——IIR数字滤波器的设计方法PPT课件

IIR数字滤波器的设计方法,1、基本概念2、最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统3、全通系统4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法5、实例：用巴特沃思或切比雪夫低通滤波设计低通、带通、高通、带阻等数字滤波器,6.1基本概念,数字滤波器是线性移不变离散时间系统1、数字滤波器设计内容：（1）根据要求确定滤波器的性能要求；（2）用因果稳定的离散线性移不变的系统函数逼近其性能要求（包括IIR和FIR系统函数）；（3）用算法实现该系统函数（包括选择运算结构、字长、有效数字的处理等）；（4）实际的技术实现（软件或硬件等）本课程主要讨论性能逼近或系统函数的设计。,2、描述滤波器的基本参数,见图6-2(1)谱带:在滤波器的幅值频谱中，有通带、阻带和过渡带之分通带：以带内的幅值大小来表示，幅值较大或接近最大值的带为通带阻带：幅值较小或接近最小值的带为阻带过渡带：在通带和阻带之间变化的带为过渡带,(2)容限:在各带内的幅值可波动，但不能超过允许的限度。该容许的波动量或系数是容限可用容限和衰减系数表示通带和阻带的容限分别为a1、a2；通带和阻带的衰减系数用分贝表示1=-20lg(1-a1)，2=-20lg(a2)(1-a1)是通带的最小幅值，a2是阻带的最大幅值,3、数字滤波器按频率特性分低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅频响应-,或0,2图6.1,4、频率换算关系采样频率为fs，数字滤波器设计中的各频率f换算为数字角频率=2f/fs根据奈奎斯特定理，滤波器的频率特性只能限于|s/2=也称为折叠频率,5、数字滤波器的三个参量系统函数是H(z)，z平面单位圆上的频响是H(ejw)频率特性参量：幅(度平方)频响应,相频特性,群延时响应(1)幅度平方响应(意义)单位冲击响应是实数,H(z)和H*(z)满足共轭对称条件,则若z是H(z)的极点,则1/z是H*(z)的极点,必存在;其零极点是共轭对称的，且以单位圆为镜像对称,系统函数零极点的选取：为使H(z)是可实现的(收敛)系统，只取单位圆内的极点作为H(z)极点；而零点可在z平面的任意位置，故只取单位圆内的极点作为H(z)的极点。如果选z平面单位圆内的零点为H(z)H*(z)的零点，则得最小相位延迟滤波器。,(2)相位响应(意义),因所以（6.5）又又有（6.6）,(3)群延迟响应,波Acos(wt=b)中，波的位置和状态参量是相位，幅值表征能量；群延时是滤波器平均延迟的度量，为相位对角频率的导数的负值（6.7）化为（6.8）因所以,又有（6.9）同样可化为（6.10）注意：当滤波器为线性相位响应特性(相位与频率成比例)时，则通带内群延迟特性为常数。,IIR滤波器设计中的逼近问题(任务),IIR系统函数(与FIR的区别)（6.11）IIR滤波器设计:求出滤波器各系数ak、bk，使其在规定频率上逼近所要求的(幅、相)特性。z平面上逼近就得数字滤波器，s平面上逼近就是模拟滤波器。,数字滤波器的设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标要求的数字滤波器。(有现成的模拟滤波器及其公式，方便准确)（2）计算机辅助设计方法。IIR的设计计算较复杂，不考试；但须掌握设计过程和方法,6.2最小或最大相位延时或超前系统(四种系统),任何线性时不变系统的系统函数为(cm,dK为复数)（6.12）系统频率响应（6.13）,对H(ejw)/K进行研究：因h(n)是实数序列，K为实数，只产生固定相位，不影响相频谱的分布特性。H(ejw)/K的模（6.14）其相位(三部分)（6.15）,若mi、mo、pi、po为单位圆内外的零、极点数，则M=mi+mo，N=pi+po说明零极矢量：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位圆上频率点的矢量。(ejw=零极矢+cm或dk),零极点分布对相角的影响（对应四种特殊系统）(1)因果稳定系统的收敛域为单位圆内的一个圆的外部,故全部极点在单位圆内，pi=N，po=0w从0到2p时，仅单位圆内零极点对相角有2p影响。故w变化2p时,Dw=2p，则辐角变化量w增加时，辐角变化为负，称为相位延时系统。,(a)当全部零点在单位圆内，mi=M，mo=0，有其相位变化最小，称为最小相位系统。(b)当全部零点在单位圆外，即mi=0，mo=M，有这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，仍然是因果稳定系统。,(2)逆因果(超前)稳定系统，极点全在单位圆外pi=0，po=N当w从0变到2p时，Dw=2p，则辐角变化量一般NM，相位的变化是正数，称为相位超前系统。,(a)全部零点在单位圆内时，mi=M，mo=0，有这时相位变化最大，称最大相位超前系统(逆因果稳定系统)。(b)全部零点在单位圆外时，mi=0，mo=M，有=2(N-M)这时相位超前最小，称最小相位超前系统(逆因果稳定系统)。,表6.1四种系统与其因果性、稳定性、零点、极点的关系。(略),最小相位系统很重要(通信和图象处理)，性质有(1)H(ejw)相同的系统中，其负相位最大(相位最小)(2)最小相位系统能量集中在n=0附近。(3)|H(ejw)|相同的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大(脉冲信号的拖尾小，希望的)。(4)在幅度响应|H(ejw)|相同的系统中，有唯一的最小相位延时系统。(5)级联全通系统，将最小相位系统的零点反射到单位圆外，可构成幅度响应相同的非最小相位延时系统,6.3全通系统,（1）定义：系统频率响应的幅度在所有频率均为1(或某较大数)的系统满足|Hap(ejw)|=1的一阶全通系统为（6.16）式中a为实数零极点如图6.3,高阶全通系统：由多个一阶系统组成(包含实零点/实极点一阶系统、复零点/复极点对一阶系统)复零点/极点的全通节系统函数（6.17）a为复数零极点如图6.4,复零极点全通系统的特点:(1)零极点在共轭反演或以单位圆为镜的镜像位置(2)h(n)是实数，复零点或极点以共轭对出现，其共轭零极点也是系统的零极点，必存在两个一阶全通节(3)级联可组成二阶实系数全通子系统，其形式如下,N阶全通系统的频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为(零极点及单位圆镜象对称决定)式中当z=ejw时，满足D(ejw)=D*(e-jw)（6.21）故|H(ejw)|=1（6.22）,（2）全通系统的应用,1)任何因果稳定的(非最小相位延时)系统的H(z)都可表示为全通系统Hap(z)和最小相位延时系统Hmin(z)的级联（6.23）这样，H(z)和Hmin(z)幅频响应相同，相频特性不同：（6.26）相位是两子系统的相位和argH(z)=argHmin(z)+argHap(z)可用简单的最小相位延时系统表征原因果稳定系统(主要是幅频特性相同,相位特性不关心时用),例证：因果稳定非最小相位延时系统（6.24）设1/z0和1/z0*是单位圆外的两零点，H1(z)零点在单位圆内，则（6.25）因|z0|1，故H1(z)(1-z*0z-1)(1-z0z-1)是最小相位延时(全部零极点在单位圆内)，而其余项是一阶全通级联。故6.23式成立。,说明:分解为全通和最小相位延时子系统的方法是：因果稳定系统的极点必在单位圆内，而零点分为单位圆内外两部分；单位圆内的零点(包括圆外点在圆内的镜像)为最小相位延时系统的零点，单位圆外的零点为全通系统的零点,2)若滤波器是不稳定的，可级联全通函数使其为稳定系统：不稳定滤波器在单位圆外有极点，由原系统的单位圆外极点作为全通系统的零点构建；再与原滤波器级联，幅值谱不变(不影响幅频性)，级联后零极点抵消，系统稳定。例：原滤波器有单位圆外极点对z=r-1ejq，|r|1级联全通系统则单位圆外极点抵消，幅度性不变，但系统稳定,3)作为相位均衡器(群延时均衡器):不改变幅频特性时，可得线性相位。(略)一般，IIR滤波器的相位是非线性的设全通滤波器为Hap(z)，原IIR系统为Hd(z)级联后，H(z)为其频谱为相位关系,按定义-得在通带，用全通系统的群延时逼近原IIR系统群延时的非线性负值，抵消其非线性部分，使通带的群延时满足t(w)=t0常数(线性相位系统)逼近误差的平方值要求:全通系统逼近后的误差越小越好。这是优化设计(寻找困难),6.4模拟滤波器转换(设计)IIR数字滤波器,成熟的模拟滤波器较多，设计简单规范；根据已有模拟滤波器可设计数字滤波器基本方法：把模拟滤波器Ha(s)的s平面映射到z平面的所需数字滤波器H(z)。基本要求：1)Ha(s)的频响能模仿H(z)的频响(即频率轴对应,s的虚轴j映射到s的单位圆)2)因果稳定系统的Ha(s)能映射成因果稳定的H(z)模拟滤波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考尔(椭圆型)等(低通),根据不同频带变换，从已有模拟到数字滤波器的方法有:方法1:1)用模拟频带转换法将模拟滤波器转换成所需类型(低、高、带、带阻频谱)的模拟滤波器；2)再用模拟到数字的映射方法，转换为相应数字滤波器.方法2:1)用模拟映射到数字法，将模拟转换为对应的数字滤波器；2)再用数字频带变换法，将数字的(不满足频谱要求)转换为所需数字滤波器.方法3:对严格带限的数字滤波器(低通或带通)，通过频率变换，可将1)模拟频带转换和2)模拟转换数字的过程合为一步完成。共有关键步骤：1)模拟到数字的变换；2)频带转换其中，模拟到数字的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法。,1冲激响应不变法,（1）变换基本原理使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)。即用ha(t)的抽样作为h(n)（6.27）用2.53式得抽样z变换与模拟拉氏变换的关系（6.28）,变换关系z=esT，s=(lnz)/T与2.5节一致，如图6.7：1)S平面的每个2/T宽横条重叠映射到Z平面，体现Z的相位对S虚轴有2j/T的周期性；2)S虚轴j映射到z单位圆，虚轴每段2/T的线段重复映射到单位圆的一周；3)S各横条的左半边映射到Z单位圆内,其右半边映射到单位圆外4)该周期性使冲击响应不变法不代表S到Z的简单变换,(2)模拟滤波器的数字化,按冲击响应不变法，变换过程：模拟系统Ha(s)拉氏反变换得ha(t)对模拟响应抽样得h(n)再取z变换据极点特点、s和z平面关系求变换关系：A、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，展开成部分分式（分母阶次一般大于分子阶次）（6.32）冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉氏反变换，再对ha(t)抽样得（6.33）,对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数比较Ha(s)和H(z)：1)s单极点s=sk变换到z上z=exp(skT)处单极点;2)两部分分式系数相同Ak3)若模拟滤波器稳定(Resk0)，变换后的极点在单位圆内|exp(skT)|数字低通冲击响应不变、双线性变换法直接转换(2)数字带通滤波器1)模拟低通HLP(s)-模拟带通Hbp(p)2)模拟带通Hbp(p)-数字带通HBP(z)双线性变换：p是模拟带通拉氏变量，模拟带通中心频率，c系数,参数的确定：(见p274图6-27)1)c:带通数字化的双线性变换中，带通的中心频率对应，则2)模拟带通中心频率,图6-27模拟低通-模拟带通-数字带通的幅频特性关系,模拟低通,模拟带通,数字带通,p,简并方法：模拟频带转换s-p和数字化p-z合并设,则数字带通滤波器为,综上，数字带通滤波器的设计步骤：1)确定目标数字带通参数：截止w1、w2及a1；2)确定模拟带通参数：截止及a1设定;确定c;由w1、w2计算;计算Wc3)设计模拟低通滤波器：根据Wc、a1及阻带最大值设计HLP(s)(见6.8)4)转换：据(6-149)式直接转换为数字带通滤波器,(3)数字带阻滤波器设计思想和过程与前述相似1)模拟低通HLP(s)-模拟带阻Hbr(p)2)模拟带阻Hbr(p)-数字带阻HBR(z)双线性变换：p是模拟带阻拉氏变量，模拟带阻中心频率，c系数,参数的确定：(见p278图6-30)1)c:数字化的双线性变换中，带阻中心频率对应，则2)模拟带阻中心频率,图6-30模拟低通-模拟带阻-数字带阻的幅频特性关系,简并方法：模拟频带转换s-p和数字化p-z合并设,则数字带阻滤波器为,综上，数字带阻滤波器的设计步骤：1)确定目标数字带阻参数：截止w1、w2及a1；2)确定模拟带阻参数：截止及a1设定;确定c;由w1、w2计算;计算Wc3)设计模拟低通滤波器：根据Wc、a1及阻带最大值设计HLP(s)(见6.8)4)转换：据(6-168)式直接转换为数字带阻滤波器,(4)数字高通滤波器设计思想和过程与前述相似1)模拟低通HLP(s)-模拟高通Hhp(p)2)模拟高通Hhp(p)-数字高通HHP(z)双线性变换：p模拟高通拉氏变量，模拟高通截止频率，c系数；Wc模拟低通截止频率，Wc=1或=,参数的确定：(见p283图6-34)1)c:数字化的双线性变换中，高通截止频率对应，则2)Wc=1或Wc=Wc=1为归一化设计（常用）,图6-34模拟低通-模拟高通-数字高通的幅频特性关系,简并方法：模拟频带转换s-p和数字化p-z合并设则数字高通滤波器为,综上，数字高通滤波器的设计步骤：1)确定目标数字高通参数：截止wc及a1；2)确定模拟高通参数：截止及a1设定;确定c;计算Wc=1或=3)设计模拟低通滤波器：根据Wc、a1及阻带最大值设计HLP(s)(见6.8)4)转换：据(6-175)式直接转换为数字高通滤波器,2、方法2：模拟低通数字化，再数字频带转换(1)设模拟低通已设计，模拟低通数字化：冲击响应不变、双线性变换等实现；(2)将数字低通转换为希望的数字滤波器：两z平面的映射变换，即用数学式关联两变量，实现数字频带变换。下面给出数字低通到其他数字滤波器的频带转换公式：设z为原数字低通HL(z)的z变量，Z是变换后Hd(Z)的变量,(1)数字低通-数字低通HdL(Z)其中qc是变换前数字低通的截止频率(已知)；wc是变换后数字低通的截止频率(已知)。变换前后的数字幅频谱如图6-37,图6-37数字低通-数字低通变换的幅频关系,p,(2)数字低通-数字高通HdH(Z)(6-189)式中用-Z-1代替Z-1其中qc是变换前数字低通的截止频率(已知)；wc是变换后数字高通的截止频率(已知)