13.4 课题学习 最短路径问题

第十一章三角形11.1三角形相关线段11.1.1三角形的边学习目标：1.能够解决轴对称简单的最短路径问题2、体会图形变化在解决最有价值的问题中的作用，领悟到改变思想要点：解决轴对称简单的最短路径问题难点：轴对称解决简单的最短路径问题自主学习一、知识链接1 .如图所示，连接a、b两点的全部连接中，哪个最短？ 为什么？2 .如图所示，点p是直线l以外的点，连接点p和该直线l上的各点的所有线段中，为什么最短在我们之前的学习中，比较线段大小的基本事实是什么？(1)三角形的三边关系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)直角三角形中边的关系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 .如图所示，如何为点a的直线l创建对称点？在教室里探究1、寻找要点实际问题：如图所示，牧马人从点a一直到河边l喝马，然后到b，牧马人可以喝到河边多少马，走路最短？探索点1 :牧人喝马的问题数学问题：如图所示，点a、b在直线l同一侧，在直线l上求出点c，使AC BC最短.想一想1 .现在把点a、b分别假设为直线l的相反侧的2点，如何在l上找到点，使该点a、点b的距离之和最短？2 .如果点a、b分别是与直线l相同侧的2点，那么如何使点b“移动”到l的相反侧的b ，满足直线l上的任意点c，则CB和CB 的长度相等？要点摘要： (1)关于点b直线l的对称点b； (2)连接ab 的直线l和点c相交。求出点c .学过的知识能证明你所做的点c使AC BC最短吗？证明：要点：在解决牧人喝马的问题时，通常利用轴对称将未知问题转化为已解决问题，并进行最短路径选择典型的精析例1 :如图所示，已知点d、点e分别是正三角形ABC的BC、AB边在中点，AD=5，点f是AD边上的移动点，BF EF的最小值是()A.7.5 B.5 C.4 D .不能确定方法总结：求线段和的最小值的这种问题，重要的是找出准对称点，然后将求线段长的和转换为求线段长，并根据已知条件求解。例2 :如图所示，在直角坐标系中，点a、b的坐标分别为(1、4 )(3，0 )，点c是y轴上的可动点，a、b、c这3点不同在直线上，ABC周长最小的时刻c的坐标为()a.(0，3 ) b.(0，2 )c.(0，1 ) d.(0，0 )方法总结：求出三角形周长的最小值，首先确定有动点的直线和固定点，形成一个固定点相对于有动点的直线的对称点，将其与另一个固定点连接，与有动点的直线的交点是三角形周长最小时的动点位置。探究点二：桥梁选址问题实际问题：如图所示，a和b在河两岸，现在在河上建造桥MN。 桥造在哪里能够使从a到b的路径AMNB最短(假设河的两岸是平行的直线，桥与河垂直)。数学问题：如图所示，在任意位置创建桥MN来连接AM和BN，假定从a到b的路径为AM MN BN，如何最短？想一想。 什么样的图形转换可以在不改变AM MN BN的情况下将桥转换成单侧呢？画画：(1)把a移到岸边；(2)把b移到岸边(3)使桥直线移动到与a相连为止(4)使桥直线移动到与b相连为止。比一比： (1)(2)(3)(4)中，将AM MN BN最小化的方法是什么？要点摘要：如图所示，如果将A1B的河岸连接至n桥MN，以使得从a-1直线移动至a-1并且AA1等于河宽，则路径AM MN BN为最短想一想：这时AM MN BN最短怎么说？证明：作为别的桥M1N1，与AM1、BN1、A1N1连接为了训练1 .如图所示，直线l是一条河，p、q是两个村庄。 试图在l上某处建造泵站，向p、q供水，以往有以下4种铺设方案。 图中实线表示铺设的管道。 必要的管道是最短的是()2 .如图所示，一名观光船从桥AB的p地点到原来的q地点迎接观光客，将观光客送到河岸BC，返回p地点，画出观光船的最短路线3 .如图所示，小河有两个村a、b，应该在河里建设自来水厂给a村和b村供水(1)要使工厂地址与a、b两村的距离相等，请选择建设哪个工厂(要求：留下作图痕迹，写下必要的文字说明)从工厂到a、b两村的水管最短的话，应该在哪里建设呢牧人喝马的问题二、教室总结轴对称线段公理最短路径问题平移桥梁选址问题在法庭上检查1 .如图所示，在与直线m相同一侧有a、b两点，a、a 关于直线m对称，a、b关于直线n对称，直线m和ab和n分别与p、q相交，以下的说法是正确的()A.P是从m到a、b距离之和最短的点，q是从m到a、b的距离相等的点B.Q是从m到a、b距离之和最短的点，p是从m到a、b的距离相等的点C.P、q都是从m到a、b距离之和最短的点D.P、q都是从m到a、b距离相等的点第1题图第2题图第3题图2 .图，2222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡A.10 B.15 C.20 D.303 .如图所示，牧童在a放马，其家是b，a、b和河岸的距离分别是AC和BD，AC=BD，到点a和河岸CD的中点的距离是500米，牧童从a把马带回河岸的水的最短距离是_米。4 .如图所示，在由边长为1的正方形构成的栅格中，AOB的顶点全部位于栅格上，点a、b的坐标分别为a(3、2 )、b(1、3 )。5 .如图所示，荆州古城河在cc 处弯成直角，河宽相同，从a到b，必经两座桥： DDee (桥宽无关)，护城河和两座桥是东西南北方向，如何架桥使addeEB的路程最短？扩大晋升6.(1)如图1所示，在AB直线侧的c、d这2点在AB上寻找点p，使由c、d、p这3点构成的三角形的周长最短，找到该点。(2)如图2所示，在AOB内部存在点p，在OA、OB中是