南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案

高三数学试题第 1页（共 4 页） 盐城市、南京市盐城市、南京市 2020 届高三年级第届高三年级第一一次模拟考试次模拟考试 数数学学2020.01 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本 试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案 写在答题 卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式： 柱体体积公式：柱体体积公式：VSh，锥体体积公式：，锥体体积公式：V1 3 Sh，其中，其中 S 为底面积，为底面积，h 为高为高 样本数据样本数据 x1，x2，xn的方差的方差 s21 n n i1(xi )2，其中，其中1 n n i1xi 一一 填空题填空题:本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡 的指定位置上的指定位置上 1已知集合 A(0，)，全集 UR，则 U A 2设复数 z2i，其中 i 为虚数单位，则 zz 3学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 4命题“R，cossin1”的否定是命题(填“真”或“假”) 5运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 6已知样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110，则此样本的方差 是 7在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O 的 距离为 8若数列an是公差不为 0 的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则a2 a1 的值为 9 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 点 P 是棱 CC1上一点， 记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 PABB1A1 的体积分别为 V1与 V2，则V2 V1 10设函数 f(x)sin(x)(0，0 2 )的图象与 y 轴交点的纵坐标为 3 2 ，y 轴右侧第一个 最低点的横坐标为 6 ，则的值为 S0 I0 WhileS10 SSI II1 EndWhile PrintI END （第 5 题图） 高三数学试题第 2页（共 4 页） 11已知 H 是ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH 1 4 AB 1 2 AC ，则 cosBAC 的值为 12若无穷数列cos(n)(R)是等差数列，则其前 10 项的和为 13 已知集合 P(x， y)| x|x|y|y|16， 集合 Q(x， y)| kxb1ykxb2， 若 PQ， 则|b1b2| k21 的最小值为 14若对任意实数 x(，1，都有| ex x22ax1 |1 成立，则实数 a 的值为 二二解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请 把答案写在答题把答案写在答题卡卡的指定区域内的指定区域内 15(本小题满分 14 分) 已知ABC 满足 sin(B 6 )2cosB （1）若 cosC 6 3 ，AC3，求 AB； （2）若 A(0， 3 )，且 cos(BA)4 5 ，求 sinA 16(本小题满分 14 分) 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1上的一点 （1）若 AC1/平面 PBD，求PC1 PC 的值； （2）求证：BDA1P AB C D D1 A1 B1 C1 P （第 16 题图） 高三数学试题第 3页（共 4 页） 17(本小题满分 14 分) 如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶具体做法是 从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q 做圆柱的底面， 裁剪出一个矩形 ABCD 做圆 柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点 A、B 在O 上，点 P、Q 在O 的一 条直径上，ABPQ，P、Q 分别与直线 BC、AD 相切，都与O 内切 （1）求圆形铁皮P 半径的取值范围； （2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大(不取近似值) 18(本小题满分 16 分) 设椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e，动点 P(x0，y0)在椭圆 C 上 运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2）延长 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A，B(A，B 不重合)设AF1 F 1P ，BF 2 F 2P ， 求的最小值 A B C D O Q P （第 17 题图） y （第 18 题图） A B P F1F2O x 高三数学试题第 4页（共 4 页） 19(本小题满分 16 分) 定义：若无穷数列an满足an1an是公比为 q 的等比数列，则称数列an为“M(q)数列” 设数列bn中 b11，b37 （1）若 b24，且数列bn是“M(q)数列”，求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前 n 项和为 Sn，且 bn12Sn1 2 n，请判断数列bn是否为“M(q)数列”， 并说明理由； （3）若数列bn是“M(2)数列”，是否存在正整数 m，n 使得4039 2019 bm bn 4040 2019 ?若存在，请求 出所有满足条件的正整数 m，n；若不存在，请说明理由 20(本小题满分 16 分) 若函数 f(x)exae xmx (mR)为奇函数，且 xx0时 f(x)有极小值 f(x0) （1）求实数 a 的值； （2）求实数 m 的取值范围； （3）若 f(x0)2 e 恒成立，求实数 m 的取值范围 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1 2 3(,05 2 3 4真 56 6 722 3 83 9 2 3 107 11 3 3 1210 134 14 1 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15解： （1）由sin()2cos 6 BB可知BBBcos2cos 2 1 sin 2 3 ， 移项可得3tanB，又), 0(B，故 3 B， 2 分 又由 6 cos 3 C ，), 0(C可知 3 3 cos1sin， 4 分 2 CC ABC 高三数学答案 第 1 页 共 7 页 故在中，由正弦定理 C c B b sinsin 可得 C ABAC sin 3 sin ，所以2AB. 7 分 （2）由（1）知 3 B，所以0, 3 A 时， ) 3 , 0( 3 A， 由 4 cos即 5 BA 5 4 ) 3 cos( A 可得 5 3 ) 3 (cos1) 3 sin( ， 10 分 2 AA 10 334 5 3 2 1 5 4 2 3 ) 3 sin( 3 cos) 3 cos( 3 sin) 3 ( 3 sin(sin.14 分 AAAA 16 （1）证明：连结交ACBD于点，连结OP， O 又因为平面，平面 1/ / AC PBD 1 AC 1 ACC 平面平面，所以 3 分 1 ACCOPBDP 1/ / ACOP 因为四边形ABCD是正方形，对角线交ACBD于点 ， O 所以点O是AC的中点，所以AOOC， 所以在中， 1 ACC 1 1 PCAO PCOC . 6 分 （2）证明：连结. 11 AC 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面 1 C CABCD， 又BD 平面ABCD，所以CC8 分 1 BD 因为底面ABCD是正方形，所以 10 分 ACBD 又，面， 面， 1 ACCCCAC 11 ACC A 1 CC 11 ACC A 所以BD 面. 12 分 11 ACC A 又因为,所以 111 ,PCC CCACC A面 1 A 11 PACC面，又因为 11 AACC 1 A面， 所以 A1P 面 ACC1A1,所以 1 BDA P 14 分 17解： （1）设半径为P?r，则)2(4rAB， 所以的周长P? 2 )2(41622rBCr， 4 分 解得 4 16 2 r，故半径的取值范围为P? 4 16 , 0( 2 . 6 分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积， 8 分 )2(4 22 rrABrV 设函数),2()( 2 xxxf 4 16 , 0( 2 x， 所以，由于 2 34)(xxxf 3 4 4 16 2 ， 所以在定义域上恒成立， ( )0fx 故( )f x在定义域上单调递增， 即当 4 16 2 r时，体积取到最大值. 13 分 答：半径的取值范围为P? 4 16 , 0( 2 ，当 4 16 2 r时，体积取到最大值. 14 分 18.解： （1）由当轴时，可知 2 PFx 0 1x1c ， 2 分 将， 0 1x 0 ye代入椭圆方程得 2 22 1 1 e ab （） ， 而 1c e aa ，代入（）式得 2222 1baca 222 11 1 (1)aaa ， 解得，故，椭圆C的方程为 22 2a 1b 2 2 1 2 x y.4 分 （2）方法一：设，由得 11 ( ,)A x y 11 AFFP 1) 10 10 1(xx yy ，故 10 10 1xx yy ， 代入椭圆的方程得 2 2 0 0 (1) () 2 x y 1（） ， 8 分 又由 2 2 0 0 1 2 x y得 2 2 0 0 1 2 x y ，代入（）式得 222 00 1 (1)2(1) 2 xx2， 化简得，即 2 0 3212 (1)x 00 0 (1)(312)x ，显然10 ， 0 3120 x ，故 0 1 32x .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 116 3232943xxx 2 ， 当且仅当时取等号，故 0 0 x 的最小值为 2 3 . 16 分 方法二：由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合，故可设直线的方程为PA1xmy， 联立 2 2 1 2 1 x y xmy ，消去x得（） ， 22 (2)210mymy 设，则 11 ( ,)A x y 1 y与 0 y为方程（）的两个实根， 高三数学答案 第 2 页 共 7 页 由求根公式可得 2 0,1 2 22 2 mm y m ，故 01 2 1 2 y y m ，则 1 2 0 1 (2) y my ，8 分 将点代入椭圆的方程得 00 (,)P xy 2 2 0 0 1 2 x y， 代入直线的方程得，PA 00 1xmy 0 0 1x m y ， 高三数学答案 第 3 页 共 7 页 由得 11 AFFP 10 yy，故 1 0 y y 22 22 0 0 0 0 11 1 (2) ()2 x my y y 22 22 00 00 11 1 (1)232 (1)2(1) 2 0 1 xyx xx .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 116 3232943xxx 2 ， 当且仅当时取等号，故 0 0 x 的最小值为 2 3 . 16 分 注： （1）也可设( 2cos ,sin )P得 1 32 2cos ，其余同理. （2）也可由 11 6 运用基本不等式求解的最小值. 19解： （1），且数列 2 4b n b是“ M q数列”， 32 21 74 1 4 1 bb q bb ， 1 1 1 nn nn bb bb ， 1nnnn bbbb 1 ，2 分 故数列 n b是等差数列，公差为， 21 3bb 故通项公式为，即. 4 分 1 (1) 3 n bn 32 n bn （2）由 1 1 2 2 nn bSn 得 2 3 2 b， 3 437b，故1. 方法一：由 1 1 21 2 nn bSn 得 21 1 2(1) 2 nn bSn 1， 两式作差得 211 1 2 2 nnn bbb ，即 21 1 3 2 nn bb ， 又 2 5 2 b， 21 1 3 2 bb， 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立，6 分 则 1 3() 44 nn bb 11 ，而 1 0 44 b 13 ， 1 0 4 n b， 1 1 4 3 1 4 n n b b ， 1 4 n b是等比数列， 8 分 高三数学答案 第 4 页 共 7 页 1 (1) 33 444 nn n b 111 ， 11 3 44 n n b， 21 21 1 1 1111 (3)(3) 4444 3 1111 (3)(3) 4444 nn nn nn nn bb bb ， 1nn bb 是公比为3的等比数列，故数列 n b是“ M q数列”.10 分 方法二：同方法一得 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立， 则 21 1 3 2 nn bb ，两式作差得，而 211 3() nnn bbbb n21 3 0 2 bb， ， 1 0 nn bb 21 1 3 nn nn bb bb ，以下同方法一. 10 分 （3）由数列 n b是“数列”得 2M 1 121 () 2n nn bbbb ， 又 32 21 2 bb bb ， 2 2 7 2 1 b b ， 2 3b 21 2bb， 1 2 nn bb n ， 当时， 2n 11221 ()()() nnnnn bbbbbbb 1 b 1 1 ,m n 12 222 12 nnn ， 当时上式也成立，故 ， 12 分 1n 2n n b 假设存在正整数使得 40394040 20192019 m n b b ，则 4039214040 2019212019 m n ， 由 214039 1 212019 m n 1 mn n可知，m，又为正整数，212 ,m n1mn， 又 212(21)21214040 2 2121212019 mm nnm nm n m n nnn ， 4040 23 2019 m n ，1mn， 211 2 2121 m nn ， 403914040 2 2019212019 n ， 20202 2 2021 n ， 10n 11m 故存在满足条件的正整数，,m n11m 10n . 16 分 20解： （1）由函数为奇函数，得)(xf0)()(xfxf在定义域上恒成立， 所以 ， 0 mxaeemxaee xxxx 化简可得 ，所以0)()1 ( xx eea1a. 3 分 （2）法一：由（1）可得， mxeexf xx )( 所以 x xx xx e mee meexf 1 )( 2 ， 其中当时，由于恒成立， 2m 01 2 xx mee 即恒成立，故不存在极小值. 5 分 0)( x f 当时，方程有两个不等的正根， 2m 01 2 mtt )(, 2121 tttt 故可知函数在上单调递增， mxeexf xx )(),(ln),ln,( 21 tt 在上单调递减，即在处取到极小值， )ln,(ln 21 tt 2 lnt 所以，的取值范围是 m), 2( . 9 分 法二：由（1）可得， mxeexf xx )( 令， meexfxg xx )()( 则 x x xx e e eexg 1 )( 2 ， 故当时，；当时，0x0)( x g0x0)( x g， 5 分 故在上递减，在上递增， )(xg)0 ,(), 0( ， mgxg2)0()( min 若，则恒成立，单调递增，无极值点； 02m0)(xg)(xf 所以，解得， 02)0(mg2m 取，则mtln0 1 )( m tg， 又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函 数的零点，为极小值. )(xg ) , 0t )(xf ), 0(t 0 x (xg)( 0 xf 所以，的取值范围是 m), 2(. 9 分 （3）由满足， 0 x mee xx 00 代入， mxeexf xx )( 消去 m 可得， 11 分 00 )1 ()1 ()( 000 xx exexxf 构造函数， xx exexxh )1 ()1 ()( 所以，当时，)()( xx eexxh 0 x0 1 2 x x xx e e ee ， 所以当时，恒成立，故 h(x)在0，+0x0)( x h )上为单调减函数，其中 e h 2 ) 1 (， 13 分 则 0 2 ()f x e 可转化为， 0 ()(1)h xh 故，由，设， 1 0 x mee xx 00 xx eey 可得当时，在上递增，故0x0 xx eey xx eey 1 , 0( e em 1 ， 综上，的取值范围是 m 1 , 2( e e . 16 分 附加题答案 21.（A）解：设圆C上一点( , )x y，经矩阵M变换后得到圆C上一点( ,)x y， 高三数学答案 第 5 页 共 7 页 所以 3 32 axx yy ，所以 3 32 axyx xyy ，5 分 又圆，所以圆的方程为 22 :Cxy133C 22 (3 )(32 )1axyxy， 化简得， 222 (9)(612)1313axaxyy 所以，解得 2 913 612 a a 0 2a . 10 分 21.（B）解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos2 sinm，可得直角坐标方程为20 xym， 又曲线4sin，所以 2 4 sin，其直角坐标方程为 22 (2)4xy， 5 分 所以曲线4sin是以为圆心，为半径的圆， (0,2)2 为使直线被曲线（圆）截得的弦最长，所以直线过圆心， AB(0,2) 于是，解得. 10 分 02 20m 4m 21.（C）解：因 123 1 abc ，所以 149 1 23abc ， 由柯西不等式得 2 149 23(23 )()(123) 23 abcabc abc ， 即， 5 分 2336abc 当且仅当 149 23 23 ab ab c c ，即时取等号，解得abc6abc， 所以当且仅当时，取最小值 36. 10 分 6abc23abc 22解： （1）以CD，所在直线建立如图所示空间直角坐标系AB 1 OOOxyz， 由CD，所以，2 1 3AA (0, 1,0)A(0,1,0)B( 1,0,0)C ，从而 ， (1,0,0)D 1(0, 1,3) A 1(0,1,3) B 1 ( 1,AC 1 , 3) 1 BD (1 , 1, 3) 所以 11 222222 1 1 1 ( 1)( 3) ( 3)7 cos, 11 ( 1)1( 3)1( 1)( 3) AC BD ， 所以异面直线与 1 AC 1 B D所成角的余弦值为 7 11. 4 分 （2）设，则 1 0AAm 1(0, 1, ) Am， 1(0,1, )Bm， 所以 1 ( 1,1,)ACm ， 1 (1, 1,)BDm ，CD(2,0,0) ， 设平面的一个法向量