-空间曲线的切线与法平面

第六节第六节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用 二二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 一一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 )1( )( )( )( tz ty tx o z y x (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导. 一一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 M . ),( 0 000 ttt zzyyxxM 对应于对应于 ;),( 0000 ttzyxM 对应于对应于设设 M 第六节第六节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程 z zz y yy x xx 000 t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t o z y x M M 割线割线的方程为的方程为MM , 000 z zz y yy x xx ,0,时时即即当当 tMM 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程 000 000 ( )( )( ) x - xy - yz - z =. t t t 切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量. 000 ( )( )( ) T = t, t, t 法平面法平面：过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面. ( )()( )()( )() 000000 0 tx - x ty - y tz - z 例例1 1 求曲线求曲线: t u uduex 0 cos，tysin2 tcos , t ez 3 1 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程. 解解当当0 t时时，, 2, 1, 0 zyx ,costex t ,sincos2tty ,3 3t ez , 1)0( x , 2)0( y , 3)0( z 切线方程切线方程, 3 2 2 1 1 0 zyx 法平面方程法平面方程 , 0)2(3)1(2 zyx . 0832 zyx即即 1.空间曲线方程为空间曲线方程为 y = x z = x ,),( 000 处处在在zyxM , 000 00 1( )( ) x - xy - yz - z = t t ()( )()( )() 00000 0.x - x ty - y tz - z 法平面方程为法平面方程为 切线方程为切线方程为 特殊地特殊地： 2.空间曲线方程为空间曲线方程为, 0),( 0),( zyxG zyxF 切线方程为切线方程为 000 0 00 zxyzxy zxyzxy x - xy - yz - z =, FFFFFF GGGGGG 法平面方程为法平面方程为 000 ()()() 000 = 0. yzxyzx yzxyzx FFFFFF x - xy - yz - z GGGGGG 例例 2 2 求曲线求曲线6 222 zyx，0 zyx在在 点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 解解 1 1 直接利用公式直接利用公式; 222 6,设设 F x, y,z = x + y + z - G x, y,z = x+ y+ z 则则 222 111 xyz xyz F =x, F =y, F =z G = , G = , G = 1 1 2 2 1 1 22 6 11 yz x= x= yz y=- y=- z= z= FFyz GG 0 11 22 11 22 11 zx x=x= zx y=-y=- z=z= FFzx GG 1 1 2 2 1 1 22 6 11 xy x= x= xy y=- y=- z= z= FFxy GG 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T 所求切线方程为所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 zyx 法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx 0 zx 例例 2 2 求曲线求曲线6 222 zyx，0 zyx在在 点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项求导并移项，得得 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , zy xz dx dy , zy yx dx dz , 0 )1,2, 1( dx dy , 1 )1,2, 1( dx dz 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T 所求切线方程为所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 zyx 法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx 0 zx n 0 M 设曲面方程为设曲面方程为 0),(: zyxF ),(),(),( 0 0 0 tztytxT 曲线在曲线在M0处的切向量处的切向量 二二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 2 2 T 1 T 1 ( ) ( ) ( ) x =t :y = t , z = t 0000 Mx ,y ,z 在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通 过点过点的的 曲线曲线 , 000000000 (),(),() xyz n = Fxy zFxy zF xy z令令 000000 ()( )()( )()( ) = 0 xyz FMt+ FM t+ F M t ( )( )( )0,， 由由于于 在在 上上，故故有有上上 式式在在处处关关于于 求求导导，有有： Ft t Mt t 000000 ,0 xyz FMFMFMx t, y t,zt 0000 0000 0000 ( 0 xy z Fx , y ,zx - x+ Fx , y ,zy - y +Fx , y ,zz - z= 切平面方程为切平面方程为： 则则,Tn 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过 的任意一的任意一 条曲线条曲线，它们在它们在 的切线都与同一向量的切线都与同一向量n 垂直垂直， 故曲面上通过故曲面上通过 的一切曲线在点的一切曲线在点 的切线都在的切线都在 同一平面上同一平面上， 这个平面称为曲面在点这个平面称为曲面在点 的的切平面切平面. M0 M0M0 M0 M0 通过点通过点),( 000 zyxM而而 垂直于切平面的直线垂直于切平面的直线称称 为曲面在该点的为曲面在该点的法线法线. 法线方程为法线方程为： ),(),(),( 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 曲面在曲面在M处的处的法向量法向量, 即即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. n T M 特殊地特殊地：空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为 ,)(,()(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为 . 1),(),( 0 00 0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx ,),(),(zyxfzyxF 令令 1),(),( 0000 yxfyxfn yx 处处在在曲面曲面 0 ),(Myxfz 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的并假定法向量的方向是向上的，即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是是锐角锐角，则法向量的则法向量的方向方向 余弦余弦为为 , 1 cos 22 yx x ff f , 1 cos 22 yx y ff f . 1 1 cos 22 yx ff ),( 00 yxff xx ),( 00 yxff yy 其中其中 n T M 求法向量的方向余弦时注意求法向量的方向余弦时注意符号符号 )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切平面切平面 上点的上点的 竖坐标竖坐标 的增量的增量 的全微分的全微分在点在点函数函数),(),( 00 yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 全微分的几何意义全微分的几何意义 ),(yxfz 在在),( 00 yx的全微分的全微分，表示表示 曲面曲面),(yxfz 在点在点),( 000 zyx处的处的 切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量. 例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面1 22 yxz在点在点)4 , 1 , 2( 处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解 , 1),( 22 yxyxf )4, 1 ,2()4, 1 ,2( 1,2,2 yxn ,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx , 0624 zyx 法线方程为法线方程为. 1 4 2 1 4 2 zyx 例例 4 4 求曲面求曲面32 xyez z 在点在点)0 , 2 , 1(处的处的 切平面及法线方程切平面及法线方程. 解解 , 32),( xyezzyxF z , 42 )0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22 )0,2, 1( )0,2, 1( xFy , 01 )0,2, 1( )0,2, 1( z z eF 令令 切平面方程切平面方程 法线方程法线方程 , 0)0(0)2(2)1(4 zyx , 042 yx . 0 0 1 2 2 1 zyx 例例 5 5 求曲面求曲面2132 222 zyx平行于平面平行于平面 064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. 解解设设为曲面上的切点为曲面上的切点,),( 000 zyx 切平面方程为切平面方程为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx 依题意依题意，切平面方程平行于已知平面切平面方程平行于已知平面，得得 , 6 6 4 4 1 2 000 zyx .2 000 zyx 因为因为是曲面上的切点是曲面上的切点，),( 000 zyx , 1 0 x 所求切点为所求切点为 满足方程满足方程 ),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 切平面方程切平面方程(1) 切平面方程切平面方程(2)