高一数学人教A版必修2：1.3.2 《球的体积和表面积》

1.3.2球的体积和表面积,1.掌握球体的体积公式和球面面积公式,会运用这些公式解决有关球体的体积和球面的面积计算问题.2.初步学会用柱锥台球的体积公式解决日常生活生产实际中的某些应用问题,能将数学应用于实际,服务于工农业生产.,课前热身,1.半径为R的球的体积是_.2.半径为R的球的表面积是_.,S=4R2,名师讲解,怎样分析与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”“接点”作出截面图.,典例剖析,题型一球的体积与表面积,例1:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3).,分析:由钢球的质量可求得钢球的体积,然后利用球的体积求出内径.,解:设空心钢球的内径为2xcm,那么钢球质量为解得由计算器得x2.24,2x4.5(cm).空心钢球的内径约为4.5cm.,规律技巧:在球的有关运算中,主要是对半径r的运算,通常可以列出关于r的方程,解方程求出r.也可以画轴截面,利用平面几何知识求出r.,变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为()A.16B.20C.24D.32(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱),解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直径为该四棱柱的体对角线.RS=4R2=24.,答案:C,题型二组合体问题,例2:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.,分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.,解:设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1所以,(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如下图.所以S2=4r22=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有所以S3=4r23=3a2.综上可得S1:S2:S3=1:2:3.,规律技巧:正方体内切球的直径等于正方体的棱长.正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长.,变式训练2:如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?,解:由图可知,半球的半径为4cm,圆锥的高为12cm.V半球V圆锥4212=64cm3,冰激凌化了,不会溢出杯子.,题型三综合问题,例3:正方体等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)球的体积相等时,哪一个表面积最小?,解:设正方体棱长为a,等边圆柱底面半径为r,高为2r,球半径为R.则:V正方体=a3,V圆柱=r22r=2r3,规律技巧:本例说明在表面积一定的情况下,球的容积最大.,变式训练3:一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为底面周长为3,那么这个球的体积为_.,解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为所以球的直径为2,故球的体积为,易错探究,例4:已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是_cm3.,错解:上半部分为半球体,下半部分是正方体,体积为,答案:B,错因分析:半球体从每个方向看都是半圆,而三视图的侧视图中顶部并不是半圆,所以该几何体的顶部不是半球.,正解:由三视图知,该几何体的下半部分是棱长为2的正方体.上半部分是半个圆柱.所以体积为V=8+.,答案:A,1.若球的大圆面积扩大为原来的2倍,球的体积扩大为原来的()A.8倍B.4倍C.2倍D.2倍,解析:大圆的面积扩大为原来的2倍,半径扩大为原来的倍,所以球的体积扩大为原来的2倍.,答案:C,2.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为(),解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,球的表面积S球=4,正方体的表面积S正=6a2.S球:S正,答案:D,3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是()A.8cm2B.12cm2C.16cm2D.20cm2,解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,球的半径为球的表面积S=4.,答案:B,4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍,解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3=33=36,两个小球的体积和V1+V2=(13+23)=12.最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.,答案:C,5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为123,则此球的表面积为_.,解析:设球的半径为r,则(2r)2=12+22+32,球的表面积S=4r2=14.,14,6.若一个球的体积为4,则它的表面积为_.,解析:设球的半径为r,则它的表面积S=4r2=12.,12,7.将一铜球放入底面半径为4cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高9cm,则这个铜球的半径为_.,解析:设铜球的半径为r,依题意得,8.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,求h的值.,能力提升,9.球面上有四个点PABC,如果PAPBPC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.,解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一个球内接正方体,其棱长为a.,10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切,求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.,解:如图,作轴截面,设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面的高度为x,则x=3R.由题意:V水+V球=V锥.,11.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是(),解析:几何体的体积为,高为1,底