人教A版几何证明选讲分类复习VIP

人教A版几何证明选讲分类复习 数学选修4-1几何证明选讲总复习题 1.【北京市房山区xx届高三第二次模拟数学试题（理科）】如图，A,B,C,D是O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若?BCD?110?，则?DBE?( ) A. 75? B. 70? C. 60? D. 55? 2一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的( ) 长为( )A11cm B33cm C66cm D99cm 【答案】B【解析】解：设另一弦长xcm；由于另一弦被分为3：8的两段，故两段的长分别为3 ?11 xcm，8? 11 xcm，有相交弦定理可得：3? 11 x?8? 11 x=12?18解得x=33 3圆内接四边形ABCD中，?A、?B、?C的度数比是2:3:6，则?D?（ ） A67.5? B135? C112.5? D110? 【答案】C 【解析】由圆内接四边形对角互补可知，A?C?180，B?D?180，由已知可得A?45，?C?135?，则B?67.5?，所以D?112.5?. 4已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是() A3cmB26cmC24cmD65cm 【答案】B【解析】解：D，E，F分别是ABC的三边的中点，DE=1 /2 AC，DF=1 /2 BC，EF=1 /2 AB， AC+BC+AB=2（DE+DF+EF）=2（3+4+6）=26（cm）故选B 5如图，已知AD/BE/CF，下列比例式成立的是( B ) D F A 6如图，?O是ABC的外接圆，AD是?O的直径，连接CD，若?O的半径r?3，AC?2，则cosB2 的值是（）A32 B C D 23 【答案】B 【解析】解：AD是O的直径，ACD=90RtACD中，AD=2r=3， AC=2 根据勾股定理，得：故答案选：B 7如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（） A30 B45 A C60 D67.5 cosD=CD= B=D，cosB=cosD= AD33 【解析】解：如图，PD切O于点C，OCPD，又OC=CD，COD=45，AO=CO，ACO=22.5， PCA=90-22.5=67.5故选D 8如图所示，若 D是?AC的中点，则与ABD相等的角的个数是() A7B3 C2 D1 【答案】B 【解析】由同弧或等弧所对的圆周角相等知ABDCBDACDDAC，故与ABD相等的角有3个 ?9如图，AB是圆O的直径，C、D是圆上的点，?BAC?20，弧和弧的长相等，DE是圆O的切线， 则?EDC?( ) A70?B40? C20? D35? 90?20? ?35? 【答案】D?EDC?DAC?2 10如图所示，在ABC中，M在BC上，N在AM上，CM，且AMBM，下列结论中正确的是 ( ) AN AABMACBBANCAMBCANCACMDCMNBCA 【答案】B【解析】由CM知CMNM，AMBANC， 又AMBMAMAN，故ABMA. ANBMNC11【改编自xx年陕西高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF?DB，垂足为F，若AB?6，AE?1，则DF?DB? （ ） A.3 B.5 C.52D.2 12.【改编自xx年湖北高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF?DB，垂足为F，若AB?6，AE?1，则DF?DB?( ) A. 4 B. 2C. 6 D. 5 13如右图：已知AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线E点，若?ACE=40， 则?BCD= . ?0【答案】40【解析】因为?ACE=40且CE与圆相切，所以 ?ACE?CBA,?AC?BD,?CBA?BCD?40?. 14.如图，点M为?O的弦AB上的一点，连接MO.MN?OM，MN交圆于N，若MA?2，MB?4，则MN? NO A MB 2222【答案】OC?AB，垂足为C;AB?6,AC?3,MC?1,?OC?OM?MC?OM?1 ON?OA,?ON2?OA2,即OM2?MN2?OC2?AC2?OC2?9?OM2? 8MN2?8,?MN?15.如图，已知Rt?ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆 与AB交于点D，则BD cm.【答案】16 5 【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知BC2?BD?BA,?42?x?5,?x?16. 5 16如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_. 【答案】 AC4，AD12，ACD90，CDADAC128，CD 222 又AEBC，BD，ABEADC，ABBEAB?CD6?，BE ADCDAD12 17.如图，AB、CD是圆的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2，则线段AC的长度为 DC BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，AB是线段CD的垂直平分线，AB是圆的直径，ACB=90，则EB=6-x， CE=AE?EB，即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）2 或x=5，BC=BE?AB=16=6，即 . 2 18.如图，在ABC中，AB?5，BC?3，?ABC?120?，以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，则线段AD的长为 . 【答案】16 7 19.如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB?7，C是圆上一点使得 BC?5，?BAC?APB，则AB?. : ?ACB?PAB,又?BAC?APB, 于是有?ACB?PAB,得ABCB? 所以AB?PBAB 20如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC ，已知PA?PC?4，圆心O到BC的距离 O的半径为_.【答案】2 几何证明 【高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有： (1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理； (3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理，本内容考查属B级要求. 【重点、难点剖析】 1(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 (2)相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 2(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 3(1)圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形对角互补则这个四边形的四个顶点共圆 4(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项 :学优gkstk 5证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换 6圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用. 【高频考点】 考点一 相似三角形的判定及性质 【例1】 (1)(天津)如图，ABC是圆的内接三角形， BAC的平分线交圆于点D， 交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论： BD平分CBF；FBFDFA；AECEBEDE；AFBDABBF. 则所有正确结论的序号是( ) AB C D 2 (2)(广东) (几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则CDF的面积 _. AEF的面积 【举一反三】如图，ABC内接于圆O，AD平分BAC交圆O于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E.求证：(1)EBDCBD；(2)ABBEAEDC. 【变式探究】如图，已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点证明：(1)ACEBCD；(2)BCBECD. 2 【变式探究】 如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB. 证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD . 考点二 “四定理”相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 【例2】如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH8，GE4，求EF的长 【变式探究】如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M. 证明：(1)DC是O的切线；(2)AMMBDFDA . 【变式探究】 如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.求证：EDECEB. 2 考点三、四点共圆的判定 【例3】 如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)EC平分DEF. 【变式探究】 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 (1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小 【能力突破】、圆的有关定理的综合应用 例、(辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若ACBD，求证：ABED . 第一节 相似三角形的判定及有关性质 考纲下载 1了解平行线截割定理 2会证明并应用直角三角形射影定理 1平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 (2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 2相似三角形的判定定理 (1)判定定理1，两三角形相似 (2)判定定理2，两三角形相似 (3)判定定理3，两三角形相似 3相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方 (2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方 4直角三角形相似的判定定理 (1)判定定理1，那么它们相似 (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似 (3)判定定理3直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 5直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 例1 (xx广东节选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在 AB上且EB2AE，CDF的面积AC与DE交于点F，求 AEF的面积 CDF的面积?CD?2? AB2 听前试做 由CDAE，得CDFAEF，于是9. AEF的面积?AE?AE 方法规律 平行线截割定理的作用 平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比 如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E， F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比 1 解：由CD2，AB4，EF3，得EF(CDAB)，所以EF是梯形ABCD的中位线， 2 11 则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFES梯形EFCD34)h3)h 2275. 例2 (xx沈阳模拟)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD 垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE. 证明：(1)FEBCEB； (2)EF2ADBC. 听前试做 (1)由直线CD与O相切，得CEBEAB. 由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF； 2 又EFAB，得FEBEBF， 2从而FEBEAB. 故FEBCEB. (2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边， 得RtBCERtBFE，所以BCBF. 类似可证：RtADERtAFE，得ADAF. 又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF， 所以EF2ADBC. 方法规律 与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略 (1)证明线段成比例(或线段之积相等)利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论 (2)证明角相等先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等 (3)求线段长可转化成(1)，再利用已知条件求线段长 (xx长春模拟)如图所示，在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D . PCPD(1)求证： ACBD (2)若AC3，求APAD的值 证明：(1)因为CPDABC，PDCPDC， 所以DPCDBA，所以 P