在比较得体的位置(结果精确到0.1 m，2.236)【综合题】14. 如图，An系列矩形纸张的规格特征是：各矩形纸张都相似；A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，An纸对裁后可以得到两张An1纸.A1A2A3(1)填空：A1纸面积是A2纸面积的_倍，A2纸周长是A4纸周长的_倍；(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比；(3)设A1纸张的质量为a克，试求出A8纸张的质量(用含a的代数式表示)15. 在ABC中，C90.(1)如图1，P是AC上的点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似例如：过点P作PDBC交AB于D，则截得的ADP与ABC相似请你在图中画出所有满足条件的直线；(2)如图2，Q是