2017-2018学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷

2017-2018学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD2（3分）若方程x23x4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2x1x2的值是（）A1B1C7D73（3分）在平面内，已知O的半径为2，OP=1，则点P与O的位置关系是（）A在圆外B在圆上C在圆内D无法确定4（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（）Ay=3（x2）2+1By=3（x2）21Cy=3（x+2）2+1Dy=3（x+2）215（3分）二次函数y=x22x+3的最小值是（）A2B2C1D16（3分）某城市2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A300（1+x）=363B300（1+x）2=363C300（1+2x）=363D363（1x）2=3007（3分）如图，在ABC中，ACB=15，ABC绕点C逆时针旋转90后与DEC重合，则ACE的读数是（）A105B90C15D1208（3分）如图，ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（）A2.6B2.5C2.4D2.39（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则下列五个结论：abc0；b=2a0；a+b+c0；b24ac0其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个10（3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正三角形的面积是（）A9B9C6D6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）已知A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y=2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 12（3分）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015= 13（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程y=ax2+bx+c（a0）的根是 14（3分）如图所示，在直角坐标系中，ABC是由ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是 15（3分）PA、PB切O于A、B，APB=78，点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB= 16（3分）在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，连接ED，若BC=5，BD=4则下列四个结论：AEBC；ADE=BDC；BDE是等边三角形；AED的周长是9其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题共9小题，共102分）17（8分）解方程或不等式组（1）（4x1）29=0（2）解方程：x23x2=018（8分） 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（1，1）、B（4，3）、C（4，1）（1）作出ABC关于原点O中心对称的图形ABC；（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点的坐标19（10分）如图，在O中，半径OCAB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求O半径的长20（12分）已知二次函数y=x2的图象经过点（2，）（1）求这个二次函数的函数解析式；（2）若抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，顶点为D，求以A、B、C、D为顶点的四边形面积21（12分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求D的读数（2）若AB=5，AC=4，求DE的长22（12分）南沙区某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，x=50时，y=100，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（3）当销售单位为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元23（12分）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，若BAC=CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D（1）试判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，O的半径为3，并且CAB=30，求CE的长24（14分）已知抛物线y=ax2+bx3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90，点B的对应点B恰好落在抛物线上，求点P的坐标（3）如图，直线y=x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由25（14分）（1）如图，在四边形ABCD中，ACB=ADB=90，AD=BD，试证明：AC+BC=CD（2）如图，AB是O的直径，点C、D在O上（且在AB的两侧），AD=BD，若AB=13，BC=12，求CD的长（3）如图，ACB=ADB=90，AD=BD，若AC=m，BC=n（mn），求CD的长（用含m，n的代数式表示）2017-2018学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的概念求解即可【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确故选：D2（3分）若方程x23x4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2x1x2的值是（）A1B1C7D7【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=3、x1x2=4，将其带入x1+x2x1x2中即可求出结论【解答】解：方程x23x4=0的两根分别为x1和x2，x1+x2=3，x1x2=4，x1+x2x1x2=3（4）=7故选：C3（3分）在平面内，已知O的半径为2，OP=1，则点P与O的位置关系是（）A在圆外B在圆上C在圆内D无法确定【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当dr时，点在圆内，可得答案【解答】解：由题意，得d=1，r=2dr，点P在O内，故选：C4（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（）Ay=3（x2）2+1By=3（x2）21Cy=3（x+2）2+1Dy=3（x+2）21【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1故选：C5（3分）二次函数y=x22x+3的最小值是（）A2B2C1D1【分析】先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解【解答】解：y=（x1）2+2，a=10，当x=1时，y有最小值2故选：B6（3分）某城市2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A300（1+x）=363B300（1+x）2=363C300（1+2x）=363D363（1x）2=300【分析】一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300（1+x）2=363故选：B7（3分）如图，在ABC中，ACB=15，ABC绕点C逆时针旋转90后与DEC重合，则ACE的读数是（）A105B90C15D120【分析】根据旋转变换的性质得到BCE=90，结合图形，计算即可【解答】解：由旋转变换的性质可知，BCE=90，ACE=ACB+BCE=105，故选：A8（3分）如图，ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（）A2.6B2.5C2.4D2.3【分析】设切点为D，连接CD，由AB是C的切线，即可得CDAB，又由在直角ABC中，C=90，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由SABC=ACBC=ABCD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长【解答】解：在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90，如图：设切点为D，连接CD，AB是C的切线，CDAB，SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即CD=2.4，C的半径为2.4，故选：C9（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则下列五个结论：abc0；b=2a0；a+b+c0；b24ac0其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：a0，c=0，abc=0，故错误；对称轴为x=1，所以b=2a0，故正确；令x=1，y=a+b+c0，故正确；由于抛物线与x轴有两个交点，=b24ac0，故正确；故选：C10（3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正三角形的面积是（）A9B9C6D6【分析】首先根据题意画出图形，连接OB、OC，作ODBC于D，则ODB=90，BD=CD，OBC=30，由含30角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据ABC的面积=3SOBC计算即可【解答】解：如图所示，连接OB、OC，作ODBC于D，则ODB=90，BD=CD，OBC=30，OD=OB=，BD=3，BC=2BD=6，ABC的面积=3SOBC=3BCOD=36=9，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）已知A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y=2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y2y1y3【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系【解答】解：二次函数的解析式为y=2（x+2）2，抛物线的对称轴为直线x=2，A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），点B在直线x=2上，点C离直线x=2最远，而抛物线开口向下，y2y1y3；故答案为y2y1y312（3分）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015=1【分析】根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得m、n的值，根据负数奇数次幂是负数，可得答案【解答】解：由点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得m=3，n=2（m+n）2015=（3+2）2015=1，故答案为：113（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程y=ax2+bx+c（a0）的根是x1=5或x2=1【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标即可解决问题【解答】解：与图象可知，抛物线与x的交点坐标为（1，0）和（5，0），y=ax2+bx+c（a0）的根为x1=5或x2=1，故答案为x1=5或x2=1，14（3分）如图所示，在直角坐标系中，ABC是由ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是（5，0）【分析】连接AA，CC，线段AA、CC的垂直平分线的交点就是点P【解答】解：如图所示，点P的坐标是（5，0）故答案是：（5，0）15（3分）PA、PB切O于A、B，APB=78，点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB=51或129【分析】如图，连OA，OB，由切线的性质得到OAPA，OBPB，则AOB=180BPA=18078=102，再分类讨论：当C在优弧AB上，则ACB=AOB=102；当C在劣弧AB上，即C点，则ACB=180C【解答】解：如图，连接OA，OB，PA、PB切O于A、B，OAPA，OBPB，AOB=180BPA=18078=102，当C在优弧AB上，则ACB=AOB=102=51；当C在劣弧AB上，即C点，则ACB=18051=129故答案为：51或12916（3分）在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，连接ED，若BC=5，BD=4则下列四个结论：AEBC；ADE=BDC；BDE是等边三角形；AED的周长是9其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】先根据等边三角形的性质得BA=BC，ABC=C=BAC=60，再根据旋转的性质得到BAE=BCD=60，BCD=BAE=60，所以BAE=ABC=60，则根据平行线的判定方法即可得到AEBC；由BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE得到BD=BE，DBE=60，则可判断BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BDE=60，而BDC60，则可判断ADEBDC；由BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，则AE=CD，所以AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD【解答】解：ABC为等边三角形，BA=BC，ABC=C=BAC=60，BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，BAE=BCD=60，BCD=BAE=60，BAE=ABC，AEBC，所以正确；BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，BD=BE，DBE=60，BDE是等边三角形，所以正确；BDE=60，BDC=BAC+ABD60，ADEBDC，所以错误；BDE是等边三角形，DE=BD=4，而BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，AE=CD，AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以正确故答案为三、解答题（本大题共9小题，共102分）17（8分）解方程或不等式组（1）（4x1）29=0（2）解方程：x23x2=0【分析】（1）根据直接开平方法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解【解答】解：（1）（4x1）29=0，移项，得（4x1）2=9，开方，得 4x1=3， x1=1，x2= （2）x23x2=0，=b24ac=9+8=170，x1=，x2=18（8分） 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（1，1）、B（4，3）、C（4，1）（1）作出ABC关于原点O中心对称的图形ABC；（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点的坐标【分析】（1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；（2）根据图形旋转的性质画出A1B1C1即可【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求；（2）如图所示，A1B1C1即为所求，A1（1，1）B1（3，4）C1（1，4）19（10分）如图，在O中，半径OCAB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求O半径的长【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AD=BD=AB=6，然后根据勾股定理计算OA的长即可【解答】解：连接OA，如图，OCAB，AD=BD=AB=12=6，在RtAOD中，OA=10，即O半径的长为1020（12分）已知二次函数y=x2的图象经过点（2，）（1）求这个二次函数的函数解析式；（2）若抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，顶点为D，求以A、B、C、D为顶点的四边形面积【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）求出A、B、C、D的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）将（2，）代入y=x2，得：4+2b=，解得：b=1，所以二次函数为y=x2x（2）由题意可得：A（，0），B（，0），C（0，），D（，1），所以四边形面积为：+（+1）+11=21（12分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求D的读数（2）若AB=5，AC=4，求DE的长【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题；（2）利用勾股定理求出BC，再利用三角形的中位线定理求出OE即可解决问题；【解答】解：（1）ODBC，AOD=B=70，OA=OD，D=OAD=（18070）=55（2）AB是直径，ACB=90，BC=3，ODBC，AEO=ACB=90，ODAC，AE=EC，OA=OB，OE=BC=1.5，DE=ODOE=122（12分）南沙区某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，x=50时，y=100，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（3）当销售单位为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；（2）根据利润=单价销售量列出w关于x的二次函数解析式即可；（3）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得，解得：k=2，b=200，y=2x+200（30x70）；（2）w=（x30）（2x+200）450=2x2+260x6450=2（x65）2+2000；（3）w=2（x65）2+2000，30x70，x=65时，w有最大值为2000元，当销售单价为65元时，该公司日获利最大，为2000元23（12分）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，若BAC=CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D（1）试判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，O的半径为3，并且CAB=30，求CE的长【分析】（1）连接OC，根据OA=OC，推出BAC=OCA，求出OCA=CAM，推出OCAM，求出OCCD，根据切线的判定推出即可；（2）根据OC=OA推出BAC=ACO，求出COE=2CAB=60，在RtCOE中，根据CE=OCtan60求出即可【解答】解：（1）直线CD与O相切理由如下：连接OCOA=OC，BAC=OCA，BAC=CAM，OCA=CAM，OCAM，CDAM，OCCD，OC为半径，直线CD与O相切（2）OC=OA，BAC=ACO，CAB=30，COE=2CAB=60，在RtCOE中，OC=3，CE=OCtan60=24（14分）已知抛物线y=ax2+bx3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90，点B的对应点B恰好落在抛物线上，求点P的坐标（3）如图，直线y=x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；（2）先求得抛物线的对称轴为x=1过点B作BM对称轴，垂足为M然后证明BNPPMB，依据全等三角形的性质可知BN=PM=3，PN=MB设P（1，m），则点B的坐标为（1m，m2），最后将点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）过点E作EFx轴，作点DFy轴，则EFD=90先求得点G的坐标，则可得到OG=，在RtAGO中，利用特殊锐角三角函数值可求得A的度数，则FED=30，依据函数30直角三角形的性质可得到DF=DE则动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等故此当BD+DF最短时，所用时间最短，依据两点之间线段最短可知当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短，此时BEBF，则点D的横坐标为3，然后由函数解析式再求得点D的纵坐标即可【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入得：，解得：a=1，b=2抛物线的解析式为y=x22x3（2）A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为x=1如图所示：过点B作BM对称轴，垂足为MBPB=90，BPN+BPM=90BPN+PBN=90，PBN=BPM在BPN和PBM中BNPPMBBN=PM=3，PN=MB设P（1，m），则点B的坐标为（1m，m2）将点B的坐标代入抛物线的解析式得：（1m）22（1m）3=m2，解得：m1=1，m2=2点P在x轴的下方，m=1P