误差理论与数据处理-第五章PPT课件

,1、最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。该方法可解决2、最小二乘法按处理方法不同分,第五章线性参数的最小二乘法处理,5-1最小二乘法原理一、最小二乘法基本思路1、引例利用最小二乘法求标准米尺温度膨胀系数的例子米尺长度的米尺长度米尺温度膨胀系数测定方法：在不同温度条件下测出一系列值，在据以求,令，于是或式中：L,a,b,c为可测量和经简单计算即可知的量(已知量)x，y为待求量2、设L和t各测取几个值，当已知可得相应的条件方程组(或称测量方程组),3、方程组特点分析方程组有2个(x,y)未知数(一般可为m个)a)n=m，方程有唯一解；b)nm，则任选其中m个方程式，即可求m个未知量。,分析：对c)种情况，若取值绝对精确(不论测多少组，结果不变)，则所求解也将唯一，即代入其余n-m方程式中均可满足。然而,由于测量误差存在，把解代入n-m个式中，并不满足只是当nm的情况下，可以找出一组最佳或最恰当解。将其代入个方程式后，虽不能使但却是与零相差很微小的v值(可称残差)。从方程组整体上看，这一组解可以是误差组最小的唯一解。,条件,4)考虑测量误差后：直接测量值的估计量测量数据,如得到一组最佳解，条件为：方程式残余误差的平方和为最小。即即是说，另取一组解，其这就是最小二乘法思想。2.基本表示方法：设直接量的估计量分别为有：,测量数据的残余误差为：,即：误差方程，或残余误差方程式（简称残差方程式）根据最大或然原理可推出一组最佳取值的条件为：最小二乘法原理(保证概率密度P最大),说明：1)对于不等精度测量时：将不等精度问题化为等精度时，引入权有：则上式为2)应用最小二乘法时，误差数据必须是a)无偏的，即无系统误差消除系统b)相互独立的，即服从正态分布前提条件,二、最小二乘法的基本运算(残差的代数与矩阵表示法)最小二乘法用于1、线性函数的最小二乘法(介绍等精度)-代数法线性参数测量方法的一般形式：,相应估计量为：对应误差方程为：,2、借助矩阵形式求解或表示清晰(矩阵形式)设列向量,阶矩阵()为,式中各矩阵元素：为n个直接测量结果(已获测量数据)为t个待求的被测量的估计量为n个直接测量结果的残余误差为n个误差方程的nt个系数。,则线性参数的误差方程可表示为：即：等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为：或：,3、不等精度的线性函数最小二乘法：式中P为nn阶权矩阵这里：表示测量数据的权,测量数据的方差等精度测量标准方差说明：线性参数不等精度测量可化为等精度形式方法：将误差方法化为等权的形式。设的权为，将不等精度误差方程两端同乘以相应权的平方根,令：i=1,2,n则误差方程化为等精度形式上式中已具有相同权，与等精度误差方程形式一致，即用等精度形式处理化成等精度问题求解。设n1阶矩阵,不等精度误差方程的矩阵为：此时最小二乘法条件用矩阵表达为：最小或最小,5-2正规方程nt时，一般方程难于求解t个参数，最小二乘法则可将误差方程转化为有确定解的代数方程组(方程组数等于t)。该具有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程或法方程。一、正规方程确定参数步骤1)根据具体问题列误差方程2)按最小二乘法，利用求极值方法化为正规方程3)求正规方程及待求估计量，最后给出精度估计,1、等精度测量线性参数最小二乘法处理正规方程线性参数的差分方程为：满足最小二乘条件即为：为求估计量，可用求极值方法满足上式条件。为此：对求导并令其为零，有,令：,则上式可简写为：,用i来表示为：上式二阶偏导数：判定上式的极值为极小值，满足最小二乘条件。因而,用上式得到估计量即为所求。为方便可写成t个方程组：,等精度组量的线性参数最小二乘法处理的正规方程说明：1、方程为t元线性方程组2、当系数行列式不为零时，有唯一解，由此得。3、正规方程的特点：a)沿主对角线分布的平方项系数都为正数b)以主对角线为对称线，对称分布的各系数彼此两两相等。即,4用矩阵表示便于程序实现将前述线性代数的正规方程表示成矩阵形式，先将其改写成如下形式：,可将此正规方程组写成：即：等精度测量情况下的矩阵形式表示的正规方程又代入后：或令，则正规方程形式为,分析：若A的秩等于t，则矩阵C是满秩的，即，那么必定有唯一解的数学期望为：可见是X的无偏估计。例：为研究20mm轴的几何形状误差，在40mm长度内选5个断面测得直径偏差d，试确定长度方向形状误差的规律。,解：1)可先将()以坐标形式画在图上，直观上是一条直线。,2)设线性规律为：或具体方程为：x+2y-3=0 x+10y-5=0 x+20y-8=0 x+30y-15=0 x+40y-18=0其中n=5,t=2正规方程为：,各元素为：则正规方程为：,5x+102y=49102x+3004y=1386解之：x=1.281.3y=0.4180.42d=(1.3+0.42Li)m1)用矩阵方法求解：,则：,说明：1)待定参数多的情况下，矩阵求解可通过程序较方便。2)用代数法求解，为避免差错和醒目可列表计算。3)关于不等精度及非线性最小二乘法不介绍。二、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个量X的估计值x，对其进行n次直接测量，得n个数据为：，相应权为：误差方程为：,最小二乘法处理的正规方程为：由误差方程知：a=1,所以：此即为不等精度计算加权算术平均值原理结果。2、等精度时：则：可见：最小二乘法与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可以视为最小二乘原理的特例。,5-3精度估计最小二乘法原理处理的结果解决：1)待求估计量；2)待求估计量的精度一、测量数据的精度估计等精度设对t个未知量的n个线性参数方程组进行n次独立的等精度测量，获得了n个测量数据l1,l2,.ln。，相应估计量用表示。可以证明：是自由度(nt)的变量相应有：,可取：所以，测量数据标准差的估计量为：通常亦可写成：说明：t=1时，即前述Bessel公式,例：求测直径偏差的标准偏差上例中y=0.42,x=1.3代入误差方程中即v1=3-(1.3+0.422)=0.86v12=0.74v2=5-(1.3+0.4210)=-0.5v22=0.25v3=8-(1.3+0.4220)=-1.7v23=2.89,v4=15-(1.3+0.4230)=-1.1v24=1.21v5=18-(1.3+0.4240)=-0.1v25=0.01vi2=5.10说明：对于非等精度测量时,习惯上可写成二、最小二乘估计量的精度估计设有估计量，x1,x2,.xt，其精度取决于：测量数据Li的精度线性方程组所给出的函数关系,对于给定的线性方程组，若已知Li的精度，即可求最小二乘估计量的精度。推导繁琐，以下只给出具体求法精度表示为：与线性方程组有关系数测量结果精度最小二乘法估计量之精度,的确定方法：最小二乘法的正规方程可写成：求dii时，将上述方程组做如下变动：以dii代替xi，如d11x1,令ajL0(ji，aiL=1)第i式的右端由0改为1，其余不变；如求d11为：由此可求出d11,同样：说明：对于不等精度则用(pv2)最小,得到正规方程对应求解dii亦可从矩阵条件求得，见书中介绍,例：求上例待定参数x,y的标准偏差解：正规方程可写为：,测量结果精度1.3um只须定d11，d22即可由：,由：故估计量x,y的精度分别为,5-4组合测量的最小二乘法处理一、组合测量定义：组合测量是通过直接测量(或间接)待测参数的各种组合量。然后对相应数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。组合测量数据用正规方程组进行是最小二乘法在精密测试中的一种主要应用。二、做法将t个(t1)测值，按n个(nt)不同的组合形式进行测量，得出几个测量方程，再据最小二乘法求解测量值。,三、特点优点：数据处理用到了最小二乘法，可以求得的结果，是在该测量条件下的最佳值，即测量精度较高。一般组合形式越多(n越大)，测量精度亦越高。缺点：操作烦，工用量(包括处理)较大。四、应用常用于纹尺、度盘、多面棱体、砝码标准件检测高精度齿轮、丝杠高精度零件高精密零件的测量中,五、举例检定刻线A、B、C、D间的距离x1，x2，x3解：直接测量刻线间距的组合形式，由上图表示数据为：相应的误差方程为：,可写出正规方程,解：x1=1.028x2=0.983x3=1.01