九年级数学上册(人教版)教案

第21章一元二次方程21.1单变量二次方程1.通过与一元二次方程的类比，理解了一元二次方程的概念和通式AX2 BX C=0 (A 0)，并区分了二次项及其系数、一次项及其系数和常数项的概念。2.理解一元二次方程解的概念将检验一个数是否是一元二次方程的解。强调通过与一元二次方程的类比，一元二次方程的概念和通式ax2 bx c=0 (a 0)的概念以及一元二次方程的解被理解，并且这些概念可以用于解决简单的问题。困难一元二次方程及其二次系数、二次系数和常数项的识别。活动1复习旧知识1.等式是什么？你能举一个等式的例子吗？2.下列哪个方程是一元方程？给出了单变量方程的概念和一般形式。(1)2x-1 (2)mx+n=0 (3)+1=0 (4)x2=13.下列哪个实数是方程2x-1=3的解？给出了方程解的概念。A.0B.1C.2D.3活动2探索新知识根据主题，列出方程式。1.教科书第2页的问题1。提问：(1)什么决定了正方形的大小？哪个数量应该被设置为未知？(2)这个话题中的数量关系是什么？我们能用这个定量关系来表述这个方程吗？如何制定方程式？(3)这个方程可以简化成一个形式吗？请陈述排序后的等式。2.教科书第2页的问题2。提问：(1)本主题中的量是多少？从这些量可以得到什么？(2)队伍数量和比赛数量之间有什么关系？如果有五个队，每个队将打几场比赛？总共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，有多少场比赛？(3)如果有X个队参加比赛，总共将进行多少场比赛？3.如果一个数比另一个数大3，并且两个数的乘积是0，找出这两个数。提问：你需要为这个话题设置两个未知数吗？如果可以设置一个未知的数，该如何列出该等式？4.正方形面积的两倍等于25。这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提问：(1)上述方程与单变量方程有什么异同？(2)通过与单变量方程的类比，我们能给这种方程取什么名字？(3)总结二次方程的概念。1.一元二次方程：它只包含_ _ _ _ _ _ _ _个未知数，最大未知数是_ _ _ _ _ _ _ _。这种方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式是ax2 Bx C=0 (A 0)，其中ax2是二次项，A是二次项的系数；Bx是主项，b是主项系数；c是一个常数。提问：(1)二次方程一般形式的特征是什么？等号的左边和右边是什么？(2)为什么a0，B，C限制为0？(3)2x 2-x1的主系数是否等于0 1？为什么？3.一个变量的二次方程的解(根):使一个变量的二次方程的左右两边相等的未知值称为一个变量的二次方程的解(根)。活动4示例和练习例1在下面的方程中，一元二次方程是_ _ _ _ _ _。(1)4x 2=81；(2)2x 2-1=3y；(3)+=2；(4)2x2-2x(x+7)=0。摘要：判断一个方程是否为一元二次方程的依据：(1)积分方程；(2)仅包含一个未知数字；(3)包含未知数的最大项数是2。请注意，有些方程在简化前包含二次项，但简化后二次项的系数为0。这样的方程不是一元二次方程。例2课本第3页的例子。例3以-2为根的一元二次方程是()A.x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0结论：要判断一个数是否是方程的解，可以把这个数代入方程，判断方程的左右两边是否相等。练习：1.如果(a-1) x2 3ax-1=0是关于x的二次方程，那么a的取值范围是_ _ _ _ _ _。2.下面的一元二次方程被转换成一般形式，它们的二次系数、一次系数和常数被转换成一般形式4.如果-4是x的二次方程2x2 7x-k=0的根，那么k的值是_ _ _ _ _ _ _ _。答：1 . a1；2.稍微；3.稍微；4.k=4。活动5课堂总结和作业班级总结关于二次方程我们学到了什么知识？二次方程的一般形式是什么？一般形式的限制是什么？你能用一个变量解二次方程吗？工作安排练习21.1，课本第4页的问题1到7。21.2求解一元二次方程21.2.1分配方法(3课时)第一类直接开平方法理解一元二次方程的“降阶”所转化的数学思想，并将其应用于解决一些具体问题。摘要：提出一个问题，列出一元二次方程AX2 C=0，该方程缺少一阶项，根据平方根的含义求解，然后将知识转移到A (EX F) 2 C=0型一元二次方程。强调用开平方法求解(x m) 2=n (n 0)形式的方程，可以理解降阶变换的数学思想。困难通过根据平方根的含义求解x2=n的方程，根据平方根的含义将知识转移到(x m) 2=n (n 0)的方程中。一、审查介绍学生活动：请完成下列问题。问题1:填空(1)x2-8x+_ _ _ _ _ _ _ _=(x-_ _ _ _ _ _ _ _)2；(2)9 x2+12x+_ _ _ _ _ _ _=(3x+_ _ _ _ _ _ _ _)2；(3)x2+px+_=(x+_)2。解答：根据完整的平方公式：(1)16 4；(2)4 2；(3)2。问题2:到目前为止，我们已经学习了哪些方程？两元怎么变成一元？有一个变量的二次方程和有一个变量的二次方程有什么区别？第二个怎么变成第一个？如何降低订单？你以前学过哪些减少次数的方法？第二，探索新知识我们已经在上面讨论过x2=9。根据平方根的含义，直接平方根产生x=3。如果x是2t 1，也就是说，(2t 1) 2=9，我们也可以用直接平方根法来求解吗？(学生分组讨论)老师的评语：答案是肯定的，将2t 1改为x，然后2t 1=3即2t 1=3，2t 1=-3两个方程是t1=1，T2=-2例1求解方程：(1) X2 4X 4=1 (2) X2 6X 9=2分析：(1) x2 4x 4是一个完整的平方公式，然后将原始方程转换成(x 2) 2=1。(2)从已知的，(x 3) 2=2直方，x 3=也就是说，x 3=，x 3=-所以，两个x1=-3，x2=-3-解决方法：稍微。例2市政府计划在两年内将人均住房面积从目前的10平方米增加到14.4平方米，寻求人均住房面积的年增长率。分析：如果年人均住房面积增长率为x，则一年后人均住房面积应为1010=10(1x)；两年后，人均住房面积应为10 (1 x) 10 (1 x) x=10 (1 x) 2解决方案：将年人均住房面积增长率设为x。那么：10 (1 x) 2=14.4(1+x)2=1.44直接平方根产生1 x=1.2也就是说，1 x=1.2，1 x=-1.2因此，这两个方程是x1=0.2=20%，x2=-2.2由于人均住房面积的年增长率应该是正的，x2=-2.2应该取消。因此，年人均住房面积增长率应为20%。(学生总结)老师引导问题：解二次方程的共同特征是什么？其共同特征是将一元二次方程“降阶”，并将其转化为两个一元二次方程。我们称这种想法为“降低秩序并转化它的想法”三。整合实践练习课本第六页。四.班级总结在这一课中，我们应该掌握：如果用直接开平方法把x=转换成(Mx n) 2=p (p 0)的方程，那么Mx n=就可以达到降阶转换的目的。如果p 0，则方程没有解。五、家庭作业教科书第16页复习并巩固了1。二班作业法的基本形式理解间接法就是用开平方法通过变形来降低求解方程的阶次，并能巧妙地应用它来解决一些具体问题。通过考察可直接转化为x2=p (p 0)或(MX n) 2=p (p 0)的二次方程的解，介绍了不能直接转化为上述两种二次方程形式的求解步骤。强调很难解释直接降阶，例如x2 6x-16=0的二次方程的求解步骤。困难将非直接可约解方程转化为直接可约解方程的转化方法和技巧。一、审查介绍(学生活动)请解决以下等式：(1)3 x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x 2+16x+16=9(4)4x 2+16x=-7教师点评：上述方程可转化为x2=p或(MX n) 2=p (p 0)，即可得出X=或mx n=(p 0)。例如：4x2 16x 16=(2x 4) 2，你能把4x2 16x=-7转换成(2x 4) 2=9吗？第二，探索新知识列出下列问题的方程式并回答它们：(1)所列方程(已简化为一般形式)和刚解的方程之间有什么区别？(2)我们能直接使用我们面前的三个方程的解吗？问题：要使一个长方形的场地比它的宽度长6米，面积为16平方米，场地的长度和宽度是多少？(1)简化为一般形式的所列方程与前三个问题的不同之处在于，前三个左侧完全与X平，后两个不具有这一特征。因为不可能直接降低解方程的阶，我们应该试着把它转换成一个能直接降低解方程的阶的方程。接下来，我们将讨论如何转换它：X2 6x-16=0换档 X2 6x=16在两侧加(6/2)2，使左侧形成x2 2bx B2 x2 6x 32=16 9左侧写为正方形 (x 3) 2=25倍低 x 3=5，即x 3=5或x 3=-5求解主方程 x1=2，x2=-8可以验证x1=2，x2=-8是方程的根，但是站点的宽度不能是负的，所以站点的宽度是2 m，长度是8 m。像上面解决问题的方法一样，用一个变量解决二次方程的方法叫做匹配法。可以看出，公式法是通过将一个变量的二次方程转换成两个一个变量的二次方程来降阶。例1下面关于X的方程用公式法求解：(1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-=0三。整合实践练习1，2。(1) (2)在教科书的第9页。四.班级总结这一课应该掌握：将一元二次方程的完全方型转化为完全方型，x在左边，非负数在右边，可直接化简为方程的解。五、作业课本第17页复习巩固2、3。(1) (2)。作业方法在三班的灵活运用理解公式法的概念，掌握用公式法求解二次方程的步骤。通过回顾上一课的解题方法，给出了公式法的概念，然后用公式法解决了一些具体问题。强调解释解决公式法问题的步骤。困难用公式法求解二次系数为1的一维二次方程时，常数值项通常移到方程的右边，两边相加的常数值是一次项系数的一半的平方；对于二次系数不为1的一元二次方程，应先将二次系数改为1，然后用公式法求解。一、审查介绍(学生活动)求解以下等式：(1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0老师的评语：在上节课中，我们已经学习了如何求解不带X的完全平方形式的左手二次方程，以及不能用降阶直接求解的方程的变换问题，然后这两个问题也可以用上面的方法来解决。解决方法：轻微。(2)与(1)有什么关系？第二，探索新知识讨论：用公式法求解一元二次方程的一般步骤：(1)首先，将已知方程转换成一般形式；(2)二次项系数为1；(3)常数项向右移动；(4)将一阶项系数的平方的一半加到方程的两侧，使左侧匹配成完全平坦的模式；(5)变形为(x p) 2=q，如果q0，方程的根为x=-p；如果q 0，则方程没有真正的根。实施例1求解以下方程：(1)2x 2+1=3x(2)3x 2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析：我们已经介绍了公式法，因此，我们可以用公式法求解这些方程，即包含x的完全平坦法解决方法：稍微。三。整合实践练习2。(3) (4) (5) (6)在教科书的第9页。四.班级总结这一课应该掌握：1.公式法的概念和用公式解二次方程的步骤2.公式法是求解一元二次方程的一般方法。它的重要性不仅表现在一元二次方程的求解上，而且代数表达式的正负性质可以由公式和非负性质来判断。将来，在中学学习二次函数和二次曲线时会经常用到它。五、家庭作业复习巩固3。在教科书的第17页。补充：(1)给定x2 y2 z2-2x 4y-6z 14=0，求x y z的值。(2)验证：无论X和Y取任何实数，多项式X2 Y2-2x-4Y 16的值总是正的。21.2.2公式法了解一元二次方程根公式的推导过程，理解公式法的概念，熟练运用公式法求解一元二次方程。回顾了具体数的一元二次方程公式法的解题过程，介绍了ax2 bx c=0 (a 0)的根公式的推导，并用公式法求解了一元二次方程。强调根公式的推导和公式法的应用。困难一元二次方程根公式的推导。一、审查介绍1.我们研究了求解一元二次方程的“直接开平方法”，例如方程(1)x2=4 (2)(x-2)2=7问题1这个解决方案的(理论)基础是什么？问题2:这个解决方案的局限性是什么？(平板法只对特殊的二次方程有效，它等于非负数，不能应用于一般的二次方程。)2.面对这种局限，我们该怎么办？(使用公式法，一般形式的二次方程被公式化成可以“直接平方”的形式(学生活动)用公式法求解方程2x2 3=7x(老师评论)稍微总结用公式法求解二次方程的步骤(学生总结，老师点评)。(1)首先，将已知方程转换成一般形式；(2)二次项系数为1；(3)常数项向