重庆市2020届高三数学三模考试试题 理（含解析）

重庆市2020届高三数学三模考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，复数满足：，则在复平面内对应点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可【详解】由，得，复数z在复平面内对应的点为（0，1），故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题2.已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得，问题转化为集合A是集合B的真子集，得到关于的不等式组，解出即可【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合A是集合B的真子集，又集合，且，所以故选：A【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查集合的包含关系，属于基础题3.等差数列的前项和为，已知，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得成等差数列，代入数据可得【详解】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，故，代入数据可得，解得故选：C【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质，属于基础题4.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.【详解】双曲线的一条渐近线为，渐近线与直线垂直，得，即，代入故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.5.二项式的展开式中第项是常数项，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x的指数，利用指数为零，求出n的值【详解】二项式的展开式中第项为 ，由于第7项为常数项，则n90，解得n9故选：B【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题6.已知向量、的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，先求，再求在方向上的投影为：，代值求出结果即可【详解】已知向量、的夹角为， 在方向上的投影为：故选：D【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量数量积公式的应用，属于基础题7.如图给出计算值的一个程序框图，其中空白的判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的循环结构依次求出结果即可【详解】根据程序框图：，执行第一次循环时：，执行第二次循环时：，依此类推,当时，输出结果其中判断框内应填入的条件是：故选：C【点睛】本题考查循环结构的程序框图，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题8.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇函数和，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果【详解】奇函数f（x）满足，f（x+1）f（1x）f（x1），即f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，当x时，f（x）log2（x+1），f（2020）f（50541）f（1）f（1）log221.故选：B【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得m2sin18，4m24cos218，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解【详解】由题意得m2sin18，4m244sin2184（1sin218）4cos218，故选：C【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题10.今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的名专家对石柱县的个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出甲、乙两名专家被分配在同乡镇的概率，由此能求出甲、乙两名专家不在同乡镇的概率【详解】记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A，名专家分到个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人.那么，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：故答案：【点睛】本题考查了分步计算原理的运用问题，也考查了间接法和古典概型的计算问题，属于基础题11.在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则三角形面积最小值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在的线段，计算即可【详解】分别取的中点H,Q,R，补全截面EFG为截面EFGHQR如图所示，设BRAC，直线D1P与平面EFG不存在公共点，D1P平面EFGHQR，易知平面ACD1平面EFGHQR，PAC，且当P与R重合时，BPBR最短，此时PBB1的面积最小，由等面积法：BRACBABC，得，即，又BB1平面ABCD，BB1BP，PBB1为直角三角形，PBB1的面积为：.故选：C点睛】本题考查了线面平行，面面平行的应用，三角形面积公式，属于中档题12.已知函数 ，函数F（x）f（x）b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，则的取值范围是（ ）A. ，+）B. （3，C. 3，+）D. 【答案】D【解析】【分析】函数 有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，转化为有4个交点，结合函数的图象得 x1+x24，x3x41，利用换元法求出新函数的值域即可【详解】函数图象如图所示，函数F（x）f（x）b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，转化为有4个不同的交点，由图象，结合已知条件得 x1+x24，x3x41，0b1，解不等式0log3x1得：x31，令tx32，则t1，令g（t）2t+，则g（t）在，上单调递减，1）上是增函数g（），g（）， ，g（）g（t）g（），即2t+故选：D【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，对数的运算，函数单调性的判断与应用，属于中档题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上13.已知随机变量服从正态分布，若，则_.【答案】0.8【解析】【分析】随机变量服从正态分布，则正态分布密度函数曲线关于x2对称，由P（3）0.9，即可求得【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的密度函数曲线关于x2对称，所以P（23）P（12），且P（3）0.9，所以P（3）10.90.1，P（1）P（3）=0.1则1-P（3）-P（1）=0.8故答案为：0.8【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的对称性解决概率问题，属于基础题14.已知直线与曲线相切，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标P（，ln2），求出导函数y，利用导数的几何意义得ky|xa，再根据切点也在切线上，列出关于和k的方程，求解即可【详解】设切点坐标为P（，ln2），曲线yln2x，y，ky，又切点P（，ln2）在切线ykx上，ln2k，由，解得，代入得k，实数k的值为故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线的斜率，属于基础题15.已知实数满足，其中，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由定积分得=2，即实数满足，画出可行域，化简目标函数，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可【详解】由定积分计算得，所以实数满足 ，画出可行域，如图所示：化简目标函数，令，得，在可行域内平移，当移动到A时，取最大值.，把A代入，得，此时故答案为：【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.16.抛物线和圆，直线与抛物线和圆分别交于四个点（自下而上的顺序为），则的值为_.【答案】16【解析】【分析】设，结合已知条件和抛物线的定义得|AF|x1+2=|AB|+2，即|AB|x1，同理可得：|CD|x4，将直线的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1x4，即可得结果【详解】设，y28x，焦点F（2，0），的圆心为，半径，所以直线既过抛物线的焦点F，又过圆的圆心.抛物线的准线 l0：x2由抛物线定义得：|AF|x1+2，又|AF|AB|+2，|AB|x1，同理：|CD|x4，则直线：yx2代入抛物线方程，得：x212x+40，x1x44，则|AB|CD|4又，综上所述，44=16故答案为：16【点睛】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线和圆的位置关系，韦达定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知函数，其中，且的最小值为，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，的图象关于原点对称.（1）求函数的解析式和单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求.【答案】（1）f（x）2sin（x+），递增区间为:；（2）【解析】【分析】（1）由题意可求f（x）的A和周期T，利用周期公式可求，利用正弦函数的对称性可求，可得f（x）的解析式和单调递增区间；（2）由余弦定理，结合已知条件，求出B,代入f（x）化简求值即可.【详解】（1）函数，其中，函数的最小值是-2，A2，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，T，解得：.又的图象关于原点对称， f（x）的图象关于对称. ，解得：，又，解得：可得：f（x）2sin（x+）因x+，所以f（x）的递增区间为:. （2）在中，满足，由余弦定理得，化简，所以=，且，= 2sin（+）=【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的值和单调区间，也考查了余弦定理，属于中档题18.在如图所示的几何体中，EA平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且，ADAE1，ABC60，EF=AC，且EFAC.（）证明：ABCF；（）求二面角BEFD的余弦值【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（）由EA平面ABCD得BAAE由四边形ABCD为等腰梯形，且，ABC60，得ABAC，进而推出AB平面ACFE即可得ABCF（）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面DEF的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可【详解】（）由题知EA平面ABCD，BA平面ABCD，BAAE四边形ABCD为等腰梯形，且，AD1，所以BC=2，ABC60，过点A作AHBC于H，在RTABH中，AB1，在ABC中，AC2AB2+BC22ABBCcos603，AB2+AC2BC2，ABAC，且ACEAA，AB平面ACFE又CF平面ACFE，ABCF.（）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，EF=AC，且EFAC，ADAE1，则，设为平面BEF的一个法向量，则令 ，得，设为平面DEF的一个法向量，则令，得，二面角BEFD的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法求二面角的平面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题19.最强大脑是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目某机构为了了解大学生喜欢最强大脑是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢最强大脑不喜欢最强大脑合计男生15女生15合计已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢最强大脑的大学生的概率为0.4（I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢最强大脑与性别有关，并说明理由；（II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢最强大脑，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢最强大脑的人数为X，求X的分布列及数学期望参考公式：，参考数据：，.【答案】（）有99.9%的把握认为喜欢最强大脑与性别有关；（II）见解析【解析】【分析】（）根据已知条件计算出22 列联表中各个数据，求出K2，可得答案；（II）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【详解】（）满足题意的22 列联表如下表所示：喜欢最强大脑不喜欢最强大脑合计男生451560女生152540合计6040100由列联表中的数据，得到 因此，有99.9%的把握认为喜欢最强大脑与性别有关（II）X的可能取值为0，1，2，P（X0），P（X1）= ，P（X2），X的分布列为：X 0 1 2P EX 【点睛】本题考查独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，属于基础题.20.已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1（）求椭圆C的方程（）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由【答案】（）；（）定值为【解析】【分析】（）利用P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1，结合a2b2+c2，求出a，c，b可得椭圆的方程（）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可【详解】（I）由题意可知：a+c，2cb1，且a2b2+c2，a22，b21，c21，所求椭圆的方程为：.（II）设直线L的方程为：yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x24kx+2（k21）0则 对于任意为定值【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，属于中档题21.已知函数f（x）（x2）ex+x，其中R，e是自然对数的底数（1）当0时，讨论函数f（x）在（1，+）上的单调性；（2）若函数g（x）f（x）+2，证明：使g（x）0在上恒成立的实数a能取到的最大整数值为1【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）讨论的范围，判断f（x）的符号，得出f（x）的单调性；（2）分别计算1和2时g（x）的最小值，判断g（x）的最小值的符号得出结论【详解】（1）f（x）ex+（x2）exx+（x1）（ex），令f（x）0解得xln，若ln1，即0e，则f（x）0在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上单调递增；若ln1，即e，则当1xln时，f（x）0，当xln时，f（x）0，f（x）在（1，ln）上单调递减，在（ln，+）上单调递增，（2）g（x）ex+（x2）exx+2，当1时，g（x）ex+（x2）exx+2，xex1，（x+1）ex，当x1时，0，当x1时，0，在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，的最小值为g（1）10，又当x0时，0，g（0）1，g（ln2）2ln210，存在唯一一个实数x0（0，ln2），使得g（x0）0，即x01g（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，g（x）的最小值为g（x0）+x0x0+23（+x0），0x0ln2，12，+x02+ln23，g（x0）3（+x0）0，当1时，g（x）0在R上恒成立当2时，g（x）ex+（x2）ex2x+2，xex2，g（x）（x+1）ex，由可知在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，的最小值为g（1）20，且当x0时，0，g（ln2）2ln220，g（1）e20，存在唯一一个实数x0（ln2，1），使得g（x0）0，即x02g（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，g（x）的最小值为g（x0）+x02x0+24（+2x0），ln2x01，2e，+2x02+2ln24，g（x0）3（+x0）0，当2时，g（x）0在R上不恒成立综上，实数能取到的最大整数值为1【点睛】本题考查了函数单调性的判断，导数应用，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一天计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；（2）直线和曲线交于两点，点的直角坐标为，求的最大值.【答案】（1）：x2+y24y0，：；（2）【解析】【分析】（1）把4sin两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由