弹性力学-06PPT课件

6-1基本量和基本方程的矩阵表示6-2有限元方法的概念、6-3单元的位移模式和解的收敛性、6-4单元的应变阵列、6-5单元的节点力阵列、6-6单元的刚度阵列、6-7单元的节点载荷阵列、6-7结构的节点载荷阵列的整体分析、6-8节点平衡方程求解的具体步骤、6-9单元的划分， 6-10计算结果的整理，第6章采用有限元法解决平面问题，有限元法工程应用实例1，头盔冲击试验模拟模型及结果，有限元法工程应用实例2，高强度钢板厚度10毫米，材料考虑应变率影响和失效，无任何约束。 模拟了初速度分别为120米/秒和180米/秒的钢球的冲击过程。穿甲试验模拟，初始速度为120米/秒，初始速度为180米/秒，有限元法工程应用实例3，动画显示了地基中心沉降随线性荷载变化的过程，云图显示了莫尔库仑材料塑性区的形成和大变形塑性流动过程。群桩复合地基承载力计算结果，6-1基本量和基本方程的矩阵表示，物理力阵，表面力阵，应力阵，应变阵，位移阵，物理方程，称为弹性矩阵。对于平面应变问题，只需分别替换弹性矩阵D中的e和e。(平面应力问题)，虚功方程可以用矩阵表示为：几何方程：此外，虚功方程也被有限元法使用，现在虚位移和虚位移对应的虚应变表示为：对于连续变形体，它可以代替平衡微分方程和应力边界条件。1.离散化连续体。6-2有限元方法的概念。有限元法是通过使用有限数量的有限尺寸单元的集合来近似原始连续体，这些单元在有限数量的节点处相互连接。当上述元素足够小，足以将网格划分为足够密集时，原始连续体就可以真正模拟。有限元方法分析的基本步骤如下：(2)单元分析：(1)选择合适的位移模式，用单元节点的位移(基本未知量)来表示单元中任意点的位移，即建立以下关系式：对于平面问题，最简单和最常用的单元是三角形单元。它们是平面应力问题中的三角形板和平面应变问题中的三棱柱。节点铰点，de称为单元节点位移阵。(2)通过应用几何方程获得单元的应变，即(3)通过应用物理方程获得单元的应力，即(其中S)被称为应力变换矩阵。其中N被称为形式函数矩阵。其中B被称为应变变换矩阵。(5)根据虚功相等的原则，作用在单元上的外载荷转移到单元的每个节点上，成为单元节点载荷；(4)由于单元产生的应力，有平衡的表面力和物理力作用在单元的边界和内部；现在，根据虚功相等的原则，它被移动到元素的每个顶点。作为结构其他部分通过节点作用在单元上的作用力，称为单元节点力，然后用虚功方程求出：即单元节点力，k即单元刚度矩阵。对每个节点进行平衡分析，列出平衡方程并建立得到整体节点平衡方程，其中K称为整体刚度矩阵。对于三节点三角形单元，假设位移分量只是坐标的线性函数，即a1、a2和a3由左边的三个方程求解，a4、a5和a6由右边的三个方程求解。回到U和V，发现在I，J和M的三个节点中，位移应该等于节点位移，即：1。位移模式：其中Ni、Nj和Nm为标称函数，其表达式为单位ijm的面积。为了防止面积为负，图中所示坐标系中ijm的顺序必须为逆时针方向。和分别是第一、第二和第三列的代数余形为了保证有限元方法解的收敛性，位移模式必须能够正确反映物体的真实位移模式，具体来说，必须满足以下三个条件。(1)位移模式必须反映单元的刚体位移。位移模式必须反映元件的恒定应变。(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。在ij和im的中点，在三角形ijm的质心，解的收敛，解的收敛意味着当单元的尺寸逐渐减小时，有限元方法的解收敛到实解。注： 是必要条件， 是充分条件。6-4单元应变阵和应力阵，其中B称为应变变换矩阵，可以写成，或简称为，将位移U和V代入几何方程，可以得到节点位移表示的单元应变：然后将单元应变代入物理方程，可以得到节点位移表示的单元应力，其中：可以缩写为：称为应力变换矩阵。可以以块的形式写入。注意：由于矩阵B的元素是常数，可见应变e的元素也是常数。因此，三节点三角形单元也称为平面问题的常应变单元。(平面应力)注意：在每个元素中，应力分量也是恒定的。因为相邻的元件通常具有不同的应力，所以应力在它们的公共边缘上是不连续的。另一方面，6-5单元的节点力阵列和刚度矩阵由虚功方程导出。由于元件产生的应力，作用在元件内部和边界上的物理力和表面力是平衡的。现在，根据虚功相等的原则，它被移动到单元的每个顶点，并成为单元节点力：假设单元节点I，j，m经历了虚位移，即，有：然后，(t-单元厚度)，然后：其中k被称为单元刚度矩阵。由于虚位移可以是任意的，代入上式：注：对于三节点三角形单元ijm，k可以写成块的形式：(平面应力)，例如，等腰直角三角形单元ijm被举例说明。试着写出单元的应力变换矩阵和刚度矩阵。在图中所示的坐标中，该单元的刚度矩阵k的解如下：该单元的刚度矩阵k的机械意义，以及其它块可以类似地找到。最后，单元刚度矩阵k的特征如下：注意，只有节点I有位移，其他节点位移都为零，那么，例如，在上面的例子中，如果j和m是固定的铰链支撑，则水平力p和垂直力p施加在节点I，然后计算单元位移分量u和v。在这一节中，根据虚功相等的原则，单元所承受的实际载荷(集中载荷、物理力和表面力)将转移到单元节点，成为单元节点载荷。在一定的位移模式下，这种位移的结果是唯一的，当简化到同一点时，原始荷载和位移后的节点荷载具有相同的主向量和弯矩。1。集中载荷：设定在点M有一个集中力：它是每单位厚度的力的大小。如果单元受到分布力，作用在微分体积tdxdy上的力可以作为集中载荷，上述结果可以积分得到：例如，如果单元ijm的密度为r，可以计算自重的等效节点载荷。解决方案：因为，那么，三，分布式表面力：如果一个单元在一侧受到分布式表面力，微分区域tds上的表面力可以被视为集中载荷，并且结果被积分以获得：例如，如果一个单元在ij侧受到沿x方向的均匀表面力q，尝试找到等效节点载荷。结论：在采用线性位移模式的情况下，单元荷载对节点的位移完全符合理论力学的刚体静力等效原理。因为，6-7结构的整体分析节点的平衡方程从前面的元素分析中是已知的。在有限元方法中，每个单元仅受单元节点力Fe的影响本节进一步解释如何进行节点平衡分析。对于结构中的任何节点n，有两个力作用在它上面：一个是节点n周围的单元对节点n的力Fn，它是单元节点力的反作用力；另一个是作用在节点N上的总节点载荷FLn，它包括从节点N周围的单元位移的单元的节点载荷，以及最初作用在节点N上的集中载荷或支承反力。节点n的平衡方程是：节点n周围的元素相加。然后代入单元节点力与单元节点位移之间的关系，并结合相同节点位移的项得到：(q为节点总数)，称为整体节点位移阵，称为整体节点荷载阵，K为整体刚度阵，它是根据节点局部规范(I，j，m)与整体规范之间的对应关系对单元刚度阵进行分组而形成的。结构整体分析步骤：1 .设置整体刚度矩阵K；3.引入位移约束；4。求解整体节点平衡方程Kd=FL得到节点位移 d ；5.找出每个单元的位移和应力。根据节点的整体编码对所有节点的平衡方程进行分组，得到整体节点平衡方程：其中：2，组集合的整体节点负载数组 FL ；如图所示，正方形薄板被分成两个单元，厚度t，密度r，弹性模量e，泊松比m=0，每个单元的直角边长。节点的局部代码与整体代码的对应关系如下：需要每个节点的位移和每个单元的应力。下面是一个例子来说明上述解决方案的过程。1.设置整体刚度矩阵K，其布置在整体代码中，而单位刚度矩阵K E布置在局部代码中。因此，有必要根据相应的总体规范对单元刚度矩阵的子矩阵进行积分。装配整体刚度矩阵K的方法如下：(1)用零填充K的所有元素；(2)按单元建立ke，然后根据单元e中局部规范与整体规范的对应关系，(3)对所有单元完成上述叠加后，形成整体刚度矩阵K。整体刚度矩阵K的特点是：对称性，对角元素0，奇异性。2。组装全局节点载荷阵列FL，节点N上的全局节点载荷FLn，包括从节点N周围的单元位移的单元节点载荷，以及集中载荷或最初作用在节点N上的支承反力。每个单元的节点荷载列为：作用在每个节点上的集中荷载或支承反力为：组集关系为：最后，结构的整体节点荷载列为：3。引入位移约束条件，结构的位移约束(即已知节点位移分量)为：因此，积分节点位移阵简化为，引入位移约束的方法为：(1)去掉已知节点位移分量对应的平衡方程，从而去掉FL中的未知支承反力。在本例中，K和FL中的第1、2、3、5、6和8行被删除。(2)将零节点位移分量代入平衡方程的其余部分，从而去除d中的已知节点位移分量。在本例中，K中第1、2、3、5、6、8和d列的零节点位移分量被切断。整个节点载荷阵列简化为：(为什么不能立即求解方程Kd=FL ？)，整体刚度矩阵简化为：最后，可以看出，引入位移约束后，K仍然是一个对称矩