三角形中的角平分线.pptx

4.角平分线,知识点一,知识点二,知识点一角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.拓展归纳(1)“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点;(2)性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,它是经过角的平分线上的任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足之间的距离,而不是该点与角的两边上任意一点的距离(两点的距离).,知识点一,知识点二,例1如图,已知OD平分AOB,在OA,OB边上截取OA=OB,点P是OD上一点,PMBD于点M,PNAD于点N.求证:PM=PN.分析:,知识点一,知识点二,证明:OD平分AOB,1=2.,OBDOAD(SAS).3=4.又PMBD,PNAD,PM=PN.,知识点一,知识点二,知识点二角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.拓展归纳角平分线的判定与角平分线的性质的题设和结论恰好相反,不要弄混.由角平分线的性质和判定可以得到:角平分线是到角两边的距离相等的所有点的集合.,知识点一,知识点二,例2如图,BD=CD,CEAB,BFAC.求证:BAD=CAD.分析:要证明点D在BAC的平分线上,只需证明点D到BAC两边的距离相等,可以由BDECDF得到.证明:CEAB,BFAC,BED=CFD=90.,EBDFCD(AAS).DE=DF.点D在BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).BAD=CAD.,知识点一,知识点二,拓展点一,拓展点二,拓展点一三角形的三条角平分线性质的应用例1如图,三条公路两两相交于A,B,C三点.现计划修建一加油站,要求这个加油站到三条公路的距离相等,则可供选择建站的地方有多少处?请在图中画出来.分析:作三角形的角平分线,利用角平分线的性质解决问题.,解:如图所示.(1)作ABC两个内角的平分线,交点为P1;(2)分别作ABC外角的平分线,交点分别为P2,P3,P4.因此,满足条件的建站点有四处,即P1,P2,P3,P4.,拓展点一,拓展点二,拓展点一,拓展点二,拓展点二利用面积解决角的平分线的有关问题例2如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点P是否在AOB的平分线上?请说明理由.分析:,(需要作辅助线:作PDOA于点D,PEOB于点E.),拓展点一,拓展点二,解:点P在AOB的平分线上.理由如下:过点P分别作PDOA于点D,PEOB于点E.S四边形OMPG=S四边形OFPN,S四边形OMPG-S四边形OMPF=S四边形OFPN-S四边形OMPF,即SFPG=SMPN.,FG=MN,PD=PE.又PDOA,PEOB,点P在AOB的平分线上.,拓展点一,拓展点二,P28想一想逆命题:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,该命题是真命题.P29随堂练习1.解互相垂直.理由如下:,即ADAE.2.提示把公路、铁路看成两条相交直线,作出其交角在A区的平分线OB(O为顶点),在OB上作OC,使OC=2.5cm.点C即为所求.,习题1.91.解如图,结论:三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形的三边的距离相等.2.证明AD平分BAC且DEAB,DFAC,DE=DF.又BD=DC,RtBDERtCDF(HL).BE=CF.,3.证明证法1:C=90,A=30,ABC=60.DE垂直平分AB,EA=EB.ABE=A=30.CBE=ABC-ABE=30=ABE.BE平分ABC.证法2:C=90,A=30,BC=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半).DE垂直平分AB,BD=AB,BDE=90.BC=BD.,又C=90,BE=BE,RtBDERtBCE(HL).DBE=CBE(全等三角形的对应角相等).BE平分ABC.,4.解作法:如图,(1)作AOB的平分线OM;(2)连接CD;(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即为所求.,P31随堂练习证明过点F作FGAC,交AC于点G.AD平分BAC,FMAB,FGAC,FM=FG.同理:FG=FN,FM=FN.在BAC中,BAC=180-B-ACB=30.AD平分BAC,MEF=BAC+FCA=45+30=75.,EMFDNF(AAS).FE=FD(全等三角形的对应边相等).,习题1.101.证明C=90,B=30,BAC=60.AD平分BAC,DAC=BAD=30.B=30,BAD=B=30.BD=AD.C=90,DAC=30,AD=2CD.BD=2CD.,2.证明如图所示,过点F作FGAD,FHAE,FIBC.BF是DBC的平分线,FG=FI.同理,FH=FI.FG=FH.点F在DAE的平分线上.3.证明(1)P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,PC=PD.又OP=OP,RtOCPRtODP.OC=OD.(2)OC=OD,COP=DOP,OP是CD的垂直平分线.,4.解(1)如图,作BAC的角平分线AF或